Positiv definit < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:48 Mi 31.10.2012 | | Autor: | eps |
| Aufgabe | | Ich suche ein Gegenbeispiel, dass das Produkt zweier positiv definiter Matrizen nicht positiv definit ist. |
Kann mir da jemand weiterhelfen? Ich bin schon die ganze Zeit am suchen, aber finde kein ordentliches Gegenbeispiel mit 2x2-Matrizen.
Danke schonmal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:50 Mi 31.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Kommentar: Der Hinweis mit den Eigenwerten ist falsch, da die
Matrizen nicht symmetrisch sind. Über eine Korrektur wird an anderer
Stelle nachgedacht!
Hallo,
> Ich suche ein Gegenbeispiel, dass das Produkt zweier
> positiv definiter Matrizen nicht positiv definit ist.
> Kann mir da jemand weiterhelfen? Ich bin schon die ganze
> Zeit am suchen, aber finde kein ordentliches Gegenbeispiel
> mit 2x2-Matrizen.
betrachte [mm] $A:=\pmat{1 & 2 \\ 0 & 1}$ [/mm] und [mm] $B:=\pmat{1 & 0 \\ -1/2 & 1}\,$
[/mm]
mit
[mm] $$A*B=\pmat{0 & 2\\ -1/2 & 1}\,,$$
[/mm]
und begründe, dass [mm] $A,B\,$ [/mm] positiv definit sind (EIGENWERTE!) und dass
[mm] $A*B\,$ [/mm] dies nicht sein kann!
(Tipp: Letzteres sieht man auch schnell so:
[mm] $(1,0)*\pmat{0 & 2\\ -1/2 & 1}*\vektor{1\\0}=\ldots$
[/mm]
Natürlich kannst Du aber auch bei [mm] $A*B\,$ [/mm] mit Eigenwerten
argumentieren!)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:03 Mi 31.10.2012 | | Autor: | eps |
Danke für die schnelle Antwort. Wenn ich richtig gerechnet habe, dann haben sie beide [mm] \lambda=1 [/mm] als doppelten Eigenwert?!
Und die letzte Rechnung mit AB ergibt null, sodass es nicht mehr positiv definit ist.
> Hallo,
>
> > Ich suche ein Gegenbeispiel, dass das Produkt zweier
> > positiv definiter Matrizen nicht positiv definit ist.
> > Kann mir da jemand weiterhelfen? Ich bin schon die
> ganze
> > Zeit am suchen, aber finde kein ordentliches Gegenbeispiel
> > mit 2x2-Matrizen.
>
> betrachte [mm]A:=\pmat{1 & 2 \\ 0 & 1}[/mm] und [mm]B:=\pmat{1 & 0 \\ -1/2 & 1}\,[/mm]
>
> mit
> [mm]A*B=\pmat{0 & 2\\ -1/2 & 1}\,,[/mm]
> und begründe, dass [mm]A,B\,[/mm]
> positiv definit sind (EIGENWERTE!) und dass
> [mm]A*B\,[/mm] dies nicht sein kann!
> (Tipp: Letzteres sieht man auch schnell so:
> [mm](1,0)*\pmat{0 & 2\\ -1/2 & 1}*\vektor{1\\0}=\ldots[/mm]
>
> Natürlich kannst Du aber auch bei [mm]A*B\,[/mm] mit Eigenwerten
> argumentieren!)
>
> Gruß,
> Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:49 Mi 31.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke für die schnelle Antwort. Wenn ich richtig gerechnet
> habe, dann haben sie beide [mm]\lambda=1[/mm] als doppelten
> Eigenwert?!
ja, und da alle Eigenwerte echt positiv sind, sind die Matrizen positiv
definit!
> Und die letzte Rechnung mit AB ergibt null, sodass es
Ja: Bei [mm] $A*B=\pmat{0 & 2\\ -1/2 & 1}$ [/mm] ist
[mm] $$(1,0)\cdot{}\pmat{0 & 2\\ -1/2 & 1}\cdot{}\vektor{1\\0}=\blue{0}\,,$$
[/mm]
und da nicht $0 < [mm] \blue{0}$ [/mm] ist, kann [mm] $A*B\,$ [/mm] nicht positiv definit sein!
> nicht mehr positiv definit ist.
Das "mehr" macht keinen Sinn - wir haben ja an [mm] $A*B\,$ [/mm] nix "gedreht". 
Aber ansonsten: Genau! 
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:50 Do 01.11.2012 | | Autor: | eps |
Vielen Dank für deine Antwort!!!
Ich hab jetzt doch nochmal eine Frage dazu:
Gilt generell
A positiv definit [mm] \gdw [/mm] Eigenwerte positiv ?
Ich finde diesen Satz nämlich nur für symmetrische Matrizen und das sind hier ja keine.
Wenn dieser Satz stimmt, kann mir vielleicht jemand ein Buch nennen, wo ich das finde?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:05 Do 01.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank für deine Antwort!!!
> Ich hab jetzt doch nochmal eine Frage dazu:
> Gilt generell
> A positiv definit [mm]\gdw[/mm] Eigenwerte positiv ?
>
> Ich finde diesen Satz nämlich nur für symmetrische
> Matrizen und das sind hier ja keine.
oh, da hast Du Recht. Da hab' ich einen Fehler begangen. Ich schau' mal,
ob sich das korrigieren läßt!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:15 Do 01.11.2012 | | Autor: | eps |
also bei A erhalten wir für [mm] x^TAx=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2=(x_1+x_2)^2>0 [/mm] und gleich null, wenn [mm] x_1= [/mm] - [mm] x_2. [/mm]
Sie ist also nicht positiv definit, wenn wir z.B. den Vektor (-1, 1) betrachten...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:22 Do 01.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo eps,
> also bei A erhalten wir für
> [mm]x^TAx=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2=(x_1+x_2)^2>0[/mm] und gleich null,
> wenn [mm]x_1=[/mm] - [mm]x_2.[/mm]
> Sie ist also nicht positiv definit, wenn wir z.B. den
> Vektor (-1, 1) betrachten...
damit hat sich auch die Frage geklärt, ob i.a. nur bei symmetrischen
Matrizen gefolgert werden kann, dass, wenn alle Eigenwerte positiv
sind, dann auch die Matrix pos. definit ist.
P.S.
> Sie ist also nicht positiv definit, wenn wir z.B. den
> Vektor (-1, 1) betrachten...
Diese Formulierung hört sich an, als wenn die Matrix positiv definit werden
würde, wenn wir etwa andere Vektoren betrachten. Formuliere sowas
besser als:
Wie man mittels Betrachtung des Vektors [mm] $(-1,1)\,$ [/mm] sieht, folgt, dass die
Matrix nicht positiv definit sein kann.
P.S. Für symmetrische $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrizen kann man sich schnell eine
Charakterisierung hinschreiben, wann eine solche positiv definit ist.
Vielleicht muss man in der Aufgabe versuchen, nicht symmetrische pos.
definite Matrizen zu finden...
Ich habe mir aber auch noch nicht überlegt, ob das Produkt zweier
symm. pos. def. Matrizen auch (nicht notw. symmetrisch, aber) pos.
definit sein muss.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:26 Do 01.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
ich muss mehr über die Aufgabe nachdenken, aber evtl.
lies mal:
![[]](/images/popup.gif) hier (klick!)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 Do 01.11.2012 | | Autor: | eps |
also ich hab mir was überlegt:
wir betrachten die symmetrischen Matrizen
[mm] A=\pmat{ 2&0 \\ 0 & 1 } [/mm] mit Eigenwerten 2 und 1
[mm] B=\pmat{1 &1\\1&\bruch{1}{2}} [/mm] mit Eigenwerten 1 und [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Das Produkt ist
[mm] AB=\pmat{2 &2\\1&\bruch{1}{2}}
[/mm]
und für x=(1, -1) gilt
[mm] x^TABx=-\bruch{1}{2}<0
[/mm]
stimmt das so oder habe ich mich da irgendwo verrechnet?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:25 Do 01.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> also ich hab mir was überlegt:
>
> wir betrachten die symmetrischen Matrizen
> [mm]A=\pmat{ 2&0 \\ 0 & 1 }[/mm] mit Eigenwerten 2 und 1
> [mm]B=\pmat{1 &1\\1&\bruch{1}{2}}[/mm] mit Eigenwerten 1 und
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Das Produkt ist
> [mm]AB=\pmat{2 &2\\1&\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> und für x=(1, -1) gilt
> [mm]x^TABx=-\bruch{1}{2}<0[/mm]
>
> stimmt das so oder habe ich mich da irgendwo verrechnet?
Alles O.K.
FRED
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[mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & \bruch{1}{2} } [/mm] ist nicht positiv definit und die Eigenwerte oben sind also falsch.
Z.B. ist sind aber
[mm] \pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] und [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & \bruch{17}{16} }
[/mm]
positiv definit, das Produkt aber nicht! Dieses ist auch keine symmetrische Matrix.
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