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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:07 Di 08.03.2016 | | Autor: | Reynir |
Hi,
ich betrachte gerade einen Beweis und da verstehe ich etwas nicht (![[]](/images/popup.gif) S. 37). Bei Lemma 9.2 i) => ii), da wird gesagt, dass man [mm] $\frac{1}{f(z)}$ [/mm] in eine Potenzreihe entwickeln kann, wie sie dort angegeben ist mit Startindex n. Wenn ich jetzt mit [mm] $g(z)=(z-z_0)^n \frac{1}{f(z)}$ [/mm] starte und wende Riemann an, dann komme ich allerdings nur zu einer Reihe [mm] $\sum_{k\geq n} c_k (z-z_0)^{k-n}=e(z)$, [/mm] die erfüllt, dass [mm] $g(z)=(z-z_0)^n [/mm] e(z)$ und wenn ich Riemann richtig verstanden habe [mm] $e(z)=\frac{1}{f}$.
[/mm]
Ich nehme mal an, ich hätte eher [mm] $(z-z_0)^n [/mm] f(z)$ betrachten müssen, oder? (soll das dann beschränkt sein oder fordert man für [mm] $z\rightarrow z_0$ [/mm] =0, wie ist das hier gemeint:S. 18 unter Kapitel 4.1 )
Viele Grüße,
Reynir
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:28 Mi 09.03.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
> ich betrachte gerade einen Beweis und da verstehe ich
> etwas nicht
> (S. 37).
> Bei Lemma 9.2 i) => ii), da wird gesagt, dass man
> [mm]\frac{1}{f(z)}[/mm] in eine Potenzreihe entwickeln kann, wie sie
> dort angegeben ist mit Startindex n. Wenn ich jetzt mit
> [mm]g(z)=(z-z_0)^n \frac{1}{f(z)}[/mm] starte und wende Riemann an,
> dann komme ich allerdings nur zu einer Reihe [mm]\sum_{k\geq n} c_k (z-z_0)^{k-n}=e(z)[/mm],
> die erfüllt, dass [mm]g(z)=(z-z_0)^n e(z)[/mm] und wenn ich Riemann
> richtig verstanden habe [mm]e(z)=\frac{1}{f}[/mm].
> Ich nehme mal an, ich hätte eher [mm](z-z_0)^n f(z)[/mm]
> betrachten müssen, oder?
Nein. f hat in [mm] z_0 [/mm] einen Pol bedeutet, zunächst in Worten:
$|f(z)|$ wird beliebig groß, wenn z hinreichend nahe bei [mm] z_0 [/mm] liegt"
Das bedeutet u.a.:
1. es ex. ein r>0 mit: [mm] $U:=\{w \in \IC: 0<|w-z_0|
und
2. [mm] \bruch{1}{f(z)} \to [/mm] 0 für z [mm] \to z_0.
[/mm]
Aus 1. folgt: die Funktion 1/f ist auf U holomorph.
Aus 2. folgt: 1/f ist "in der Nähe" von [mm] z_0 [/mm] beschränkt.
Mit dem Riemannschen Hebbarkeitssatz bekommen wir:
1/f lässt sich holomorph fortsetzen auf [mm] K:=\{w \in \IC: |w-z_0|
Diese holomorphe Fortsetzung nenne ich [mm] \phi. [/mm] Die [mm] \phi [/mm] stetig ist, ergibt sich aus 2. :
[mm] \phi(z_0)=0.
[/mm]
Ist n die Ordnung der Nullstelle [mm] z_0 [/mm] von [mm] \phi, [/mm] so gibt es eine auf K holomorphe Funktion [mm] \psi [/mm] mit:
[mm] \phi(z)=(z-z_0)^n\psi(z) [/mm] für alle $z [mm] \in [/mm] K$ und [mm] \psi(z_0) \ne [/mm] 0.
FRED
> (soll das dann beschränkt sein
> oder fordert man für [mm]z\rightarrow z_0[/mm] =0, wie ist das hier
> gemeint:S. 18 unter Kapitel 4.1
> )
> Viele Grüße,
> Reynir
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:31 Mi 09.03.2016 | | Autor: | Reynir |
Danke für deine Hilfe.
Viele Grüße,
Reynir
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