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| Aufgabe | Ich betrachte nicht-konstante Polynome q [mm] \in \IQ[x] [/mm] und ihren Nullstellen [mm] \alpha, [/mm] mit [mm] \alpha \in \IR.
[/mm]
1. Für jedes [mm] \alpha [/mm] gibt es ein normiertes Polynom p [mm] \in \IQ[x] [/mm] kleinsten Grades, sodass [mm] p(\alpha)=0.
[/mm]
2. Dieses p ist irreduzibel in [mm] \IQ[x].
[/mm]
3. p teilt jedes andere Polynom q [mm] \in \IQ[x] [/mm] mit [mm] q(\alpha)=0. [/mm] |
1. Ich denke, die Polynome können folgendermaßen aussehen:
Für [mm] \alpha=\wurzel[n]{a} [/mm] : [mm] p(x)=(x^n-a^n) [/mm] (oBdA ist a keine Quadratzahl. Ansonsten könnte ich noch die dritte binomische Formel anwenden)
Diese Polynome können also beliebigen Grad haben (anders als in [mm] \IR)
[/mm]
Wie das aber aussieht, wenn [mm] \alpha=\wurzel[n]{a}+r, [/mm] wobei r irgendeine reelle Zahl ist, weiß ich nicht.
2. und 3. könnte man sicher relativ leicht beweisen, wenn man wüsste, wie diese Polynome aus 1. aussehen. So habe ich erst mal keine Idee.
Vielen Dank schon mal für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:33 Do 11.03.2010 | | Autor: | SEcki |
> 1. Ich denke, die Polynome können folgendermaßen
> aussehen:
> Für [mm]\alpha=\wurzel[n]{a}[/mm] : [mm]p(x)=(x^n-a^n)[/mm] (oBdA ist a
> keine Quadratzahl. Ansonsten könnte ich noch die dritte
> binomische Formel anwenden)
> Diese Polynome können also beliebigen Grad haben (anders
> als in [mm]\IR)[/mm]
> Wie das aber aussieht, wenn [mm]\alpha=\wurzel[n]{a}+r,[/mm] wobei
> r irgendeine reelle Zahl ist, weiß ich nicht.
Erstens darf r nicht beliebig sein (sonst gibt es i.A. kein Polynom q), zweitens können aber sehr wohl "komische" Zahlen auftreten, zB [m]\wurzel[5]{2}+\wurzel[7]{3}+\wurzel[13]{19}[/m]. Wie sieht hier das Polynom aus? Ich weiß es jedenfalls nicht - zu mindest nicht aus dem Stegreif.
> 2. und 3. könnte man sicher relativ leicht beweisen, wenn
> man wüsste, wie diese Polynome aus 1. aussehen. So habe
> ich erst mal keine Idee.
Du weißt nicht i.A., wie genau die Polynome aussehen. Das ist schwierig, ich glaube sogar eher ungelöst (also ob man die Koeffizienten genau angeben kann algortihmisch, weiß das jemand?)
Du solltest Teilen mit Rest probieren für alle Aufgaben - für die 1. einmal: betrachte die Menge aller Polynome ungleich dem Nullpolynom, die die gleiche Nullstelle [m]\alpah[/m] haben. Dann gibt es einen kleinsten Grad, man kann auch das Polynom normiert wählen. Wäre das kleinste nciht edeutig - wende Teilen mit Rest auf deine zwei Kandidaten an!
SEcki
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Danke für die Hilfe! Ich glaube, ich habe einen Beweis gefunden.
Ich habe aber noch eine kleine Frage:
Ich konstruiere die Menge aller Polynome mit rationalem Koeffizienten, die [mm] \alpha [/mm] als Nullstelle haben und nicht das Nullpolynom sind:
M := {p [mm] \in \IQ[x] [/mm] | [mm] p(\alpha)=0, [/mm] p ist nicht das Nullpolynom}
Nun mache ich zwei Schritte, bei denen ich mir nicht sicher bin, ob sie stimmen (bzw. sie müssen stimmen, ich weiß nur nicht, warum sie stimmen)
-> M ist nicht leer
-> M besitzt ein kleinstes Element (ein Element kleinsten Grades)
Warum kann ich diese zwei Folgerungen machen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:14 Do 11.03.2010 | | Autor: | SEcki |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Bitte stelle deine Rückfragen als Fragen und nicht als Mitteilungen! Danke!
> M := {p [mm]\in \IQ[x][/mm] | [mm]p(\alpha)=0,[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
p ist nicht das
> Nullpolynom}
>
> Nun mache ich zwei Schritte, bei denen ich mir nicht sicher
> bin, ob sie stimmen (bzw. sie müssen stimmen, ich weiß
> nur nicht, warum sie stimmen)
Was sind denn deine Ideeen dazu?
> -> M ist nicht leer
Vorraussetzung.
> -> M besitzt ein kleinstes Element (ein Element kleinsten
> Grades)
Das ist so falsch - es besitzt ein Element kleinsten Grades, das normiert ist (also Leitkoeffizient ist 1)
> Warum kann ich diese zwei Folgerungen machen?
Die erste ist vorrausgesetzt, die zweite so falsch. Wie man die zweite korrekt formuleirt steht oben, wie man es beweist in meiner ersten Antwort - teilen mit Rest!
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:24 Do 11.03.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
> > -> M besitzt ein kleinstes Element (ein Element kleinsten
> > Grades)
>
> Das ist so falsch - es besitzt ein Element kleinsten
> Grades, das normiert ist (also Leitkoeffizient ist 1)
M besitzt auch ein Element kleinsten Grades. Es wurde ja nicht behauptet, dass dies eindeutig sei.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:48 Do 11.03.2010 | | Autor: | SEcki |
> Hallo,
>
> > > -> M besitzt ein kleinstes Element (ein Element kleinsten
> > > Grades)
> >
> > Das ist so falsch - es besitzt ein Element kleinsten
> > Grades, das normiert ist (also Leitkoeffizient ist 1)
> M besitzt auch ein Element kleinsten Grades. Es wurde ja
> nicht behauptet, dass dies eindeutig sei.
Stimmt. ich habe da ein eindeutig reingebastelt.
SEcki
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:36 Do 11.03.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
> -> M ist nicht leer
Die meiner Meinung nach unglücklich formulierte Aufgabenstellung ist offenbar so gemeint, dass nur solche [mm] $\alpha\in\IR$ [/mm] betrachtet werden, die Nullstelle von mindestens einem nicht konstanten Polynom sind.
> -> M besitzt ein kleinstes Element (ein Element kleinsten
> Grades)
Sei [mm] $N:=\{\operatorname{grad}f\;|\;f\in M\}$ [/mm] die Menge aller Grade von Polynomen aus M. Wie alle nicht leeren Teilmengen der natürlichen Zahlen besitzt N ein kleinstes Element n. Nach Definition von N gibt es ein Polynom [mm] $f\in [/mm] M$ mit [mm] $\operatorname{grad}f=n$. [/mm] f ist ein Element von M kleinsten Grades.
Viele Grüße
Tobias
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