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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:33 Di 18.12.2007 | | Autor: | Arnbert |
Hallo. Brauche mal dringend eure Hilfe bei folgender Frage:
[mm] IR^{2} [/mm] sei das aus den Punkten (x,y) bestehende Polyeder, welches die Ungleichungen x>=0, x<=y+1, x+3y>=1, 3x+y>=1 erfüllt. Meine Frage ist nun, wie kann ich P nun als Summe eines beschränkten Polyeders K und einer Pyramide S darstellen?
Nach dem Darstellungssatz für Polyeder weiß man das dieses möglich ist. Hierbei wäre die Pyramide S = [mm] \cap (f_i>=0),i=1...m. [/mm] Ist dann V komplementärer Teilraum zu K:= [mm] \cap(f_i [/mm] =0),i=1...m, so kann man
K=k(V [mm] \cap P)_{e} [/mm] wählen, wobei dann [mm] K_{e} [/mm] = (V [mm] \cap P)_{e} [/mm] gilt.
Hiermit müsste man sich jetzt irgendwie das zugehörige beschränkte Polyeder und die Pyramide suchen, aber ich habe leider keine Ahnung wie ich die Lösung finde. Hoffe ihr könnt mir helfen.
danke schon einmal
( die Mengen mit dem e im Index sind als Mengen über alle Extremalstellen der jeweiligen Menge definiert)
( k(...) ist als konvexe Hülle definiert)
Danke schon mal.
MfG Arnbert
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:24 Di 18.12.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Arnbert,
du meinst hier sicher keine "Pyramide" sondern einen positiven Kegel.
Die Zerlegung ist sehr einfach:
Schließe das gegebene Polyeder zB mit der zusätzlichen Restriktion y <= 100 nach oben ab. Dann hast du dein Polytop.
Der positive Kegel wird dann erzeugt durch die Richtungen in denen das Polyeder unbeschränkt war. Das sind hier die beiden Vektoren (1 1) und (0 1).
Gruß
Will
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