Polynomdivision in Z_{2} < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Topologe,
> bestimmen Sie alle größten gemeinsamen Teiler von
> [mm]f(x)=x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1[/mm] und g(x)= [mm]x^{4}-x^{3}-x+1[/mm]
> in [mm]\IZ_{2}[x][/mm] sowie die zugehörige Bezoutdarstellung.
> Hallo 
> Hätte bei dieser Aufgabe eine Frage:
>
> Da g(x)= [mm]1x^{4}-1x^{3}-1x+1[/mm] ist kommt bei mir die Frage
> auf, ob g(x) nicht auch so geschrieben werden kann:
> [mm]g(x)=1x^{4}+1x^{3}+x+1,[/mm]
> da in [mm]\IZ_{2}[/mm] gilt: -1 = 1?
Hm, ja. Genauso könnte man doch aber argumentieren, dass [mm] x^3+x=x^3-x=0 [/mm] ist...
Mich irritieren diese Rechnungen in [mm] \IZ_2 [/mm] schon immer. 
Ich lasse die Frage vielleicht doch lieber halboffen.
Grüße
reverend
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Ja, das stimmt.
@ reverend: Du musst hier unterscheiden zwischen einem Polynom und einer Polynomfunktion.
Das Polynom $p [mm] \in \IZ_2[x]$ [/mm] mit $p = [mm] x^3+x$ [/mm] ist ein Polynom vom Grad 3, also insbesondere nicht das Nullpolynom.
Hingegen ist die Polynomfunktion [mm] $\tilde{p} [/mm] : [mm] \IZ_2 \to \IZ_2, [/mm] x [mm] \mapsto x^3+x$ [/mm] tatsächlich die Nullfunktion, da [mm] $\tilde{p}(1) [/mm] = [mm] 1^3+1=2=0 \in \IZ_2$ [/mm] und [mm] $\tilde{p}(0) [/mm] = [mm] 0^3+0 [/mm] = 0$.
Wenn der Grundkörper, über dem wir unsere Polynome betrachten, unendlich groß ist (etwa [mm] $\IQ,\IR$ [/mm] oder [mm] $\IC$), [/mm] so ist das kein Problem, hier können Polynom und Polynomfunktion eindeutig miteinander identifiziert werden.
Ist der Körper allerdings endlich, so gibt es wie wir hier sehen Probleme, denn etwa $p$ von oben hat die gleiche Polynomfunktion wie das Nullpolynom, obwohl $p [mm] \neq [/mm] 0$ gilt.
lg
Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:24 So 01.12.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Schadow,
danke für die erhellende Erklärung!
> @ reverend: Du musst hier unterscheiden zwischen einem
> Polynom und einer Polynomfunktion.
Ich glaube, da hängts in der Tat. Diese Unterscheidung habe ich mir nie so recht klargemacht.
> Das Polynom [mm]p \in \IZ_2[x][/mm] mit [mm]p = x^3+x[/mm] ist ein Polynom
> vom Grad 3, also insbesondere nicht das Nullpolynom.
> Hingegen ist die Polynomfunktion [mm]\tilde{p} : \IZ_2 \to \IZ_2, x \mapsto x^3+x[/mm]
> tatsächlich die Nullfunktion, da [mm]\tilde{p}(1) = 1^3+1=2=0 \in \IZ_2[/mm]
> und [mm]\tilde{p}(0) = 0^3+0 = 0[/mm].
>
> Wenn der Grundkörper, über dem wir unsere Polynome
> betrachten, unendlich groß ist (etwa [mm]\IQ,\IR[/mm] oder [mm]\IC[/mm]), so
> ist das kein Problem, hier können Polynom und
> Polynomfunktion eindeutig miteinander identifiziert
> werden.
> Ist der Körper allerdings endlich, so gibt es wie wir
> hier sehen Probleme, denn etwa [mm]p[/mm] von oben hat die gleiche
> Polynomfunktion wie das Nullpolynom, obwohl [mm]p \neq 0[/mm] gilt.
Ja, das macht es klarer. Wahrscheinlich bin ich da zu sehr von der Analysis geprägt, und in "meinem" Bereich von Zahlentheorie kommt das alles nicht vor. Es ist auch schon lang her...
lg und Dank,
rev
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Hallo Topologe,
fast...
> Also ich hätte das jetzt so gemacht:
>
> sei [mm]g(x)=x^{4}-x^{3}-x+1[/mm] und [mm]g'(x)=x^{4}+x^{3}+x+1[/mm]
>
> g(0)=1=g'(0)
> g(1)=0=g'(1), also g(x)=g'(x) in [mm]\IZ_{2}[/mm]
Die Begründung geht nicht. Lies nochmal den Beitrag von Schadowmaster! Das Ergebnis ist aber trotzdem richtig.
> [mm](x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1):(x^{4}+x^{3}+x+1)=x+\underbrace{(x^{3}+1)}_{=Rest}[/mm]
> [mm]\underline{-(x^{5}+x^{4} +x^{2}+x)}[/mm]
> [mm]x^{3}[/mm] +1
>
> [mm](x^{4}+x^{3}+x+1):(x^{3}+1)=x+1\underbrace{+0}_{=Rest}[/mm]
> [mm]\underline{-(x^{4} +x)}[/mm]
> [mm]x^{3}[/mm] +1
> [mm]\underline{-(x^{3} +1)}[/mm]
> 0
>
> Also ggT = [mm]x^{3}+1[/mm]
Das stimmt auch.
> Bezoutdarstellung:
> [mm]x^{3}+1=1(x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)\;\;\red{+}\;\;x(x^{4}+x^{3}+x+1)[/mm]
>
> Wäre das so i.O.?
Bézout würde an der Stelle des roten Plus ein Minus ergeben. In [mm] \IZ_2 [/mm] ist das ja glücklicherweise das Gleiche.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:07 Di 03.12.2013 | | Autor: | Topologe |
Oder höchstens würde ich das erklären mit -[1]=[1] in [mm] \IZ_{2}
[/mm]
Wär das so ok?
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Hallo Topologe,
> Oder höchstens würde ich das erklären mit -[1]=[1] in
> [mm]\IZ_{2}[/mm]
>
> Wär das so ok?
Viiiel besser.
lg
rev
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