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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:29 Fr 09.11.2012 | | Autor: | Ferma |
Hallo,
wie kann man beweisen, dass a^(2n-1)+b^(2n-1) durch (a+b) teilbar ist?
Beispiele mit Zahlen [mm] 5^{2*3-1}+7^5=19932=>/12=1661
[/mm]
Danke im Voraus!
Ferma
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:03 Fr 09.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
> wie kann man beweisen, dass a^(2n-1)+b^(2n-1) durch (a+b)
> teilbar ist?
> Beispiele mit Zahlen [mm]5^{2*3-1}+7^5=19932=>/12=1661[/mm]
das ist aber "sehr grob" aufgeschrieben, aber ich weiß, was Du meinst. Übrigens
ist das nur EIN Beispiel. 
> Danke im Voraus!
> Ferma
Vorschlag: Wenn man keine Idee hat, versuch' mal,
[mm] $$(a^{2n-1}+b^{2n-1}):(a+b)$$ [/mm]
per Polynomdivision zu lösen.
Wenn's nicht klappt oder Du so nichts erkennst/verwirrt bist, nicht siehst, wo diese
Polynomdiviion "endet", mach' es halt mal beispielsweise erst für konkrete [mm] $n\,,$
[/mm]
etwa für [mm] $n=3\,$ [/mm] wie oben (aber [mm] $a,b\,$ [/mm] "allgemein" lassen!), dann mal etwa für [mm] $n=7\,.$
[/mm]
Wenn man dann sieht: Okay, Polynomdivision liefert:
[mm] $$(a^{2n-1}+b^{2n-1}):(a+b)=\text{Vermutung}(n)$$
[/mm]
wobei [mm] $\text{Vermutung}(n)$ [/mm] vermutlich irgendeine Formel ist, wo eine Summe drin
vorkommt, dann beweist man das ganze, indem man mit
[mm] $$(a+b)*\text{Vermutung}(n)$$
[/mm]
startet und dann hoffentlich zeigen kann, dass das am Ende [mm] $=a^{2n-1}+b^{2n-1}$
[/mm]
ergibt!
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:31 Fr 09.11.2012 | | Autor: | fred97 |
Du kannst das auch induktiv erledigen:
Für den Induktionsschritt:
[mm] a^{2n+1}+b^{2n+1}=a^{2n-1}a^2+a^{2n-1}b^2-a^{2n-1}b^2+b^{2n-1}b^2
[/mm]
Mach Du mal weiter.
FRED
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Hallo Ferma,
> wie kann man beweisen, dass a^(2n-1)+b^(2n-1) durch (a+b)
> teilbar ist?
> Beispiele mit Zahlen [mm]5^{2*3-1}+7^5=19932=>/12=1661[/mm]
Wenn Du das nur in [mm] \IN [/mm] oder [mm] \IZ [/mm] zeigen willst, ist es ganz einfach.
Wir betrachten das alles mal [mm] \mod{(a+b)}.
[/mm]
Dann ist klar, dass [mm] b\equiv -a\mod{(a+b)} [/mm] ist und damit
[mm] a^{2n-1}+b^{2n-1}\equiv a^{2n-1}+(-a)^{2n-1}\equiv 0\mod{(a+b)}
[/mm]
Genauso leicht kann man dann zeigen, dass [mm] (a-b)\big|a^n-b^n. [/mm] Aber das war hier ja gar nicht gefragt.
Grüße
reverend
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