Positive Definitheit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:42 So 10.07.2005 | | Autor: | jennyf |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Habe eine wichtige Frage und zwar weiß ich nicht, wie ich die folgende Behauptung beweisen kann. Wäre um eine schnelle Antwort sehr dankbar.
Die Aufgabe: Es sei A= [mm] (\alpha [/mm] kl) [mm] \in [/mm] M(n,n) eine positiv definite symmetrische MAtrix. Zeigen sie: [mm] \alpha [/mm] kk >0 für k= 1,....,n
Danke schon mal im vorraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:15 So 10.07.2005 | | Autor: | Jazzy |
Hi Jenny,
na, was heißt denn pos definit? Guck Dir mal die Definition an.
für alle x ungleich Null muss <x,Ax> (Skalarprodukt) größer Null sein.
Und schaffst Du es, einen Vektor zu finden, für den dort das Diagonalelement von A rauskommt?
Gruß,
Jazzy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Mo 11.07.2005 | | Autor: | jennyf |
Ich kann ja <x,Ax> auch schreiben (da A [mm] \in [/mm] M(n,n) und somit endlich) als [mm] <\summe_{i=1}^{n} \alphai [/mm] bi, [mm] \lambda \summe_{i=1}^{n} \alphai [/mm] bi> dabei ist x /in Orthogonalbasis (d.h.: Eigenvektor zu einem [mm] \lambda)
[/mm]
Das obere Skalar kann ich soweit umformen, dass ich letztlich nur noch [mm] \lambda \alphai² [/mm] stehen und es muss gelten >0 wie komme ich jetzt weiter??? Weiß nicht wie ich daraus schließen kann, dass [mm] \alphakk>0
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:05 Mo 11.07.2005 | | Autor: | Jazzy |
Hi Jenny,
Du brauchst keinen Umweg über Eigenvektoren zu gehen.
Du hast doch eine nxn Matrix mit Einträgen in R, oder?
Nimm doch einfach den j-ten Einheitsvektor, j-te Stelle 1 sonst überall Null und setze diesen für x ein. Das Ergebnis muss größer Null sein, da die Matrix pos.def.
Jetzt klar?
Jazzy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:02 Di 12.07.2005 | | Autor: | jennyf |
Ich denke schon, dass ich's jetzt kapiert habe. Danke für die Hilfe
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