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| Aufgabe | Sei K ein Körper und sei 1 ≤ n ∈ ℕ. Für [mm] \sigma [/mm] ∈ [mm] S_{n} [/mm] werde definiert: [mm] P_{\sigma} :K^n [/mm] --> [mm] K^n [/mm] mit [mm] (x_1,...,x_n)\to (x_{\sigma^{-1} (1)},...,x_{\sigma^{-1} (n)})
[/mm]
dann Soll gelten det [mm] P_{\sigma} [/mm] = [mm] Sign(\sigma)⋅1_k [/mm] |
UPDATE: Meine Idee ist, die Permutationsmatrix (Bin mir noch nicht sicher wie die aussehen soll) über elementare Zeilenumformungen auf eine Einheitsmatrix zu bringen. Liege ich da richtig? Wie geht es weiter?
Wie zeige ich das? Brauche dringend Tipp´s!
UPDATE : Kann mir wirklich niemand helfen!?
LG DerPinguinagent
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:35 So 10.01.2016 | | Autor: | Reynir |
Was soll [mm] $sign(\sigma)1_K$ [/mm] heißen? Meinst du Signum von Sigma und die [mm] $n\times [/mm] n$ Einheitsmatrix?
Viele Grüße,
Reynir
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:40 So 10.01.2016 | | Autor: | hippias |
> Sei K ein Körper und sei 1 ≤ n ∈ ℕ. Für [mm]\sigma[/mm] ∈
> [mm]S_{n}[/mm] werde definiert: [mm]P_{\sigma} :K^n[/mm] --> [mm]K^n[/mm] mit
> [mm](x_1,...,x_n)\to (x_{\sigma^{-1} (1)},...,x_{\sigma^{-1} (n)})[/mm]
>
> dann Soll gelten det [mm]P_{\sigma}[/mm] = [mm]Sign(\sigma)⋅1_k[/mm]
>
>
>
> UPDATE: Meine Idee ist, die Permutationsmatrix (Bin mir
> noch nicht sicher wie die aussehen soll) über elementare
> Zeilenumformungen auf eine Einheitsmatrix zu bringen. Liege
> ich da richtig?
Ja, das geht.
> Wie geht es weiter?
Determinante der Matrix und Signum der Permutation vergleichen.
>
> Wie zeige ich das? Brauche dringend Tipp´s!
S.o.
>
> UPDATE : Kann mir wirklich niemand helfen!?
Ich schaetze, es gibt viele Leute, die Dir Tips geben können. Ich selber finde, so ganz ohne Eigenleistung des Fragestellers sieht es immer danach aus, als sei jemand einfach zu faul seine Hausaufgaben selbst zu machen und versucht Punkte einzuheimsen, die man nicht selbst verdient hat.
>
> LG DerPinguinagent
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Ich hab jetzt einen anderen Ansatz gefunden, den ich mit Hilfe meiner Vorlesung erarbeitet:
Sind σ′∈Sn und Pσ′=(ai,j)∈ K^nxn, so ist aσ′(j),j=1, j=1,..,und alle anderen Einträge null somit folgt mit Hilfe von Pσ′=PTσdet(Pσ′)=det(PTσ)=Σ sgn (σ′)∏aσ(j),j= Sgn (σ′)∏aσ′(j),j =sgn (σ)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 So 10.01.2016 | | Autor: | hippias |
Dass Du Dir einen weiteren Ansatz mit Hilfe der Vorlesung erarbeitet hast, finde ich sehr gut! Leider erkenne ich keine Frage, noch verstehe ich was Du geschrieben hast.
Gib' Dir doch bitte etwas mehr Mühe: benutze den Formeleditor und lies Dir Deinen Text durch ehe Du ihn abschickst.
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Behauptung: [mm] det(P_\sigma)=sign(\sigma)*1_k
[/mm]
Beweis: Sind [mm] \sigma \in S_n [/mm] und [mm] P_({\sigma}^{-1})=(a_i_j) \in K^{nxn}, [/mm] so ist [mm] a_{\sigma^{-1}(j)}_i_j [/mm] =1, j [mm] \in [/mm] {1,2,3,...n} und alle anderen Einträge sind 0. Somit folgt [mm] det(P_\sigma)=det(P_{\sigma}^T)=\summe_{\sigma \in S_n}sign(\sigma^{-1})\produkt_{j=1}^{n}a_{\sigma(j),j} =sign(\sigma^{-1})\produkt_{j=1}^{n}a_{\sigma(j),j} [/mm] => [mm] \produkt_{i
sigma Tilde:= [mm] \sigma^{-1}
[/mm]
Q.E.D.
Bitte um Korrektur!
LG DerPinguinagent
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:33 So 10.01.2016 | | Autor: | hippias |
Es scheint, dass Du einen in wesentlichen richtigen Beweis gefunden hast; auch gefällt mir Deine auf das wesentliche beschränkte Darstellung.
Trotzdem wirst Du für eine Lösung in dieser Form kaum die volle Punktzahl erhalten, da mir noch zu viele formale Schwächen enthalten sind. Ausserdem fehlen mir ein paar Erläuterungen. Ich mache mal Anmerkungen in Deinem Text.
> Behauptung: [mm]det(P_\sigma)=sign(\sigma)*1_k[/mm]
>
> Beweis: Sind [mm]\sigma \in S_n[/mm] und [mm]P_({\sigma}^{-1})=(a_i_j) \in K^{nxn},[/mm]
> so ist
Diesen Ausdruck...
> [mm]a_{\sigma^{-1}(j)}_i_j[/mm]
... versteht kein Mensch (wenn man nicht schon weiss, was Du sagen willst)
> =1, j [mm]\in[/mm] {1,2,3,...n} und
> alle anderen Einträge sind 0. Somit folgt
Was soll das:
> [mm]det(P_\sigma)=det(P_{\sigma}^T)=[/mm]
... Du hast doch ein [mm] $P_{\sigma^{-1}}$ [/mm] definiert.
Achtung:
>[mm]\summe_{\sigma \in S_n}[/mm]
Das Symbol [mm] $\sigma$ [/mm] war eine von Dir oben gewählte Permutation, aber hier benutzt Du das gleiche Zeichen als Summationsindex; das musst Du anders machen. Nebenbei: Woher stammt diese Methode eine Determinante zu berechnen?
>[mm]sign(\sigma^{-1})\produkt_{j=1}^{n}a_{\sigma(j),j}[/mm]
Begründe das folgende Gleichheitszeichen. Was ist mit der Summe geschehen?
> =[mm]sign(\sigma^{-1})\produkt_{j=1}^{n}a_{\sigma(j),j}[/mm]
> => [mm]\produkt_{i
Was wird denn hier geschlussfolgert (=>)? Was soll dieses neue Produkt?
> = [mm]sign(\sigma^{-1})=sign(\sigma)=sign(\sigma)*1_k[/mm]
Was hat das mit dem Anfang der Rechnung zu tun?
>
> sigma Tilde:= [mm]\sigma^{-1}[/mm]
Prima: in Deinem ganzen Text kommt kein sigma Tilde vor.
>
> Q.E.D.
>
> Bitte um Korrektur!
>
> LG DerPinguinagent
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