Polynomfunktion < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:29 Mo 20.12.2010 | | Autor: | sax318 |
| Aufgabe | Geben ist das Polynom:
p(X) = 2x4 [mm] +2x^4 +4x^2 [/mm] +8x -16
a) Zerlegen Sie das Polynom in seine Primfaktoren |
p(X) = 2x4 [mm] +2x^4 +4x^2 [/mm] +8x -16
leider weiß ich nicht so recht was gemeint ist. ich habs mal gegoogelt, aber googel ...http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=111044
aber das hilft mir leider nur bedingt weiter.
ich muss mod 2 dividieren - also mit rest .. aber..:
2x4 [mm] +2x^4 +4x^2 [/mm] +8x -16
ich bin hier echt ein wenig überfordert.. ax + bx + c.. oke kommt mir bekannt vor..
FRAGE wozu um alles in der welt macht man solch eine primfaktorzerlegen? außer um mir kopfschmerzen zu bereiten x-D ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:32 Mo 20.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
in welchem Körper arbeitest du denn?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:55 Mo 20.12.2010 | | Autor: | sax318 |
körper?
mom es stand noch wir sollens in eine bestimmte form bringen:
horner schema. das kann cih soweit, nur brauche ich dafür einen wert für x..
und raten ist bei solch einer rechnung naja eher dumm..vor allem wenn man schlecht im raten ist ^^
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Hallo sax318,
sollst Du das Polynom nun mit dem Hornerschema darstellen, oder sollst Du es in Faktoren zerlegen? Das sind zwei verschiedene Dinge.
Mit Angelas Tipp solltest Du die beiden Nullstellen leicht finden.
Zu prüfen sind nur +1, -1, +2, -2, +4, -4, +8 und -8.
Und weils leichter zu rechnen ist, fängt man diese Liste sicher bei den kleinen Zahlen an, wenn man sie abarbeiten will.
Ich nehme an, das Polynom hieß [mm] 2x^4+2x^{\blue{3}}+4x^2+8x-16 [/mm] ?
Darauf jedenfalls basiert die obige Liste.
Und wenn ich mich recht erinnere, gehst Du noch zur Schule, oder? Dann kannst Du mit Körpern und Restklassenringen etc. gar nichts anfangen, sondern sollst wohl nur das Polynom umformen.
Fragt sich halt immer noch, ob Du es faktorisieren (es gibt drei Faktoren) oder ins Horner-Schema bringen sollst.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 Di 21.12.2010 | | Autor: | sax318 |
hallo,
die genaue aufgabenstellung lautet:
Gegeben ist da Polynom:
p(x)= [mm] 2x^4 [/mm] + [mm] 2x^3 [/mm] + 4x² + 8x -16
1) Zerlegen Sie das Polynom in seine Primfaktoren (= bringen Sie es
in die Form wie in unserem Buch --> dort steht das horner schema.
2) Entwickeln Sie ads Polynom nach Potenzen von (x-2), d.h. bringen
Sie es in die Form
p(x) = [mm] a(x-2)^4 [/mm] + [mm] b(x-2)^3 [/mm] + x(x-2)² + d(x-2) + e
und bestimmen Sie a,b,c,d und e.
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Hallo nochmal,
das liest sich schon besser.
Erst einmal kannst Du ja den Faktor 2 ausklammern.
Danach findest Du wirklich ohne Mühe mindestens eine Nullstelle. Kleine Zahlen...
Die Form in Eurem Buch muss sich auf etwas anderes beziehen als das Horner-Schema. Dafür sind nämlich keine Primfaktoren nötig.
Gemeint ist eine Darstellung vom Typ [mm] f(x)=(x+1)(x-2)(x^2+8)
[/mm]
Den zweiten Teil der Aufgabe machen wir am besten später, in einem anderen Teil dieses Threads.
Also: finde mal eine Nullstelle, nicht durch Raten, sondern durch gezieltes Ausprobieren. Ehrlich gesagt kannst Du die zweite dann genauso finden.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:07 Di 21.12.2010 | | Autor: | sax318 |
p(x) = [mm] 2x^4 [/mm] + [mm] 2x^3 [/mm] + [mm] 4x^2 [/mm] + 8x -16
p(x) = [mm] 2*(x^4 [/mm] + [mm] x^3 +2x^2 [/mm] +4x -8)
2= 0 stimmt nicht
[mm] x^4 [/mm] + [mm] x^3 +2x^2 [/mm] +4x -8 = 0
[mm] x^4 [/mm] + [mm] x^3 +2x^2 [/mm] +4x= 8 /Wurzel
x² + [mm] \wurzel(x^3) [/mm] + 2x + [mm] \wurzel(4x) [/mm] = 2.8284271247461903
ODER:
Test: -2, 2
[mm] -2^4 -2^3 -4^2 [/mm] -8= 8
-16 -8 - 16 - 8 = -48
stimmt also nicht
[mm] 2^4 [/mm] + [mm] 2^3 +4^2 [/mm] +8= 8
16+8+16+8 = 48
mitternachtsformel?
a=1
b=-2,828
c=4= 2+2 --> 2 + [mm] \wurzel(4)
[/mm]
x12 = [mm] \bruch{-b +- \wurzel(b²-4ac)}{2a}
[/mm]
x12 = [mm] \bruch{2,828 +- \wurzel(-8-16)}{2}
[/mm]
x12 = [mm] \bruch{2,828 +- \wurzel(-24)}{2}
[/mm]
wurzel aus neg. zahlen nciht möglich.
nehme an die zahlen sind falsch..
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Hallo nochmal,
was rechnest Du denn da? Da stimmt fast nichts.
> p(x) = [mm]2x^4[/mm] + [mm]2x^3[/mm] + [mm]4x^2[/mm] + 8x -16
> p(x) = [mm]2*(x^4[/mm] + [mm]x^3 +2x^2[/mm] +4x -8)
Das hier ist noch richtig!
> 2= 0 stimmt nicht
Ich nehme an, Du wendest gerade an, dass ein Produkt Null ist, wenn mindestens einer seiner Faktoren Null ist.
> [mm]x^4[/mm] + [mm]x^3 +2x^2[/mm] +4x -8 = 0
> [mm]x^4[/mm] + [mm]x^3 +2x^2[/mm] +4x= 8 /Wurzel
> x² + [mm]\wurzel(x^3)[/mm] + 2x + [mm]\wurzel(4x)[/mm] =
> 2.8284271247461903
Das ist Quatsch. Du kannst doch nicht gliedweise Wurzeln ziehen.
> ODER:
> Test: -2, 2
> [mm]-2^4 -2^3 -4^2[/mm] -8= 8
Das soll was bitte sein? Der Test für -2 oder für +2? Stimmt aber für beides nicht. Sonst hättest Du -2 als Nullstelle erkannt. Wieso fängst Du eigentlich nicht mit +1, -1 an? Das ist doch viel einfacher.
> -16 -8 - 16 - 8 = -48
> stimmt also nicht
Nee, in der Tat. Ganz und gar nicht, Deine Rechnung nämlich.
> [mm]2^4[/mm] + [mm]2^3 +4^2[/mm] +8= 8
> 16+8+16+8 = 48
>
> mitternachtsformel?
Gibts nicht für Polynome vierten Grades.
> a=1
> b=-2,828
> c=4= 2+2 --> 2 + [mm]\wurzel(4)[/mm]
>
> x12 = [mm]\bruch{-b +- \wurzel(b²-4ac)}{2a}[/mm]
> x12 =
> [mm]\bruch{2,828 +- \wurzel(-8-16)}{2}[/mm]
> x12 = [mm]\bruch{2,828 +- \wurzel(-24)}{2}[/mm]
>
> wurzel aus neg. zahlen nciht möglich.
> nehme an die zahlen sind falsch..
Nein, Deine Rechnung ist falsch.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:28 Di 21.12.2010 | | Autor: | sax318 |
für -2:
[mm] x^4 [/mm] + [mm] x^3 [/mm] + [mm] 2x^2 [/mm] +4x - 8 = 0
16 -8 +8 - 8 -8 = 0
16 - 16 =0
0 = 0
für 1:
1 +1 + 2 +4 -8
8-8 = 0
0= 0
nullstellen: -2, 1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:37 Di 21.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> für -2:
>
> [mm]x^4[/mm] + [mm]x^3[/mm] + [mm]2x^2[/mm] +4x - 8 = 0
> 16 -8 +8 - 8 -8 = 0
> 16 - 16 =0
> 0 = 0
>
> für 1:
>
> 1 +1 + 2 +4 -8
> 8-8 = 0
> 0= 0
>
> nullstellen: -2, 1
Stimmt
FRED
>
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 Di 21.12.2010 | | Autor: | sax318 |
das wars?
aber ist doch hoch 4.. heißt das nciht, dass es 4 nullstellen sein müssten?
bzw. das war jezt die ganze aufgabe?.. .. macnhmal ärgere ich mich echt über micht selbst.. ich mein sooo einfach .. und ich denke infach vielzu kompliziert..
.. :-(
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Hallo,
> das wars?
> aber ist doch hoch 4.. heißt das nciht, dass es 4
> nullstellen sein müssten?
Nein, höchstens 4 Nullstellen, es können auch weniger sein.
[mm]p(x)=x^4+1[/mm] hat zB. gar keine NST
>
> bzw. das war jezt die ganze aufgabe?..
Hast du denn die Faktorisierung des Polynoms schon irgendwo stehen? Ich habe das auf die Schnelle nicht gefunden in diesem doch leicht unübersichtlichen thread.
Sonst schreibe sie zur Kontrolle (noch) einmal hin!
> .. macnhmal ärgere
> ich mich echt über micht selbst.. ich mein sooo einfach ..
> und ich denke infach vielzu kompliziert..
> .. :-(
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:18 Di 21.12.2010 | | Autor: | sax318 |
hallo,
nein ich habe bisher nur die nullstellen geschafft.
das wäre meine nächste frage gewesen was ich jetzt weiter mache.
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:20 Di 21.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Zauberwort: Polynomdivision
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:55 Di 21.12.2010 | | Autor: | sax318 |
p(x) = [mm] 2x^4 [/mm] + [mm] 2x^3 +4x^2 [/mm] +8x -16
p(x) = 2 [mm] *(x^4 +x^3 +2x^2 [/mm] +4x -8)
[mm] x^4 +x^3 +2x^2 [/mm] +4x -8 = 0
Probe: 1
[mm] x^4 +x^3 +2x^2 [/mm] +4x -8 = 0
1+1+2+4-8=0
8-8=0
Probe: -2
[mm] x^4 +x^3 +2x^2 [/mm] +4x -8 = 0
16 - 8 + 8 - 8 - 8 = 0
16-16 = 0
Nullstellen: 1|-2
Polynomdivision: -2
[mm] (x^4 +x^3 +2x^2 [/mm] +4x -8):(x+2) = [mm] x^3 [/mm] -x² +4x -2 + (4/(x+2)
[mm] +-x^4 +-2x^3
[/mm]
0 [mm] -x^3 [/mm] + [mm] 2x^2
[/mm]
[mm] -+x^3 [/mm] -+2x²
0 4x² +4x
+-4x²+-6x
0 -2x -8
-+2x -+ 4
0 4R
Polynomdivision: 1
[mm] (x^4 +x^3 +2x^2 [/mm] +4x -8):(x-1) = [mm] x^3+ [/mm] 2x² 4x +8
[mm] +-x^4 -+x^3
[/mm]
0 [mm] 2x^3 [/mm] +2x²
[mm] +-2x^3 [/mm] -+ 2x²
0 4x² +4x
+- 4x² -+4x
8x - 8
+-8x -+8
0R
Macht dann:
[mm] x^3 [/mm] -x² +4x -2 + (4/(x+2)
[mm] x^3+ [/mm] 2x² 4x +8
sweit mal korrekt?
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Hallo nochmal,
wenn du so furchtbar aufschreibst, kann das kein Mensch korrigieren ...
> p(x) = [mm]2x^4[/mm] + [mm]2x^3 +4x^2[/mm] +8x -16
> p(x) = 2 [mm]*(x^4 +x^3 +2x^2[/mm] +4x -8)
> [mm]x^4 +x^3 +2x^2[/mm] +4x -8 = 0
>
> Probe: 1
> [mm]x^4 +x^3 +2x^2[/mm] +4x -8 = 0
> 1+1+2+4-8=0
> 8-8=0
>
> Probe: -2
> [mm]x^4 +x^3 +2x^2[/mm] +4x -8 = 0
> 16 - 8 + 8 - 8 - 8 = 0
> 16-16 = 0
>
> Nullstellen: 1|-2
>
> Polynomdivision: -2
> [mm](x^4 +x^3 +2x^2[/mm] +4x -8):(x+2) = [mm]x^3[/mm] -x² +4x -2 +
> (4/(x+2)
> [mm]+-x^4 +-2x^3[/mm]
> 0 [mm]-x^3[/mm] + [mm]2x^2[/mm]
> [mm]-+x^3[/mm] -+2x²
> 0 4x² +4x
> +-4x²+-6x
[mm]4\cdot{}2=8[/mm]
> 0 -2x -8
> -+2x -+ 4
> 0 4R
Dass ein Rest bleibt, macht dir gar nix aus, oder?? ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Wenn die Probe doch zeigt, dass [mm]-2[/mm] NST ist, muss die PD doch ohne Rest aufgehen.
Völlig schmerzfrei kann ich da nur sagen.
Das muss doch überall kribbeln und jucken?!
Du machst aber unbeeindruckt weiter!
Wahnsinn!!
>
> Polynomdivision: 1
>
> [mm](x^4 +x^3 +2x^2[/mm] +4x -8):(x-1) = [mm]x^3+[/mm] 2x² 4x +8
Grober Unfug!
Du musst die PD doch mit dem "Ergebnispolynom" der ersten PD machen, also "Ergebnispolynom":(x-1)=...
> [mm]+-x^4 -+x^3[/mm]
> 0 [mm]2x^3[/mm] +2x²
> [mm]+-2x^3[/mm] -+ 2x²
> 0 4x² +4x
> +- 4x² -+4x
> 8x - 8
> +-8x -+8
> 0R
>
> Macht dann:
>
> [mm]x^3[/mm] -x² +4x -2 + (4/(x+2)
> [mm]x^3+[/mm] 2x² 4x +8
>
>
>
> sweit mal korrekt?
Nein, sehr sehr falsch. Es zeigt, dass du PD gar nicht verstanden hast, das solltest du also dringendst nacharbeiten.
Vor allem deine Unbeeindrucktheit ob des Ergebnisses der ersten PD schockt mich doch, das muss ich zugeben ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:27 Mi 22.12.2010 | | Autor: | sax318 |
Hmm du schreibst 2*4= 8, aber schreibst selbst 6 hin ;)
ansonsten war mein rechengang doch korrekt - ok ich war etwas unbeeindruckt, dass ein rest übrig bleibt.. naja wieso sollte es mich auch beeindrucken, es bleibt oft rest ürig.. dann einfach hinten anschreiben..
aber ja hier kommt tatsächlich kein rest heraus:
[mm] (x^4 [/mm] + [mm] x^3 [/mm] + [mm] 2x^2 [/mm] + 4x - 8 ):(x+2) = [mm] x^3 -x^2 [/mm] +4x -4
[mm] +-x^4 +-2x^3
[/mm]
0 [mm] -x^3 +2x^2
[/mm]
[mm] -+x^3-+2x^2
[/mm]
0 [mm] 4x^2 [/mm] +4x
+-4x +-8x
0 -4x -8
-+4x -+8
0 0 R
[mm] (x^3 -x^2 [/mm] +4x -4):(x-1) = [mm] x^2 [/mm] +4
[mm] x^3 -+x^2
[/mm]
0 0 +4x
-4x -4
0 -+ 4
0R
[mm] x^2 [/mm] +4 = 0
[mm] x^2 [/mm] = 4
x1 = 2
x2= -2
jetzt korrekt?
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Hallo nochmal,
> Hmm du schreibst 2*4= 8, aber schreibst selbst 6 hin ;)
Ich habe die Stelle nur farbig markiert!
> ansonsten war mein rechengang doch korrekt - ok ich war
> etwas unbeeindruckt, dass ein rest übrig bleibt.. naja
> wieso sollte es mich auch beeindrucken, es bleibt oft rest
> ürig.. dann einfach hinten anschreiben..
Aber das kann doch nicht passieren hier, wenn das Polynom eine NST [mm]x_N[/mm] hat, so kannst du IMMER den Linearfaktor [mm](x-x_N)[/mm] abspalten!
>
> aber ja hier kommt tatsächlich kein rest heraus:
>
> [mm](x^4[/mm] + [mm]x^3[/mm] + [mm]2x^2[/mm] + 4x - 8 ):(x+2) = [mm]x^3 -x^2[/mm] +4x -4 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]+-x^4 +-2x^3[/mm]
> 0 [mm]-x^3 +2x^2[/mm]
> [mm]-+x^3-+2x^2[/mm]
> 0 [mm]4x^2[/mm] +4x
> +-4x +-8x
> 0 -4x -8
> -+4x -+8
> 0 0 R
>
> [mm](x^3 -x^2[/mm] +4x -4):(x-1) = [mm]x^2[/mm] +4
> [mm]x^3 -+x^2[/mm]
> 0 0 +4x
> -4x -4
> 0 -+ 4
> 0R
>
> [mm]x^2[/mm] +4 = 0
Dieses Restpolynom hat doch keine reellen NSTen.
Es lässt sich über den reellen Zahlen nicht weiter zerlegen!
> [mm]x^2[/mm] = 4
???????????????????????????????????????
Mir fehlen die Worte!
> x1 = 2
> x2= -2
Probe: [mm]x_1^2+4=2^2+4=4+4=8[/mm] also nicht 0
und [mm]x_2^2+4=(-2)^2+4=4+4=8[/mm] auch nicht 0
>
>
> jetzt korrekt?
Fast, aber was soll der letzte Rest Unsinn unten??
Wie sieht also die Faktorisierung des Ausgangspolynoms aus?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 Mi 22.12.2010 | | Autor: | sax318 |
achso nur markiert - sorry
und auch sorry, das ichs bis zum geht nicht mehr treibe.. und dann auch noch falsch.. dachte ich muss alles soweit zerlegen dass iwan X rauskommt..
jetzt habe ich:
[mm] 2*(x^4+x^3+2x^2-8)
[/mm]
[mm] x^3 -x^2 [/mm] +4x -4
[mm] x^2+4
[/mm]
zwischenfrage: wir haben doch
[mm] x^4+x^3+2x^2-8 [/mm] null gesetzt -> raten, polynomdivision und ergebnisse - siehe oben. aber jetzt habe ich doch noch immer keine nullstelle?
oder ist die nullstelle die schnittpunkte zwischen
[mm] x^3 -x^2 [/mm] +4x -4 und [mm] x^2+4 [/mm] ?
[mm] x^3-x^2+4x [/mm] = [mm] x^2 [/mm] +4 ?? ne oder?
danke schon mal
lg
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Hallo Sax,
das ist aber mühsam hier.
Du hast zwei Nullstellen gefunden, bei +1 und bei -2.
Darum hast Du das ursprüngliche Polynom - mit schon ausgeklammerter 2 - nacheinander durch (x-1) und (x+2) dividiert und hast [mm] (x^2+4) [/mm] erhalten.
Diese drei Klammern sind die Primfaktoren des Polynoms.
Das musst Du nur noch hinschreiben; die Arbeit ist eigentlich erledigt.
Deswegen verstehe ich überhaupt nicht, was Du da rechnen und gleichsetzen willst. Daher habe ich oben nochmal den (eigentlich kurzen) Gang der Berechnung skizziert. Soweit sind wir jetzt, und damit fast fertig.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:15 Mi 22.12.2010 | | Autor: | sax318 |
ich bin echt begeistert von mathe.. im grunde wurden fast alle aufgaben die ich bisher hier im matheraum gestellt habe.. durch nullstellenberechnung gelöst. echt genial diese nullstelle. 
herzlichen dank, dass ihr so geduldig mit mir seid :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:30 Do 23.12.2010 | | Autor: | sax318 |
Kurze Frage:
Primfaktoren:
(x-1)
(x+2)
[mm] (x^2 [/mm] +4)
Ausgangspolynom
p(X) = 2x4 [mm] +2x^3 +4x^2 [/mm] +8x -16
Primfaktoren ausmultipliziert:
p(x) = [mm] x^4 [/mm] + [mm] 4x^2 [/mm] + [mm] x^3 [/mm] + 4x - [mm] 2x^2 [/mm] - 8
sollte doch wieder das selbe rauskommen oder?
mir fehlt alles 2* --> ist jetzt 2 auch ein primfaktor? ist ja auch nur durch sich selbst un durch 1 teilbar.
lg
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Hallo sax!
Ja, auch der Faktor 2 gehört dazu!
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo,
es ist zwar sehr spießig und uncool, aber vielleicht könntest Du uns doch mal die genaue Aufgabenstellung verraten.
Ich wüßte z.B. gern, welches Polynom bearbeitet werden soll. So wie's jetzt dasteht, ist's ja etwas merkwürdig...
Und wo kommen die Koeffizienten her? [mm] \IZ, \IR, \Z/13\IZ [/mm] oder noch von anderswo?
Wie dem auch sei: geschickt könnte es sein, erstmal eine Nullstelle zu erraten.
Wenn normierte Polynome ganzzahlige Nullstellen haben, kommen dafür nur die Teiler des Absolutgliedes infrage. Dieses Wissen hilft manchmal.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Mi 22.12.2010 | | Autor: | sax318 |
oke jetzt ist aber dann noch
p(x) = [mm] a(x-2)^4 [/mm] + [mm] b(x-2)^3 +c(x-2)^2 [/mm] +d(x-2) +e
und bestimmen Sie a,b,c,d und e
offen...
und hier stehe ich echt an.. weil [mm] (x-2)^4 [/mm] ausrechnen ist schon eeecht häftig..
[mm] x^4 -8x^3+24x^2 [/mm] -32x + 16
die rechnung würde ja eewig lang werden.. also denke/hoffe das es nciht für alle notwendig ist.
bitte um einen tipp wie ich diese sache angehen soll.
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Hallo Sax,
na, sooo "häftig" auch nicht, wenn man den binomischen Lehrsatz kennt - über die Quadrate hinaus. Für den Exponenten 4 sind die Koeffizienten: 1,4,6,4,1.
Also [mm] (a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4.
[/mm]
Damit ist [mm] (x-2)^4=x^4-8x^3+24x^2-32x+16.
[/mm]
Ja, es wird ein bisschen Rechnerei, weil Du ein Gleichungssystem für Deine Koeffizienten a,b,c,d,e bekommst, das Du auch noch lösen musst.
Du schaffst das schon. 
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:25 Mi 22.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du kennst doch schon [mm] p(x)=(2*(x-1)*(x+2)*(x^2+4) [/mm] soweit ich mich erinnere
schreib [mm] 2*((x-2)+1)*((x-2)+4)*((x-2)^2+4x) [/mm] jetzt nur noch die 4x umschreiben und dann unter Beibehaltung der Klammern (x-2) ausmultiplizieren.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:26 Mi 22.12.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo leduart,
spart das nicht viel zu viel Arbeit?
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:58 Do 23.12.2010 | | Autor: | sax318 |
wusste doch das ich nicht so monsterrechnungen machen muss.. wäre ja irrsinn, zwar eine gute übung.. aber irrsinn
(x-2)(x-2)(x-2)(x-2)
(x²-2x-2x+4)(x²-2x-2x+4)
[mm] x^4-2x^3-2x^3+4x^2 -2x^2+4x^2+4x^2-8x-2x^2+4x^2+4x^2-8x+4x^2-8x-8x+16
[/mm]
[mm] x^4
[/mm]
[mm] -2x^3
[/mm]
[mm] -2x^3
[/mm]
[mm] +4x^2
[/mm]
[mm] -2x^2
[/mm]
[mm] +4x^2
[/mm]
[mm] +4x^2
[/mm]
[mm] -2x^2
[/mm]
[mm] +4x^2
[/mm]
[mm] +4x^2
[/mm]
[mm] +4x^2
[/mm]
-8x
-8x
-8x
-8x
+16
[mm] x^4-4x^3+20x^2-32x+16
[/mm]
oke egal.. kommt nicht das selbe raus.. aber ich weis theoretisch wie mans rechnen würde ;).. *mit dem taschenrechenr :-D)
oke zurück zum ursprünglichen beispiel:
erstmal danke für den tipp - ja stimmt ja gehört ja zusammen.
ALSO:
a)
p(x) = (2*(x-1)*(x+2)*(x²+4))
b) Entwickeln Sie das Polynom nach Potenzen (x-2)
FORM: p(x) = [mm] a(x-2)^4 [/mm] + [mm] b(x-2)^3 +c(x-2)^2 [/mm] +d(x-2) +e
und bestimmen Sie a,b,c,d und e
p(x) = [mm] (2*((x-2)-1)*((x-2)+2)*((x-2)^2+4))
[/mm]
Meine Frage nur:
Bei dir steht:
p(x)= 2*((x-2)+1)*((x-2)+ 4 [mm] )*((x-2)^2+ [/mm] 4x )
wie kommst du auf die 4 bzw auf die 4x?
was meinst du mit 4x umschreiben? das dann dort steht:
x auf eine seite bringen zahlen werte auf die andere um bestimmen zu können? - aber es ist doch a,b,d,c,e gefragt?
danke schon mal!
p(x)= [mm] 2*((x-2)+1)*((x-2)+4)*((x-2)^2+4x)
[/mm]
p(x) = 2*((x-2)² + 4(x-2) + (x-2) + [mm] 4)*((x-2)^2+4x)
[/mm]
p(x) = 2*((x-2)² + 5(x-2) + [mm] 4)*((x-2)^2+4x)
[/mm]
p(x) = [mm] 2*((x-2)^4 [/mm] +4x*(x-2) + [mm] 5(x-2)^3 [/mm] + 20x(x-2) + [mm] 4(x-2)^2 [/mm] + 16x
p(x) = [mm] 2*((x-2)^4 [/mm] + [mm] 5(x-2)^3 [/mm] + [mm] 4(x-2)^2 [/mm] + 24x(x-2)+16x)
.. aber ich habe jetzt noch diesen tipp nciht befolgt.. deshalb warte ich jetzt mitm weiter machen bzw. wüsste ich jetzt eh nicht wies weiter geht ohen das ich die (x-2) öffne. denke, dass lüftet sich dann wenn ich das mit den 4x vestanden habe
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:13 Do 23.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
da stand x+2 ich will x-2
also x+2??x-2+4
benso [mm] x^2+4=(x-2)^2+4x [/mm] nachrechnen.
Und weils beinahe Weihnachten ist noch ein Geschenk: ![[lehrer]](/images/smileys/lehrer.gif "[lehrer]") 4x=4*(x-2)+8
du willst doch nur noch Potenzen von (x-2) drum musst du alles so umschreiben, dass (x-2) und Zahl raukommt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 Do 23.12.2010 | | Autor: | sax318 |
ok jetzt hab ichs soweit verstanden wie du zu welchen zahlen kommst:
p(x) = (2*(x-1)*(x+2)*(x²+4))
p(x) = (2*((x-2)-1)*((x-2)+4)*((x-2)²+4x))
p(x) = (2*((x-2)-1)*((x-2)+4)*((x-2)²+(4*(x-2)+8))
jetzt ausmultiplizieren:
p(x) = (2*((x-2)-1)*((x-2)+4)*((x-2)²+(4*(x-2)+8))
p(x) = 2*(x-3)*(x+2)*(x²-2x+4)+4x-8+8
p(x) = 2*((x-3)*(x+2)*(x²-2x+4)+4x)
p(x) = 2*(x²+2x-3x-6)*(x²-2x+4)+4x)
p(x) = 2*(x²-x-6)*(x²-2x+4)+4x)
p(x) = 2*(x²-x-6)*(x²-2x+4)+4x)
p(x) = [mm] 2*(x^4-2x^3+4x^2-x^3+2x^2-4x-6x^2+12x-24+4x)
[/mm]
p(x) = [mm] 2*(x^4 -3x^3+10x-24)
[/mm]
p(x) = [mm] 2x^4 -6x^4 [/mm] +20x -48
hätte nicht eigentlich wieder das selbe wie bei a rauskommen sollen?
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Hohoho sax,
> ok jetzt hab ichs soweit verstanden wie du zu welchen
> zahlen kommst:
>
> p(x) = (2*(x-1)*(x+2)*(x²+4))
>
> p(x) = (2*((x-2)-1)*((x-2)+4)*((x-2)²+4x))
Da sollte statt [mm] $\red{-1}$ [/mm] besser [mm] $\red{+1}$ [/mm] stehen!
>
>
> p(x) = (2*((x-2)-1)*((x-2)+4)*((x-2)²+(4*(x-2)+8))
>
>
> jetzt ausmultiplizieren:
>
> p(x) = (2*((x-2)-1)*((x-2)+4)*((x-2)²+(4*(x-2)+8))
>
> p(x) = 2*(x-3)*(x+2)*(x²-2x+4)+4x-8+8
>
> p(x) = 2*((x-3)*(x+2)*(x²-2x+4)+4x)
>
> p(x) = 2*(x²+2x-3x-6)*(x²-2x+4)+4x)
>
> p(x) = 2*(x²-x-6)*(x²-2x+4)+4x)
>
> p(x) = 2*(x²-x-6)*(x²-2x+4)+4x)
>
> p(x) = [mm]2*(x^4-2x^3+4x^2-x^3+2x^2-4x-6x^2+12x-24+4x)[/mm]
>
>
> p(x) = [mm]2*(x^4 -3x^3+10x-24)[/mm]
>
> p(x) = [mm]2x^4 -6x^4[/mm] +20x -48
>
> hätte nicht eigentlich wieder das selbe wie bei a
> rauskommen sollen?
Ja, das Ausgangspolynom muss natürlich wieder herauskommen!
>
>
Gruß
schachuzipus
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Hallo Sax,
wildes Rechnen ist immer eine gute Übung, aber es führt ohne Nachdenken nicht zum Ziel.
Das, was Du da gerade ausgerechnet hast, willst Du gar nicht haben. Gefragt war etwas ganz anderes. Du solltest das Polynom in x in eines in (x-2) überführen.
> ok jetzt hab ichs soweit verstanden wie du zu welchen
> zahlen kommst:
>
> p(x) = (2*(x-1)*(x+2)*(x²+4))
>
> p(x) = (2*((x-2)+1)*((x-2)+4)*((x-2)²+4x))
>
>
> p(x) = (2*((x-2)+1)*((x-2)+4)*((x-2)²+(4*(x-2)+8))
>
>
> jetzt ausmultiplizieren:
Nein, eben nicht. Dann müsstest Du Dein ursprüngliches Polynom herausbekommen, wenn Du Dich nicht verrechnet hast.
> p(x) = (2*((x-2)+1)*((x-2)+4)*((x-2)²+(4*(x-2)+8))
Du sollst jetzt (x-2) als neue Variable benennen.
Damit Du nicht versehentlich eine dieser Klammern auflöst, benennst Du am besten mal um, z.B. u=x-2.
Das tu ich hier mal; und dann sollst Du also folgendes ausrechnen:
[mm] P(u)=2*(u+1)*(u+4)*(u^2+4u+8)
[/mm]
Die Koeffizienten, die Du dann vor den verschiedenen Potenzen von u stehen haben wirst, sind die gesuchten.
Lies nochmal die Aufgabe. Und denk nach, bevor Du rechnest: wo willst Du hin? Was musst Du dafür tun? Verlier nie das Ziel aus den Augen.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Fr 24.12.2010 | | Autor: | sax318 |
Hallo ihr lieben Weihnachtsmatheelfen
vielen dank für den u trick, dass ist echt intelligent und hilfreich!
aber das ist auch echt eine monsterrechnung...
p(x) = (2*((x-2)+1)*((x-2)+4)*((x-2)²+(4*(x-2)+8))
u = (x-2)
p(x) = (2*(u+1)*(u+4)*(u²+(4*u+8))
p(x) = (2*(u+1)*(u+4)*(u²+4u+8)
p(x) = [mm] (2u+2)*(u^3+4u^2+8u+4u^2+16u^2+32)
[/mm]
p(x) = [mm] (2u^4+8u^3+16u^2+8u^3+32u^2+64u)+(2u^3+8u^2+16u+8u^2+32u^2+64)
[/mm]
p(x) = [mm] 2u^4+8u^3+16u^2+8u^3+32u^2+64u+2u^3+8u^2+16u+8u^2+32u^2+64
[/mm]
p(x) = [mm] 2u^4 [/mm] + [mm] 18u^3 [/mm] + [mm] 96u^2 [/mm] +80u + 64
ABER: Aufgabenstellung:
Polynom nach Potenzen von (x-2) entwickeln
p(x) = [mm] a(x-2)^4 [/mm] + [mm] b(x-2)^3 [/mm] + [mm] c(x-2)^2 [/mm] + d(x-2) + e
und bestimmen Sie a,b,c,d,e
Mir ist echt unklar wie ich aus:
p(x) = [mm] 2u^4 [/mm] + [mm] 18u^3 [/mm] + [mm] 96u^2 [/mm] +80u + 64
jetzt a,b,c,d,e rauslesen kann?...
frohe Weihnachten! & vielen Dank für all eure Hilfen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:00 Fr 24.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
das u war doch nur ne Hilfe, damit du dich nicht vertust. du hast jetzt ein Polynom in (x-2), sobalsd du für u wieder x-2 einsetzt, und dann ist doch einfach etwa b=18 die Faktoren stehen doch da!
Frohes Fest leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Fr 24.12.2010 | | Autor: | sax318 |
p(x) = [mm] 2(x-2)^4 [/mm] + [mm] 18(x-2)^3 [/mm] + [mm] 96(x-2)^2 [/mm] + 80(x-2) + 64
a=2
b= 18
c=96
d=80
e=64
korret & das wars dann? sehr cool ^^
das christkind war voll brav hat ur viele geschenke gebracht ^^ hoffe eures war auch brav ^^
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Hallo, c und d sind nicht korrekt
mit u=x-2 bekommst du
[mm] 2*(u+1)*(u+4)*(u^{2}+4u+8)
[/mm]
[mm] =(2u+2)*(u+4)*(u^{2}+4u+8)
[/mm]
[mm] =(2u^{2}+10u+8)*(u^{2}+4u+8)
[/mm]
[mm] =2u^{4}+8u^{3}+16u^{2}+10u^{3}+40u^{2}+80u+8u^{2}+32u+64
[/mm]
[mm] =2u^{4}+18u^{3}+64u^{2}+112u+64
[/mm]
a=2; b=18; c=64; d=112; e=64
Steffi
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 18:35 Di 28.12.2010 | | Autor: | peter-cool |
Hallo,
komme auf das selbe Ergebnis mit maple: [mm] expand(2*(x-2)^4+18*(x-2)^3+64*(x-2)^2+112*(x-2)+64)=2*x^4+2*x^3+4*x^2+8*x-16
[/mm]
1) [mm] expand((x-2)^4)=x^4-8*x^3+24*x^2-32*x+16
[/mm]
dieses mit der gegebenen Funktion verglichen ergibt a=2
dann abziehen: [mm] x^4+x^3+2*x^2+4*x-8-x^4+8*x^3-24*x^2+32*x-16=9*x^3-22*x^2+36*x-24
[/mm]
2) da 9 vor [mm] x^3 [/mm] steht muss noch mit a multlipliziert werden, wegen Klammer ergibt b=18
dann Schritt 3 und 4 mit gleichem Koeffvergleich ergibt dann die obengenannten Koeffs... finde ich doch ein eleganter Lösungsweg
> Hallo, c und d sind nicht korrekt
>
> mit u=x-2 bekommst du
>
> [mm]2*(u+1)*(u+4)*(u^{2}+4u+8)[/mm]
>
> [mm]=(2u+2)*(u+4)*(u^{2}+4u+8)[/mm]
>
> [mm]=(2u^{2}+10u+8)*(u^{2}+4u+8)[/mm]
>
> [mm]=2u^{4}+8u^{3}+16u^{2}+10u^{3}+40u^{2}+80u+8u^{2}+32u+64[/mm]
>
> [mm]=2u^{4}+18u^{3}+64u^{2}+112u+64[/mm]
>
> a=2; b=18; c=64; d=112; e=64
>
> Steffi
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