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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:34 Di 06.07.2010 | | Autor: | lausch |
| Aufgabe | Es sei K ein Körper, n [mm] \in \IN [/mm] und a [mm] \in K^{nxn}.
[/mm]
Zeigen sie, dass ein Polynom [mm] 0\not=f \in [/mm] K[X] mit [mm] \deg(f) \le [/mm] n² existiert, für das f(A)=0 [mm] \in K^{nxn} [/mm] ist.
(Benutzen sie nicht den Satz von Cayley-Hamilton.) |
Hallo,
ich habe wieder mal garkeine Ahnung, wie ich hier vorgehen soll :(
Habt ihr irgendwelche Tipps oder Anregungen?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:40 Di 06.07.2010 | | Autor: | statler |
Hi!
> Es sei K ein Körper, n [mm]\in \IN[/mm] und a [mm]\in K^{nxn}.[/mm]
> Zeigen
> sie, dass ein Polynom [mm]0\not=f \in[/mm] K[X] mit [mm]\deg(f) \le[/mm] n²
> existiert, für das f(A)=0 [mm]\in K^{nxn}[/mm] ist.
> (Benutzen sie nicht den Satz von Cayley-Hamilton.)
> ich habe wieder mal garkeine Ahnung, wie ich hier vorgehen
> soll :(
Das ist natürlich traurig ...
> Habt ihr irgendwelche Tipps oder Anregungen?
Nun, die nxn-Matrizen bilden einen VR der Dim. [mm] n^2, [/mm] also müssen die [mm] n^2+1 [/mm] Matrizen E, A, [mm] A^2, [/mm] ... , [mm] A^{n^2} [/mm] linear abhängig sein. Schreib das hin, und du bist fertig.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 Di 06.07.2010 | | Autor: | lausch |
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> Nun, die nxn-Matrizen bilden einen VR der Dim. [mm]n^2,[/mm] also
> müssen die [mm]n^2+1[/mm] Matrizen E, A, [mm]A^2,[/mm] ... , [mm]A^{n^2}[/mm] linear
> abhängig sein. Schreib das hin, und du bist fertig.
Danke für die Antwort :)
Das reicht?
Warum betrachte ich die [mm] n^2+1 [/mm] Matrizen?
Warum spielt die lineare abhängigkeit hier eine Rolle?
Grüße
> Gruß aus HH-Harburg
> Dieter
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:24 Di 06.07.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Nun, die nxn-Matrizen bilden einen VR der Dim. [mm]n^2,[/mm] also
> > müssen die [mm]n^2+1[/mm] Matrizen E, A, [mm]A^2,[/mm] ... , [mm]A^{n^2}[/mm] linear
> > abhängig sein. Schreib das hin, und du bist fertig.
> Danke für die Antwort :)
> Das reicht?
> Warum betrachte ich die [mm]n^2+1[/mm] Matrizen?
> Warum spielt die lineare abhängigkeit hier eine Rolle?
Na, das musst du dir aber selber mal ueberlegen.
Denk doch mal drueber nach, wann fuer ein Polynom $f = [mm] \sum_{i=0}^k a_i x^i$ [/mm] gilt $f(A) = 0$. Schreib das mal aus.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:09 Mi 07.07.2010 | | Autor: | lausch |
> Hallo!
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> > > Nun, die nxn-Matrizen bilden einen VR der Dim. [mm]n^2,[/mm] also
> > > müssen die [mm]n^2+1[/mm] Matrizen E, A, [mm]A^2,[/mm] ... , [mm]A^{n^2}[/mm] linear
> > > abhängig sein. Schreib das hin, und du bist fertig.
> > Danke für die Antwort :)
> > Das reicht?
> > Warum betrachte ich die [mm]n^2+1[/mm] Matrizen?
> > Warum spielt die lineare abhängigkeit hier eine Rolle?
>
> Na, das musst du dir aber selber mal ueberlegen.
>
> Denk doch mal drueber nach, wann fuer ein Polynom [mm]f = \sum_{i=0}^k a_i x^i[/mm]
> gilt [mm]f(A) = 0[/mm]. Schreib das mal aus.
Das gilt wenn das Polynom das charakteristische Polynom von A ist.
Und wie kann ich dann weiter machen?
gruß
>
> LG Felix
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:02 Mi 07.07.2010 | | Autor: | statler |
Hi!
> > Denk doch mal drueber nach, wann fuer ein Polynom [mm]f = \sum_{i=0}^k a_i x^i[/mm]
> > gilt [mm]f(A) = 0[/mm]. Schreib das mal aus.
>
> Das gilt wenn das Polynom das charakteristische Polynom von
> A ist.
Das stimmt, aber das ist Cayley-Hamilton, den sollst du gerade nicht verwenden.
> Und wie kann ich dann weiter machen?
s. u.
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Mi 07.07.2010 | | Autor: | lausch |
Ich versuche jetzt die ganze Zeit zu verstehen, warum dies schon als Lösung ausreicht. Aber ich verstehe es einfach nicht.
Kann mir das irgendjemand erklären?
Vielen Dank
Lausch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:00 Mi 07.07.2010 | | Autor: | statler |
Hi!
> Ich versuche jetzt die ganze Zeit zu verstehen, warum dies
> schon als Lösung ausreicht. Aber ich verstehe es einfach
> nicht.
Merkwürdig.
> Kann mir das irgendjemand erklären?
Also, diese [mm] n^2 [/mm] + 1 Matrizen sind linear abhängig über K. Dann gibt es eine lineare Gl.
[mm] a_{n^2+1}A^{n^2+1} [/mm] + ... + [mm] a_1A^1 [/mm] + [mm] a_0*E [/mm] = 0
Das heißt aber doch gerade, das Polynom [mm] \summe_{i=0}^{n^2+1}a_iA^i [/mm] hat A als Nullstelle.
Gruß
Dieter
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:22 Mi 07.07.2010 | | Autor: | lausch |
> Hi!
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> > Ich versuche jetzt die ganze Zeit zu verstehen, warum dies
> > schon als Lösung ausreicht. Aber ich verstehe es einfach
> > nicht.
>
> Merkwürdig.
>
> > Kann mir das irgendjemand erklären?
>
> Also, diese [mm]n^2[/mm] + 1 Matrizen sind linear abhängig über K.
> Dann gibt es eine lineare Gl.
> [mm]a_{n^2+1}A^{n^2+1}[/mm] + ... + [mm]a_1A^1[/mm] + [mm]a_0*E[/mm] = 0
> Das heißt aber doch gerade, das Polynom
> [mm]\summe_{i=0}^{n^2+1}a_iA^i[/mm] hat A als Nullstelle.
Danke für die Antwort ;), aber rgendwie komm ich nicht richtig mit.
Woher weiß ich denn das A die Nullstelle des Polynoms ist!?
> Gruß
> Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Fr 09.07.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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