Picard Iteration auf Rechteck < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:22 So 23.03.2014 | | Autor: | Orchis |
| Aufgabe | Berechnen sie ausgehend von $ [mm] y_0(x)=0 [/mm] $ die ersten drei Picard-Interaktionen für
$ [mm] y'=x^2+xy^2 [/mm] $ y(0)=0
Wieso konvergiert im Intervall [-1/2,1/2] das Verfahren? |
Hallo zusammen,
habe eine Frage, die bereits zwei mal in diesem Forum gestellt wurde, aber irgendwie nie so wirklich gelöst wurde.
(z.B. hier: https://matheraum.de/forum/Picard-Lindeloef/t863469)
und speziell die Frage: Wieso konvergiert im Intervall [-1/2,1/2] das Verfahren?
Die Picard-Iteration konvergiert auf einem Intervall genau dann, wenn (nach Picard Lindelöf) die rechte Seite der DGL lipschitzstetig bzgl. y auf einem Streifen [mm] [-1/2,1/2]\times \IR [/mm] ist (oder einem Rechteck, wobei die Lösung da vor x=1/2 schon nach oben oder unten "abhauen" könnte). Nun wüsste ich aber nicht wie ich eine Lipschitzkonstante finden sollte, denn wir haben lediglich ein Intervall für die x-Werte gegeben und somit hängt die Frage, ob wir eine Lipschitzkonstante finden nur noch von der Frage ab wie, y gewählt wird. Der Graph der Funktion [mm] x^{2}+xy^{2} [/mm] ist auf dem [mm] \IR^{2} [/mm] ein Sattel mit Sattelpunkt (0,0). Nur wenn wir y aus einem endlichen Intervall betrachten können wir eine endliche Lipschitzkonstante angeben. Somit wäre die Lipschitzstetigkeit schon mal nicht auf einem Streifen [-1/2,1/2] [mm] \times \IR [/mm] möglich, oder?
Heißt das etwa, wir wählen uns nun ein beliebiges Rechteck [mm] [-1/2,1/2]\times [/mm] D mit y [mm] \in [/mm] D Intervall mit endlichen Grenzen, sodass wir darauf den Satz von Picard Lindelöf anwenden können aus und gut ist? :D
Oder ist da ein vollkommen anderer Ansatz und meiner ist schon von Beginn an falsch?
Viele Grüße und großen Dank,
Orchis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Di 25.03.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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