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| Aufgabe | Bestimmen Sie den reellen Wert $a$ so, dass $x=3+2i$ Nullstelle des Polynoms
[mm] $P_5(x)=X^5-6x^4+13X^3+ax^2-6x+13$
[/mm]
ist. Bestimmen sie alle weiteren Nullstellen und zerlegen sie [mm] $P_5(x)$ [/mm] in Faktoren möglichst geringen Grades. |
Laut Tutor ist der Ansatz, aus $3+2i$ und der Konjugiert komplexen NST $3-2i$ das Polynom [mm] $x^2+px+q$ [/mm] zu bestimmen.
Für reelle NST ist das einfach [mm] $(x+NST_1))\cdot(x+NST_2)$ [/mm] aber wie mache ich das im Komplexen?
anschließend soll man eine Polynomdivision mit dem erhaltenen Polynom durchführen. wie es dann weiter geht weiß ich aber nicht.
wie errechne ich das Zugehörige Polynom zu $3+2i$ und $3-2i$? und was muss ich nach der Polynomdivision weiter machen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:27 Di 03.04.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Bestimmen Sie den reellen Wert [mm]a[/mm] so, dass [mm]x=3+2i[/mm] Nullstelle
> des Polynoms
> [mm]P_5(x)=X^5-6x^4+13X^3+ax^2-6x+13[/mm]
> ist. Bestimmen sie alle weiteren Nullstellen und zerlegen
> sie [mm]P_5(x)[/mm] in Faktoren möglichst geringen Grades.
>
> Laut Tutor ist der Ansatz, aus [mm]3+2i[/mm] und der Konjugiert
> komplexen NST [mm]3-2i[/mm] das Polynom [mm]x^2+px+q[/mm] zu bestimmen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Für reelle NST ist das einfach [mm](x+NST_1))\cdot(x+NST_2)[/mm]
Du meinst $(x - [mm] NST_1) \cdot [/mm] (x - [mm] NST_2)$.
[/mm]
> aber wie mache ich das im Komplexen?
Genauso.
> anschließend soll man eine Polynomdivision mit dem
> erhaltenen Polynom durchführen. wie es dann weiter geht
> weiß ich aber nicht.
Dann erhaelst du ein Polynom von Grad 3, von dem du wieder Nullstellen suchen musst. Aber rechne erstmal soweit, dann schauen wir weiter.
> wie errechne ich das Zugehörige Polynom zu [mm]3+2i[/mm] und [mm]3-2i[/mm]?
Du multiplizierst $(X - (3 + 2 i)) * (X - (3 - 2 i))$ aus.
> und was muss ich nach der Polynomdivision weiter machen?
Nullstellen suchen. Wenn du Glueck hast wird ein Polynom mit schoenen Koeffizienten herauskommen, dann kannst du mit einfachen Techniken weitersuchen (ist es z.B. ganzzahlig und ist [mm] $\frac{a}{b}$ [/mm] eine Nullstelle vom Polynom, dann ist $a$ ein Teiler vom konstanten Koeffizient und $b$ ein Teiler vom Leitkoeffizient).
LG Felix
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Ok ich habe [mm] $(x-(3+2i))\cdot(x-(3-2i))=x^2-6x+13$
[/mm]
bei der Polynomdivision erhalte ich im ersten schritt schritt $0$
so das ich am ende da stehen habe [mm] $ax^2-6x+13):(x^2-6x+13)=x^3$ [/mm] hier hänge ich dann wieder, außerdem kommt mir das spanisch vor weil das irgendwie nicht auf geht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:17 Di 03.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ok ich habe [mm](x-(3+2i))\cdot(x-(3-2i))=x^2-6x+13[/mm]
Das stimmt.
>
> bei der Polynomdivision erhalte ich im ersten schritt
> schritt [mm]0[/mm]
???? Rechne mal vor !
> so das ich am ende da stehen habe
> [mm]ax^2-6x+13):(x^2-6x+13)=x^3[/mm] hier hänge ich dann wieder,
Hast Du denn das a schon bestimmt ? Ich glaube nicht.
> außerdem kommt mir das spanisch vor weil das irgendwie
> nicht auf geht.
Bestimme erstmal a so, dass [mm] p_5 [/mm] in 3+2i eine Nullstelle hat. Dann mach Deine Polynomdivision hier vor.
FRED
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