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Man kann ja nicht jedes Polynom in Linearfaktoren zerlegen. Aber ich hab mal gelesen (glaube ich), dass man jedes Polynom in ein Produkt aus Linearfaktoren und quadratischen Termen zerlegen kann.
1. Gibt es so einen Satz?
2. Ist der Beweis elementar? Beweisidee?
3. Wie zelege ich z.B. den Faktor [mm] (x^4+4) [/mm] in ein Produkt zweier quadratische Terme [mm] (x^2+a)(x^2+b), [/mm] wenn die vier komplexen Lösungen (müßte x+i, x-i, -x+i, -x-1 sein) bekannt sind? .
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> Man kann ja nicht jedes Polynom in Linearfaktoren zerlegen.
> Aber ich hab mal gelesen (glaube ich), dass man jedes
> Polynom in ein Produkt aus Linearfaktoren und quadratischen
> Termen zerlegen kann.
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> 1. Gibt es so einen Satz?
Ja. Er folgt aus dem "Fundamentalsatz der Algebra", den C.F.Gauss in seiner Dissertation bewiesen hat: Jedes komplexe Polynom positiven Grades besitzt mindestens eine komplexe Nullstelle.
Sind die Koeffizienten des Polynoms $p(z)$ reell, dann ist notwendigerweise zu jeder komplexen Nullstelle [mm] $z_0$ [/mm] auch deren Konjugierte [mm] $\overline{z}_0$ [/mm] eine Nullstelle von $p(z)$, und zwar eine Nullstelle derselben Vielfachheit.
> 2. Ist der Beweis elementar? Beweisidee?
Das kommt draufan, was Du als "elementar" empfindest. Bei der Vorbereitung auf ein Abitur wird dieser Satz wegen der damit verbundenen Grundkenntnise (etwa über den Satz vom Minimum und Maximum für stetige Funktionen auf einer kompakten Menge) nicht bewiesen. Aber in einer ersten Vorlesung über Analysis wird dies am Anfang eines Studiums schon bewiesen werden.
> 3. Wie zelege ich z.B. den Faktor [mm](x^4+4)[/mm] in ein Produkt
> zweier quadratische Terme [mm](x^2+a)(x^2+b),[/mm] wenn die vier
> komplexen Lösungen (müßte x+i, x-i, -x+i, -x-1 sein)
> bekannt sind? .
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Etwas eigenartige Lösungen hast Du Dir hier ausgedacht. Die komplexen Lösungen von [mm] $x^4+4=0$ [/mm] sind [mm] $x_1=1+i$, $x_2=1-i$, $x_3=-1+i$ [/mm] und [mm] $x_4=-1-i$.
[/mm]
Du musst einfach Paare von Linearfaktoren zu konjugiert-komplexen Nullstellen zusammenfassen und ausmultiplizieren: ergibt jeweils ein quadratisches reelles Polynom.
Beweis: [mm] $(z-z_0)\cdot(z-\overline{z}_0)=z^2-(z_0+\overline{z}_0)z+z_0\overline{z}_0=z^2-2\mathrm{Re}(z_0)+|z_0|^2$.
[/mm]
Wendet man diese Überlegung auf Dein Beispiel an, dann erhält man:
[mm] [center]$x^4+4=\big((x-x_1)\cdot (x-x_2)\big)\cdot\big((x-x_3)\cdot(x-x_4)\big)=(x^2-2x+2)\cdot (x^2+2x+2)$[/center]
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:45 Mo 15.09.2008 | | Autor: | Psychopath |
Danke, hat mir sehr geholfen!
P.S.
Bei den Nullstellen handelt es sich um einen Tippfehler.
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