Polynomeinsetzungen in Z? < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:54 Fr 12.01.2007 | | Autor: | fido |
Hallo,
ich habe folgende Frage zu Polynomen, die über [mm] \IR [/mm] definiert sind. Ich möchte wissen, welche Eigenschaften die reellen Koeffizienten erfüllen müssen, damit für jede natürliche Zahl, die eingesetzt wird, das Ergebnis in [mm] \IZ [/mm] liegt.
Meine bisherigen Gedanken waren, das Polynom zu faktorisieren. Also z.B. in [mm] \bruch{n*(n+1)}{2}, [/mm] was ja bekanntlichermaßen immer ganzzahlig ist. Doch ist dieser Ansatz vollständig oder gibt es auch Polynome, die sich nicht faktorisieren lassen, aber trotzdem die beschriebene Eigenschaft erfüllen?
Kennt ihr eine algorithmische Herangehensweise für das Problem?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Grüße
fido
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:50 Sa 13.01.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo fido,
> ich habe folgende Frage zu Polynomen, die über [mm]\IR[/mm]
> definiert sind. Ich möchte wissen, welche Eigenschaften die
> reellen Koeffizienten erfüllen müssen, damit für jede
> natürliche Zahl, die eingesetzt wird, das Ergebnis in [mm]\IZ[/mm]
> liegt.
das Problem der Klassifikation solcher Polynome tritt zum Beispiel auf, wenn man Hilbertpolynome betrachtet. Man kann zeigen, dass jedes solche Polynom eindeutig als [mm] $\IZ$-Linearkombination [/mm] von [mm] $\binom{X + n}{n} [/mm] = [mm] \frac{ X (X - 1) (X - 2) \cdots (X - n + 2) (X - n + 1)}{n!}$, [/mm] $n [mm] \in \IN$ [/mm] darstellbar ist (wenn ich mich jetzt richtig erinnere). Spontan finde ich allerdings online nichts dazu...
Wie man das beweisen koennte: zeige, dass du fuer vorgegebene [mm] $x_0, \dots, x_n$ [/mm] eine [mm] $\IZ$-Linearkombination [/mm] $f$ der [mm] $\binom{X + k}{k}$, [/mm] $0 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n$ finden kannst mit $f(k) = [mm] x_k$, [/mm] $0 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n$. Ob das gut funktioniert weiss ich allerdings nicht...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:41 Sa 13.01.2007 | | Autor: | unknown |
Moin,
ich bin gerade in alten Vorlesungsaufzeichnungen im Zusammenhang mit Hilbert-Polynomen auf folgenden Satz gestoßen:
Es sei $P [mm] \in \IQ[X]$ [/mm] mit [mm] $\deg [/mm] P = d$. Dann sind äquivalent
(a) $P(n) [mm] \in \IZ$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IZ$;
[/mm]
(b) $P(n) [mm] \in \IZ$ [/mm] für fast alle $n [mm] \in \IN$;
[/mm]
(c) Es existieren [mm] $a_0,\ldots,a_d \in \IZ$ [/mm] mit $P = [mm] \textstyle\sum_{i=0}^d a_i [/mm] {X [mm] \choose [/mm] i}$;
(d) Es existieren [mm] $a_0,\ldots,a_d \in \IZ$ [/mm] mit $P = [mm] \textstyle\sum_{i=0}^d a_i [/mm] {X +i [mm] \choose [/mm] i}$.
Der Beweis ist etwas länglich... Wenn Du ihn brauchst würde ich ihn lieber einscannen als abtippen.
Hoffe, ich konnte helfen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Mi 17.01.2007 | | Autor: | fido |
Hi,
danke für die Antworten. Ich habe leider im Stress der letzten Tage keine Zeit gefunden hier nachzuschauen.
Ich werde mir am Wochenende mal die Hilbert-Polynome zu Gemüte führen.
Unknown, es wäre nett, wenn du mir die Scans von deiner Vorlesungsmitschrift schicken könntest. Meine E-Mail-Adresse lautet odif [äd] gmx.de .
Beste Grüße
fido
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:58 Do 18.01.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo,
> danke für die Antworten. Ich habe leider im Stress der
> letzten Tage keine Zeit gefunden hier nachzuschauen.
>
> Ich werde mir am Wochenende mal die Hilbert-Polynome zu
> Gemüte führen.
> Unknown, es wäre nett, wenn du mir die Scans von deiner
> Vorlesungsmitschrift schicken könntest. Meine
> E-Mail-Adresse lautet odif [äd] gmx.de .
wenn du die Aussage (c) nicht brauchst, geht es auch so. Ich beweise folgendes:
Sei $f [mm] \in \IR[x]$ [/mm] ein Polynom von Grad $d$. Dann sind aequivalent:
(i) $f(t) [mm] \in \IZ$ [/mm] fuer alle $t [mm] \in \IZ$;
[/mm]
(ii) es gibt ein [mm] $t_0 \in \IZ$ [/mm] so, dass $f(t) [mm] \in \IZ$ [/mm] fuer alle $t [mm] \ge t_0$ [/mm] gilt;
(iii) es gibt ein [mm] $t_0 \in \IZ$ [/mm] so, dass [mm] $f(t_0), \dots, f(t_0 [/mm] + d) [mm] \in \IZ$; [/mm] und
(iv) es gibt [mm] $a_0, \dots, a_d \in \IZ$ [/mm] mit $f = [mm] \sum_{i=0}^d a_i \binom{X + i}{i}$.
[/mm]
Man sieht leicht, dass (iv) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] (i) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] (ii) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] (iii)$ gilt.
Um (iii) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] (iv) zu zeigen, brauchen wir zwei Fakten:
(1) die Polynome [mm] $\binom{X + i}{i}$, [/mm] $i [mm] \in \IN_{\ge 0}$, [/mm] bilden eine [mm] $\IR$-Basis [/mm] von [mm] $\IR[x]$;
[/mm]
(2) ist $f = [mm] \sum_{i=0}^d a_i \binom{X + i}{i}$, [/mm] so ist $f(X) - f(X - 1) = [mm] \sum_{i=0}^{d-1} a_{i+1} \binom{X + i}{i}$.
[/mm]
Die erste Aussage folgt daraus, dass [mm] $\binom{X + i}{i}$ [/mm] ein Polynom von Grad $i$ ist.
Die zweite Aussage sieht man wie folgt: es ist $f(X) - f(X - 1) = [mm] \sum_{i=0}^d a_i \binom{X + i}{i} [/mm] - [mm] \sum_{i=0}^d a_i \binom{X + i - 1}{i} [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^d a_i \left(\binom{X + i}{i} - \binom{X + i - 1}{i}\right)$. [/mm] Fuer $i = 0$ ist [mm] $\binom{X}{0} [/mm] - [mm] \binom{X - 1}{0} [/mm] = 1 - 1 = 0$; fuer $i > 0$ ist [mm] $\binom{X + i}{i} [/mm] - [mm] \binom{X + i - 1}{i} [/mm] = [mm] \binom{X + i - 1}{i - 1}$. [/mm] Damit folgt die Behauptung.
Zurueck zur eigentlichen Aussage. Wir haben also ein [mm] $t_0 \in \IZ$ [/mm] so, dass [mm] $f(t_0), \dots, f(t_0 [/mm] + d) [mm] \in \IZ$ [/mm] ist. Wegen (1) gibt es [mm] $a_0, \dots, a_d \in \IR$ [/mm] mit $f = [mm] \sum_{i=0}^d a_i \binom{X + i}{i}$, [/mm] und wir wollen zeigen, dass die [mm] $a_i$ [/mm] bereits in [mm] $\IZ$ [/mm] sind.
Wir zeigen dies per Induktion nach $d$. Fuer $d = 0$ ist $f = [mm] a_0 \binom{X}{0} [/mm] = [mm] a_0$ [/mm] und [mm] $a_0 [/mm] = [mm] f(t_0) \in \IZ$, [/mm] womit [mm] $a_0 \in \IZ$ [/mm] ist.
Sei also $d > 0$. Betrachte das Polynom $g := f(X) - f(X - 1)$. Dann ist $g = [mm] \sum_{i=0}^{d-1} a_{i+1} \binom{X + i}{i}$. [/mm] Weiterhin ist [mm] $g(t_0 [/mm] + 1) = [mm] f(t_0 [/mm] + 1) - [mm] f(t_0) \in \IZ$, \dots, [/mm] $g(t + d) = [mm] f(t_0 [/mm] + d) - [mm] f(t_0 [/mm] + d - 1) [mm] \in \IZ$, [/mm] womit nach Induktionsvoraussetzung [mm] $a_1, \dots, a_d \in \IZ$ [/mm] sind.
Nun ist jedoch [mm] $a_0 [/mm] = [mm] f(t_0) [/mm] - [mm] \sum_{i=1}^d a_i \frac{(t_0 + i) (t_0 + i - 1) \dots (t_0 + 1)}{i!} \in \IZ$, [/mm] da [mm] $a_1, \dots, a_d \in \IZ$ [/mm] sind und [mm] $f(t_0) \in \IZ$ [/mm] ist.
Damit gilt [mm] $a_0, \dots, a_d \in \IZ$, [/mm] was wir zeigen wollten.
Liebe Gruesse,
Felix
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