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| Aufgabe | Geben sie die Polarform von z an:
z = [mm] (1+i)^7 [/mm] |
Kann mir bitte jemand die Stolpersteine in dieser Aufgabe zeigen? Tut mir leid, aber ich bin mir da völlig unsicher und habe keinerlei Ansatz.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:41 Mo 13.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Wastelander!
Forme zunächst $1+i_$ in die Polarform um und wende anschließend für die 7. Potenz die  Moivre-Formel an.
Gruß
Loddar
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Ich habe es mithilfe der Moivre-Formel durchgerechnet und erhalte Folgendes:
[mm]z = (1+i)^7 = \left|z\right|^7 ( cos (7\phi) + i * sin(7\phi)) ; \phi = tan^{-1} \bruch{1}{1} = 45[/mm]
[mm] = \wurzel{2}^7 ( cos315 + i * sin315)[/mm]
[mm] = 8\wurzel{2} ( cos315 + i * sin315)[/mm]
Ist das so korrekt? Ich bitte (wie immer *g*) darum Fehler in der Schreibweise zu berichtigen.
Danke vielmals.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:57 Di 14.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig, ich wuerd es noch umschreiben auf
$ [mm] 8\wurzel{2} [/mm] ( cos315 + i [mm] \cdot{} sin315)=8\wurzel{2} [/mm] ( cos45 - i [mm] \cdot{} [/mm] sin45) $
eigentlich ist Bogenmass das uebliche, kommt aber drau an, was ihr schreibt also
$ = [mm] 8\wurzel{2} [/mm] ( [mm] cos\pi/2- [/mm] i [mm] \cdot{} sin\pi/2) [/mm] $
Gruss leduart
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Wie genau kommt man von cos(315) auf cos(45) und von sin(315) auf -sin(45)?
[mm]cos(-45) = cos(45)[/mm]
[mm]sin(-45) = -sin(45)[/mm]
Kann ich das in allgemeiner Form nochmal samt Begründung nachlesen?
Auch wie man auf [mm]45° = \pi/2[/mm] kommt wüsste ich gerne. Ich finde Formeln, die besagen [mm]rad = \alpha * \bruch{\pi}{180}[/mm]. Allerdings käme ich dann auf [mm]rad = 45° * \bruch{\pi}{180} = \bruch{\pi}{4}[/mm]
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Hallo Wastelander,
> Wie genau kommt man von cos(315) auf cos(45) und von
> sin(315) auf -sin(45)?
[mm] $\sin$ [/mm] und [mm] $\cos$ [/mm] sind ja [mm] $2\pi$-periodisch [/mm] bzw. haben die Periode 360° (kann man das so sagen?)
Nun denn, die Werte von [mm] $\sin$ [/mm] und [mm] $\cos$ [/mm] sind also dieselben, wenn du ganzzahlige Vielfache von $360°$ bzw. [mm] $2\pi$ [/mm] addierst.
Soll heißen [mm] $\sin(\alpha)=\sin(\alpha+k\cdot{}360°)$
[/mm]
bzw. [mm] $\sin(x)=\sin(x+k\cdot{}2\pi)$ [/mm] mit [mm] $k\in\IZ$
[/mm]
Genauso für [mm] $\cos$
[/mm]
> [mm]cos(-45) = cos(45)[/mm]
Zunächst ist nach dem oben Gesagten [mm] $\cos(315°)=\cos(315°+k\cdot{}360°)$ [/mm] mit [mm] $k\in\IZ$, [/mm] also insbesondere für $k=-1$: [mm] $\cos(315°)=\cos(315°-360°)=\cos(-45°)$
[/mm]
Dann ist der [mm] $\cos$ [/mm] eine gerade Funktion, also symmetrisch zur y-Achse, dh. in Formeln: [mm] $\cos(-x)=\cos(x)$
[/mm]
Also [mm] $\cos(-45°)=\cos(45°)$
[/mm]
> [mm]sin(-45) = -sin(45)[/mm]
Die Winkeländerung von $315°$ auf $-45°$ ist wie oben.
[mm] $\sin$ [/mm] ist eine ungerade Funktion, punktsymmetrisch zum Ursprung, in Formeln: [mm] $\sin(-x)=-\sin(x)$, [/mm] also [mm] $\sin(-45°)=-\sin(45°)$
[/mm]
>
> Kann ich das in allgemeiner Form nochmal samt Begründung
> nachlesen?
Wahrscheinlich auf Wikipedia oder anderswo im Internet, suche nach [mm] $\sin,\cos$ [/mm] und schaue dir die Eigenschaften an
>
> Auch wie man auf [mm]45° = \pi/2[/mm] kommt wüsste ich gerne.
gar nicht, es entspricht [mm] $45°\hat{=}\frac{\pi}{4}$
[/mm]
>Ich finde Formeln, die besagen [mm]rad = \alpha * \bruch{\pi}{180}[/mm].
> Allerdings käme ich dann auf [mm]rad = 45° * \bruch{\pi}{180} = \bruch{\pi}{4}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
eben!
Es gilt [mm] $360°\hat{=} 2\pi$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow 1°\hat{=} \frac{2\pi}{360}=\frac{1}{180}\pi$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow 45°\hat{=} 45\cdot{}\frac{1}{180}\pi=\frac{\pi}{4}$
[/mm]
Dreisatz 
Ersetze $45°$ durch [mm] $\alpha$ [/mm] und du hast die Formel oben
LG
schachuzipus
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> Ich habe es mithilfe der Moivre-Formel durchgerechnet und
> erhalte Folgendes:
>
> [mm]z = (1+i)^7 = \left|z\right|^7 ( cos (7\phi) + i * sin(7\phi)) ; \phi = tan^{-1} \bruch{1}{1} = 45[/mm]
>
> [mm]= \wurzel{2}^7 ( cos315 + i * sin315)[/mm]
> [mm]= 8\wurzel{2} ( cos315 + i * sin315)[/mm]
>
> Ist das so korrekt? Ich bitte (wie immer *g*) darum Fehler
> in der Schreibweise zu berichtigen.
Wenn du bei Winkeln das Gradmass benützt, solltest du das
Gradsymbol auch wirklich schreiben:
[mm] 8\wurzel{2}\ \left( cos(315°) + i * sin(315°)\right)[/mm]
Für die Polarform wäre auch diese Form gut:
[mm] 8\wurzel{2} *e^{-i\bruch{\pi}{4}}[/mm]
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