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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:10 So 30.11.2008 | | Autor: | Beliar |
| Aufgabe | Beweisen Sie durch voll.Induk. nach n, dass für alle natürlichen Zahlen m und n gilt:
[mm] (1+m)^n \ge [/mm] 1+m*n. |
Hallo,
also ich verstehe im Moment nicht wie ich das beweisen soll oder vielmehr kann.
Wenn ich für n =1 nehme passiert doch folgendes
[mm] (1+m)^1 \ge [/mm] 1+m*1 das ist dann doch
1+m [mm] \ge [/mm] 1+1m also auf beiden Seiten das gleiche
wer mag mir hier weiterhelfen?
Danke für jeden Tip
Beliar
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Hallo Reinhard,
> Beweisen Sie durch voll.Induk. nach n, dass für alle
> natürlichen Zahlen m und n gilt:
> [mm](1+m)^n \ge[/mm] 1+m*n.
> Hallo,
> also ich verstehe im Moment nicht wie ich das beweisen
> soll oder vielmehr kann.
Zunächst nimmst du dir ein beliebiges [mm] $m\in\IN$ [/mm] als fest gegeben her, dann machst du die Induktion über $n$
> Wenn ich für n =1 nehme passiert doch folgendes
> [mm](1+m)^1 \ge[/mm] 1+m*1 das ist dann doch
> 1+m [mm]\ge[/mm] 1+1m also auf beiden Seiten das gleiche
> wer mag mir hier weiterhelfen?
Ja, da steht $1+m \ [mm] \ge [/mm] \ 1+m$
Das ist doch eine wahre Aussage, ich sehe da keinen Widerspruch
Es ist doch meinetwegen auch $5 \ ge \ 5$, oder nicht?
Nun weiter mit der Induktion:
Ind.vor.: Sei [mm] $n\in\IN$ [/mm] beliebig und gelte [mm] $(1+m)^n [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] 1+n\cdot{}m$
[/mm]
Dann ist im Induktionsschluss die Gültigkeit der Aussage für $n+1$ zu zeigen, zu zeigen ist also, dass gilt
[mm] $(1+m)^{n+1} [/mm] \ ge \ [mm] 1+(n+1)\cdot{}m$
[/mm]
Nimm dir dazu mal die linke Seite her, forme ein bisschen um, so dass du die Ind.vor. ins Spiel bringen kannst, weit ist es nicht mehr ... 
> Danke für jeden Tip
> Beliar
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 So 30.11.2008 | | Autor: | Beliar |
Also die Frage die ich habe,
1+m [mm] \ge [/mm] 1+m ist also wahr, weil größer GLEICH gefragt ist ok
aber wie wird die linke Seite umgeformt
[mm] (1+m)^n+1 [/mm] wird daraus (1*n+1)+(m*n+1) also
n+1 + nm+ m und ist die Seite darum größer?
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Hallo nochmal,
> Also die Frage die ich habe,
> 1+m [mm]\ge[/mm] 1+m ist also wahr, weil größer GLEICH gefragt ist
> ok
> aber wie wird die linke Seite umgeformt
> [mm](1+m)^n+1[/mm] wird daraus (1*n+1)+(m*n+1) also
> n+1 + nm+ m und ist die Seite darum größer?
Das ist leider nur schwerlich zu entziffern:
Schreibe Exponenten, Indizes und was auch immer mit mehr als 1 Zeichen in geschweifte Klammern {}
linke Seite: [mm] $(1+m)^{n+1}=(1+m)\cdot{}\red{(1+m)^n} [/mm] \ > \ [mm] (1+m)\cdot{}\red{(1+n\cdot{}m)}$ [/mm] nach Ind.vor.
Multipliziere da mal aus, sortiere um, denke daran, dass du zu [mm] $(1+(n+1)\cdot{}m)$ [/mm] hinkommen willst, halte das also im Blick
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 So 30.11.2008 | | Autor: | Beliar |
ok, ich versuche das mal
linke Seite:
(1+m)^(n+1) wird dann [mm] (1+m)^1 [/mm] und [mm] (1+m)^n [/mm] das verstehe ich
dann aus dem ersten teil (1+m) aus dem zweiten müsste dann ( 1n +mn) werden.
und zusammen ( 1+ 1n+mn+m) aber wie komme ich zu deinem Ergebnis?
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Hallo nochmal,
> ok, ich versuche das mal
> linke Seite:
> (1+m)^(n+1) wird dann [mm](1+m)^1[/mm] und [mm](1+m)^n[/mm] das verstehe
> ich
> dann aus dem ersten teil (1+m) aus dem zweiten müsste dann
> ( 1n +mn) werden. ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
In der Indvor. steht doch [mm] $(1+m)^n [/mm] \ > \ [mm] (1+n\cdot{}m)$
[/mm]
Wieso machst du daraus was anderes?
Wir haben nun [mm] $(1+m)^{n+1}=(1+m)(1+m)^n [/mm] \ > \ [mm] (1+m)(1+n\cdot{}m)$ [/mm] nach genau der Indvor.
[mm] $=1+nm+m+mnm=(1+(n+1)m)+nm^2$
[/mm]
Nun ist aber [mm] $nm^2>0$, [/mm] also nehmen wir das weg und verkleinern so weiter
[mm] $(1+(n+1)m)+nm^2 [/mm] \ > \ (1+(n+1)m)$
Und genau das war im Induktionsschritt zu zeigen.
Schaue dir mal die ganz linke Seite und die ganz rechte Seite an ohne alle Zwischenschritte, dann haben wir hier also gezeigt:
[mm] $(1+m)^{n+1} [/mm] \ > \ [mm] 1+(n+1)\cdot{}m$
[/mm]
genau das, was wir wollten
> und zusammen ( 1+ 1n+mn+m) aber wie komme ich zu deinem
> Ergebnis?
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:41 So 30.11.2008 | | Autor: | Beliar |
Danke so langsam wirds klar
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