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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:54 Mo 09.01.2012 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Betrachten Sie das Vektorfeld [mm] f:\IR^{2}/\{0\}\to \IR^{2},
[/mm]
[mm] f\vektor{x \\ y}:=\bruch{1}{x^{2}+y^{2}}*\vektor{-y \\ x} [/mm] und zwei sternförmige Gebiete [mm] G_{1}:=\IR^{2}/\{(x,0):x\le 0\} [/mm] und [mm] G_{2}:=\IR^{2}/\{(x,0):x\ge 0\}.
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass f einen Potential auf [mm] G_{1} [/mm] und einen Potential auf [mm] G_{2} [/mm] hat und bestimmen Sie diese.
Hinweis: Benutzen Sie die Polarzerlegung : [mm] \gamma(t)=r(t)*\vektor{cos(\phi(t) \\ sin(\phi(t)}.
[/mm]
b)Gibt es einen globalen Potential für f auf
[mm] \IR/\{0\}? [/mm] |
Hallo,
zu dieser Aufgabe gibt es Hinweise für die Lösung ![[]](/images/popup.gif) CAS03.pdf, G2 und "hints for solution" zu G2 (auf Englisch).
In "hints for solution" zu a) verstehe ich den ersten Satz nicht.
Was bedeutet , dass die Polarzerlegung einen Diffeomorphismus induziert?
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:45 Mo 09.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
es ist eigentlich niucht schwer Diffeomorphismus in wiki nachzusehen. aber ich bin nett:
DM_=bijektive, stetig differenzierbare Abbildung, deren Umkehrabbildung auch stetig differenzierbar ist.
Kurz, du kannst es ohne Bedenken in Polarkoordinaten rechnen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:43 Mo 09.01.2012 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
es geht nicht explizit um Diffeomorphismus ( was mir sicherlich bekannt ist), sondern (da ich nett bin, wiederhole ich mich wieder):
Meine Frage ist:
Was bedeutet, dass die Polarzerlegung einen Diffeomorphismus
induziert?
Eigentlich lege ich bei der Frage Wert auf "induzieren".
Was heisst hier, dass ich einfach in Polarkoordinaten rechnen kann? Kannst Du das bitte genauer erklären?
Ich stelle diese Frage, weil es mir wirklich unklar ist und ich nicht einen klaren Zusammenhang zwischen Polarzerlegung und Diffeomorphismus sehe. Sogar blosse Definition von "Induzieren" mir nicht weiterhilft.
Gruss
Igor
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:46 Mo 09.01.2012 | | Autor: | chrisno |
ganz allgemein bedeutet "induzieren" in diesem Zusammenhang "herstellen", "erzeugen", "bewirken"
Es geht sicher noch genauer.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 Mo 09.01.2012 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
die obige Mitteilung wollte ich jetzt als Frage stellen. Es wurde vom System nicht akzeptiert.
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:05 Mo 09.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn 2 Darstellungen diffeomorph sind kannst du alles in der einen oder anderen Darstellung rechnen, da man wegen der Umkehrung jederzeit die darstellung (theoretich) wechseln kann, Seshalb kann man die nehmen, die am einfachsten dem Problem angepasst ist. hier die Polarkoo Darstellung.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 Sa 21.01.2012 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
ich kenne mich mit Potential-Berechnen nicht so gut aus.
Dazu habe ich in einem Buch (Analysis Teil 2 von Harro Heuser) nachgeschaut, wie man Potential für ein Vektorfeld in [mm] \IR^{2} [/mm] berechnen kann.
Dort wird beschrieben, dass man das Vektorfeld zuerst in seine Komponenten [mm] (f_{1}(x,y),f_{2}(x,y)) [/mm] zerlegt.
Dann macht man den Ansatz :
[mm] \bruch{\partial \phi}{\partial x}:= f_{1}(x,y) [/mm] und [mm] \bruch{\partial \phi}{\partial y}:= f_{2}(x,y). (\phi [/mm] ist Potential)
Dann wird dort unbestimmtes Integral von [mm] f_{1}(x,y) [/mm] gebildet. Dazu wird dann eine Konstante g(y) dazuaddiert. Das unbestimmte Integral plus die Konstante (kurz: I +K) soll dann das gesuchte Potential sein.
Um g(y) zu bestimmen leitet man I+K nach y ab und das Ergebnis wird mit [mm] f_{2}(x,y) [/mm] gleichgesetzt. Durch diese Gleichung wird dann g(y) bestimmt und damit auch das Potential.
Als Ergebnis habe ich dann für die obige Aufgabenstellung [mm] -arctan(\bruch{x}{y})+const [/mm] herausbekommen.
In den Hinweisen zu der Lösung (siehe den obigen Link) steht aber , dass dort bei der Bestimmung vom Potential ein Weg benutzt wird.
Als Potential bezüglich [mm] G_{1} [/mm] bzw als Potential bezügl [mm] G_{2} [/mm] kommt Winkel bzw. Winkel [mm] -\pi [/mm] heraus.
Ist diese Vorgehensweise eine andere Möglichkeit Potential zu berechnen?
Ich weiß aber dann nicht , wie man dabei genau vorgehen soll.
Weiß jemand, wie man das macht?
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:45 Sa 21.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast doch ein sternförmiges Gebiet G1 darin musst du von [mm] p_0 [/mm] auf der pos. x-achse zu dem Punkt P(x,y) integrieren, auf einem Weg (gerade) die nicht durch die neg. X-achse geht
also einfach
[mm] \integral_{\gamma}{\vec{F}\vec{dx}}
[/mm]
ebenso für [mm] G_2
[/mm]
was du mit "Als Potential bezüglich $ [mm] G_{1} [/mm] $ bzw als Potential bezügl $ [mm] G_{2} [/mm] $ kommt Winkel bzw. Winkel $ [mm] -\pi [/mm] $ heraus."
meinen kannst ist mir schleierhaft.
dein"link" ist toll! denkst du wirklich wir haben hier ale das Buch neben uns, das du grade benutzt? warum machst du nicht, was dort steht?
Gruss leduart
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