Polyn. über Restklassenkörpern < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] $p\in\mathbb{N}$ [/mm] eine Primzahl und [mm] $D:\mathbb{F}_p[X]\to \mathbb{F}_p[X]$ [/mm] die formale Ableitung.
Zu zeigen: [mm] $D(f)=0\Leftrightarrow \exists g\in\mathbb{F}_p[X] [/mm] : [mm] f=g^p$. [/mm] |
Ich habe noch etwas mit der Notation Probleme. Gilt für ein Polynom [mm] $f\in\mathbb{F}_p[X]$ [/mm] die Identität [mm] $f^p=f$?
[/mm]
Für eine Zahl [mm] $a\in\mathbb{F}_p$ [/mm] ist dies klar. Doch wie muss ich mir [mm] $f^p$, [/mm] also NICHT [mm] $f(X)^p$, [/mm] vorstellen? Eigentlich verbinde ich mit dieser Notation die $p$-fache Komposition von $f$.
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Hey,
hier ist wirklich die $p-$te Potenz gemeint, so wie man Polynome multipliziert.
Das heißt etwa [mm] $(x^2+1)^2 [/mm] = [mm] x^4+2x^2+1$.
[/mm]
Als Tipp: Über [mm] $\IF_p$ [/mm] gilt (was du ggf. zeigen solltest): [mm] $(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + a_1x + [mm] a_0)^p [/mm] = [mm] a_nx^{pn} [/mm] + [mm] a_{n-1}x^{p(n-1)} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] a_1x^p [/mm] + [mm] a_0$.
[/mm]
lg
Schadow
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Hi,
wie zeige ich das am besten? Ich dachte mir zunächst mittels vollständiger Induktion über $n$. Der Induktionsanfang $n=0$ ist ja trivial, aber wie mache ich das im Induktionsschritt [mm] $n-1\to [/mm] n$? Ich müsste ja den $n$-ten Summanden [mm] $a_nX^n$ [/mm] von der restlichen Summe (für die die Behauptung nach Induktionsvoraussetzung gilt) trennen. Dann habe ich etwas in der Form von
[mm] $(a_nX^n+\sum_{i=0}^{n-1}a_iX^i)^p$
[/mm]
dort stehen. Dann wollte ich die allg. binomische Formel anwenden, aber den entstehenden Ausdruck kann ich nicht wirklich mit meiner Induktionsvoraussetzung vereinfachen.
Andere Ideen?!
Gruß
Differential
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Doch, das klappt so.
Zur einfacheren Notation setzen wir mal $a := [mm] a_nX^n$ [/mm] und $b$ als die Summe.
Dann ist nach allgemeiner binomischer Formel [mm] $(a+b)^p [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^p [/mm] {p [mm] \choose i}a^ib^{p-i} [/mm] = [mm] a^p+b^p [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{p-1} [/mm] {p [mm] \choose i}a^ib^{p-i}$.
[/mm]
Nun kannst du zeigen: $p [mm] \mid [/mm] {p [mm] \choose [/mm] i}$ für alle $1 [mm] \leq [/mm] i < p$, damit sind diese Binominalkoeffizienten gleich Null (denn du rechnest ja modulo $p$).
Pass aber beim Beweis auf: Du musst wirklich benutzen, dass $p$ eine Primzahl ist.
Als Beispiel ${4 [mm] \choose [/mm] 2} = 6$ ist nicht durch $4$ teilbar (und $4$ ist natürlich keine Primzahl^^).
lg
Schadow
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Vielen Dank für Deine bisherigen Antworten. Wie sieht die Situation denn aus, wenn ich zeigen will: [mm] $D(f)=0\Rightarrow \exists g\in\mathbb{F}_p[X] [/mm] : [mm] f=g^p$.
[/mm]
Kann ich generell sagen, dass wenn [mm] $f=\sum_{i=0}^na_iX^i$ [/mm] ist, dass wegen [mm] $a^p=a \forall a\in\mathbb{F}_p$, [/mm] auch [mm] $f=\sum_{i=0}^na_iX^{pi}=f^p$ [/mm] gilt? Damit wäre das gesuchte $g$ gleich $f$.
Ich bin mir nicht sicher, warum ich hier unsicher bin. Für beliebige Elemente $a$ gilt $a=^p$; also sollte es auch für $X$ gelten, oder?
Gruß
Differential
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:43 Mi 27.11.2013 | | Autor: | felixf |
Moin Differential!
> Vielen Dank für Deine bisherigen Antworten. Wie sieht die
> Situation denn aus, wenn ich zeigen will: [mm]D(f)=0\Rightarrow \exists g\in\mathbb{F}_p[X] : f=g^p[/mm].
>
> Kann ich generell sagen, dass wenn [mm]f=\sum_{i=0}^na_iX^i[/mm]
> ist, dass wegen [mm]a^p=a \forall a\in\mathbb{F}_p[/mm], auch
> [mm]f=\sum_{i=0}^na_iX^{pi}=f^p[/mm] gilt? Damit wäre das gesuchte
> [mm]g[/mm] gleich [mm]f[/mm].
Nein! Es gilt [mm] $f^p [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^n a_i X^{p i}$, [/mm] aber das ist nicht gleich $f$, da [mm] $X^{p i} \neq X_i$ [/mm] ist (ausser fuer $i = 0$).
> Ich bin mir nicht sicher, warum ich hier unsicher bin. Für
> beliebige Elemente [mm]a[/mm] gilt [mm]a=^p[/mm]; also sollte es auch für [mm]X[/mm]
> gelten, oder?
Nein, fuer $X$ gilt es nicht. Es gilt nur fuer Elemente aus [mm] $\IF_p$ [/mm] (fuer endliche Koerpererweiterungen gilt es z.B. schon nicht mehr).
LG Felix
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