Potenzen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | a, b [mm] \in \IR [/mm] mit b = 0
[mm] a^{b} [/mm] = 1 [mm] \gdw [/mm] (a = 1 [mm] \vee [/mm] b = 0 [mm] \not= [/mm] a) |
Ich weiß nicht, wie ich dies beweisen soll.
Die Richtung: [mm] a^{b} [/mm] = 1 [mm] \Leftarrow [/mm] (a = 1 [mm] \vee [/mm] b = 0 [mm] \not= [/mm] a) ist einfach.
Aber die Gegenrichtung zu zeigen fällt mir schwer.
|
|
| |
|
Hallo,
> a, b [mm]\in \IR[/mm] mit b = 0
>
> [mm]a^{b}[/mm] = 1 [mm]\gdw[/mm] (a = 1 [mm]\vee[/mm] b = 0 [mm]\not=[/mm] a)
> Ich weiß nicht, wie ich dies beweisen soll.
>
> Die Richtung: [mm]a^{b}[/mm] = 1 [mm]\Leftarrow[/mm] (a = 1 [mm]\vee[/mm] b = 0 [mm]\not=[/mm]
> a) ist einfach.
>
> Aber die Gegenrichtung zu zeigen fällt mir schwer.
Darfst Du logarithmieren? 
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:02 Mo 06.07.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> a, b [mm]\in \IR[/mm] mit b = 0
>
> [mm]a^{b}[/mm] = 1 [mm]\gdw[/mm] (a = 1 [mm]\vee[/mm] b = 0 [mm]\not=[/mm] a)
> Ich weiß nicht, wie ich dies beweisen soll.
>
> Die Richtung: [mm]a^{b}[/mm] = 1 [mm]\Leftarrow[/mm] (a = 1 [mm]\vee[/mm] b = 0 [mm]\not=[/mm]
> a) ist einfach.
>
> Aber die Gegenrichtung zu zeigen fällt mir schwer.
mach dir das mal "in Worten" klar. [mm] a^n [/mm] bedeutet ja, dass du a eben n-mal mit sich selber multiplizieren musst. Damit dann immer noch 1 heruskommt, muss entweder die 1 mehrfach mit sich selber multipliziert werden oder eben die Zahl a eben genau 0-mal mit sich selber multipliziert werden.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:23 Di 07.07.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Marius!
> mach dir das mal "in Worten" klar. [mm]a^n[/mm] bedeutet ja, dass du
> a eben n-mal mit sich selber multiplizieren musst.
In der (von mir vermuteten korrigierten) Aufgabenstellung muss aber $b$ gar keine natürliche Zahl n sein.
> Damit
> dann immer noch 1 heruskommt, muss entweder die 1 mehrfach
> mit sich selber multipliziert werden oder eben die Zahl a
> eben genau 0-mal mit sich selber multipliziert werden.
Betrachte mal $a=-1$ und $n=2$...
(Falls, wie von mir vermutet, $a>0$ vorausgesetzt sein soll, spielt dieser Fall natürlich für die Aufgabenstellung keine Rolle.)
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:13 Di 07.07.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo m8sar6l1Uu!
> a, b [mm]\in \IR[/mm] mit b = 0
>
> [mm]a^{b}[/mm] = 1 [mm]\gdw[/mm] (a = 1 [mm]\vee[/mm] b = 0 [mm]\not=[/mm] a)
Bitte überprüfe die Aufgabenstellung:
Soll wirklich b die reelle Zahl 0 sein, wie es die Formulierung [mm] "$a,b\in\IR$ [/mm] mit $b=0$" ausdrückt?
Falls ja: Dann ist die linke Seite stets erfüllt (wenn ihr [mm] $a^0:=1$ [/mm] für alle [mm] $a\in\IR$ [/mm] definiert habt), während die rechte Seite für $a=0$ nicht erfüllt ist.
Die Behauptung ist also falsch.
Falls nein: Dann ist [mm] $a^b$ [/mm] zumindest für $a<0$ und [mm] $b\notin\IN_0$ [/mm] üblicherweise gar nicht definiert.
Auf der linken Seite von [mm] $\gdw$ [/mm] steht somit im Allgemeinen gar keine sinnvolle Aussage.
Ich erlaube mir daher mal, bis zur Klärung der Aufgabenstellung von [mm] "$a,b\in\IR$ [/mm] mit $a>0$" anstelle von [mm] "$a,b\in\IR$ [/mm] mit $b=0$" auszugehen.
> Die Richtung: [mm]a^{b}[/mm] = 1 [mm]\Leftarrow[/mm] (a = 1 [mm]\vee[/mm] b = 0 [mm]\not=[/mm]
> a) ist einfach.
>
> Aber die Gegenrichtung zu zeigen fällt mir schwer.
Was weißt du über die (strenge) Monotonie der Abbildungen
[mm] $f_a\colon\IR\to\IR,\quad a\mapsto a^x$
[/mm]
für $a>0$ in Abhängigkeit von a?
(Falls ihr das noch nicht hattet, nutze eure Definition von [mm] $a^x$, [/mm] um die Monotonie zu untersuchen.)
Für diejenigen $a>0$, für die [mm] $f_a$ [/mm] streng monoton ist, ist [mm] $f_a$ [/mm] insbesondere injektiv.
(Begründe dies, falls ihr diesen Zusammenhang noch nicht kennt.)
Insbesondere folgt für diese Zahlen $a$ im Falle [mm] $a^b=1$ [/mm] aus
[mm] $f_a(b)=a^b=1=a^0=f_a(0)$
[/mm]
dann was?
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
|
