Potenzmenge einer Potenzmenge < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:56 Di 24.10.2006 | | Autor: | Leader |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie für M = {a} sowohl P(M) als auch P(P(M)) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Es geht also um eine einelementige Menge, von der die Potenzmenge und die Potenzmenge der Potenzmenge gebildet werden sollen.
P(M) ist noch leicht: P(M) = { [mm] \emptyset, [/mm] {a} }
Wie ist das jetzt aber bei der Potenzmenge der Potenzmenge? Kann dort die leere Menge mehrmals vorkommen?
Ich tendiere zu folgender Lösung, hätte es aber gern noch einmal abgesichert, da ich mir nicht wirklich sicher bin, ob das stimmt:
P(P(M)) = { [mm] \emptyset [/mm] , {a}, {a, [mm] \emptyset [/mm] } }
Danke im Voraus,
Leader.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:25 Di 24.10.2006 | | Autor: | statler |
Guten Tag Leader!
> Es geht also um eine einelementige Menge, von der die Potenzmenge
> und die Potenzmenge der Potenzmenge gebildet werden sollen.
> P(M) ist noch leicht: P(M) = { [mm] \emptyset, [/mm] {a} }
Genau!
> Wie ist das jetzt aber bei der Potenzmenge der Potenzmenge?
> Kann dort die leere Menge mehrmals vorkommen?
> Ich tendiere zu folgender Lösung, hätte es aber gern noch einmal
> abgesichert, da ich mir nicht wirklich sicher bin, ob das stimmt:
> P(P(M)) = { [mm] \emptyset [/mm] , {a}, {a, [mm] \emptyset [/mm] } }
Nee, das Ding muß 4 Elemente haben! Also:
P(P(M)) = { [mm] \emptyset [/mm] , [mm] {\emptyset}, [/mm] {{a}}, { [mm] \emptyset, [/mm] {a} }}
Die Teilmengen der Menge bilden die Elemente der Potenzmenge, eigentlich ganz einfach.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:49 Mi 03.01.2007 | | Autor: | schennie |
Ich habe eine ähnliche Aufgabe bekommen, welche lautet
P(P({1,2))
Meine Frage ist jetzt, lautet das Endergebnis dann { [mm] \emptyset [/mm] , [mm] \emptyset [/mm] ,{1},2},{1,2},{1,2,1},{1,2,2}}
Ich blicke nicht so ganz durch, welche Teilmengen man wiederholen muss, da ja die leere Menge auch zweifach angegeben wird.
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Hallo schennie!
> Ich habe eine ähnliche Aufgabe bekommen, welche lautet
>
> P(P({1,2))
>
> Meine Frage ist jetzt, lautet das Endergebnis dann {
> [mm] \emptyset ,\emptyset [/mm] ,{1},2},{1,2},{1,2,1},{1,2,2}}
>
> Ich blicke nicht so ganz durch, welche Teilmengen man
> wiederholen muss, da ja die leere Menge auch zweifach
> angegeben wird.
Zuerst einmal beachte bitte meinen Kommentar zu Dieters Antwort: hier. Und dann gehen wir das Ganze mal ganz langsam an:
Wir haben also die Menge [mm] \{1,2\}, [/mm] eine zweielementige Menge mit den Elementen 1 und 2. Demnach muss die Potenzmenge 4 Elemente enthalten, nämlich die leere Menge und die gesamte Menge [mm] \{1,2\}, [/mm] dazu noch die beiden echten Teilmengen, die jeweils ein Element der eigentlichen Menge enthalten. Wir haben also: [mm] P(\{1,2\})=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}.
[/mm]
Diese Menge betrachten wir jetzt einfach als unsere Ausgangsmenge (ist ja egal, ob sie Potenzmenge einer anderen Menge ist, wir könnten sie ja auch irgendwo anders her haben, vielleicht ist sie beim letzten Regen vom Himmel gefallen  ). Jedenfalls hat diese Menge 4 Elemente, die Potenzmenge hiervon hat also [mm] 2^4=16 [/mm] Elemente, demnach kann deine Lösung nicht stimmen.
Nun, welche Elemente enthält die Potenzmenge?
Sie enthält natürlich immer die leere Menge und die gesamte Menge. Und zwar die gesamte Menge als Element, d.h., die Menge ist eine Element, und da die Mengenklammern [mm] \{ \} [/mm] zu einer Menge dazugehören, gehören sie in diesem Fall auch zu dem Element dazu!
Insgesamt enthält die Potenzmenge, wie Dieter schon sagte, alle Teilmengen der Ausgangsmenge. Nun, was haben wir hier für Teilmengen? Das wären doch auf jeden Fall die einelementigen Teilmengen, die jeweils eins der obigen Elemente enthalten.
Das wären [mm] \{\emptyset\}, \{\{1\}\}, \{\{2\}\} [/mm] und [mm] \{\{1,2\}\}. [/mm] Beachte hier, dass das jeweils eine Menge ist, die genau ein Element enthält, und dieses Element ist wiederum eine Menge, nämlich einmal die leere Menge [mm] \emptyset, [/mm] dann die Menge [mm] \{1\} [/mm] und das andere Mal die Menge [mm] \{2\} [/mm] und im dritten Fall die Menge [mm] \{1,2\}. [/mm] Die doppelten Mengenklammern sind also richtig! Das ist sehr wichtig, denn [mm] 1\not=\{1\} [/mm] und demnach auch [mm] \{1\}\not=\{\{1\}\}.
[/mm]
Nun besteht unsere Potenzmenge also schon mal aus:
[mm] \{\emptyset,\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{1,2\}\},\{\emptyset\},\{\{1\}\},\{\{2\}\},\{\{1,2\}\}...\} [/mm]
Das sind also alle einelementigen Teilmengen plus die leere Menge plus die gesamte Menge als Teilmenge. Du kannst dir übrigens auch ausrechnen, wie viele einelementige Teilmengen und so es geben muss: [mm] \vektor{4\\1}=4.
[/mm]
Es fehlen jetzt aber noch die zwei- und dreielementigen Mengen. Nun brauchen wir für eine zweielementige Teilmenge einfach irgendwelche zwei Elemente aus der Menge. Z. B. die leere Menge und die Menge, die die 1 enthält. Also wäre eine zweielementige Teilmenge: [mm] \{\emptyset,\{1\}\}. [/mm] Die anderen zweielementigen kannst du jetzt mal selber aufschreiben, es müssen insgesamt [mm] \vektor{4\\2}=6 [/mm] sein. Und beachte beim Eintippen, dass du, um Mengenklammern zu schreiben, davor jeweils einen Backslash [mm] (\backslash) [/mm] setzt, ansonsten wird die Klammer nicht angezeigt oder es ergeben sich Fehler. Also immer schön: [mm] $\backslash\{$ und $\backslash\}$, [/mm] ergibt dann nämlich: [mm] $\{$ und $\}$.
[/mm]
Und dann fehlen noch die dreielementigen Mengen, das sind insgesamt [mm] \vektor{4\\3}=4, [/mm] dafür nimmst du einfach drei beliebige Elemente aus der Menge.
Und vierelementige Teilmengen gibt es bei einer vierelementigen Menge nur eine, nämlich die Menge selber, und die haben wir ja schon drin.
Sicher musst du meine Antwort mehrmals gut durchlesen, bis du alles verstehst, es ist anfangs etwas kompliziert, jedenfalls kommt es einem so vor. Und ich hoffe, dass ich mich hier jetzt nirgendwo verhaspelt habe vor lauter Klammern... ![[konfus]](/images/smileys/konfus.gif "[konfus]")
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:11 So 07.01.2007 | | Autor: | schennie |
Hallo Bastiane,
vielen Dank für deine ausführliche Antwort! Jetzt habe ich nicht nur die Lösung, sondern habe es auch verstanden :)
Liebe Grüße
Jenny
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:25 Do 04.01.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Christiane!
Was soll ich sagen? Wieder was gelernt! Ich hoffe, du traust mir zu, Potenzmengen bilden zu können.
Es bleibt die Frage, warum der Formel-Editor das nicht packt.
Einen schönen Tag, heute aus HH-Eimsbüttel
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:34 Fr 05.01.2007 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Dieter!
> Was soll ich sagen? Wieder was gelernt! Ich hoffe, du
> traust mir zu, Potenzmengen bilden zu können.
Klar, dir schon, aber mir selber manchmal nicht.
> Es bleibt die Frage, warum der Formel-Editor das nicht
> packt.
Naja, also warum er normale [mm] \{ \} [/mm] -Klammern nicht macht, ist wohl, weil diese Klammern ja normalerweise eine Funktion als Formelbefehl haben, z. B. um Exponenten darzustellen. Warum er die Klammern so allerdings manchmal anscheinend trotzdem annimmt, weiß ich nicht. Deswegen mache ich sie immer mit dem Backslash davor. 
> Einen schönen Tag, heute aus HH-Eimsbüttel
Ich glaub', ich nehm' mir demnächst mal einen Stadtplan zur Hand und gucke, wo das alles liegt, von wo aus du immer grüßt. Ich jedenfalls schicke ein paar Grüße aus BONN.
Viele Grüße
Bastiane
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Hallo
die Potenzmenge einer Menge ist die Menge aller TEILmengen dieser Menge.
Die leere Menge und die komplette Menge selbst sind immer Teilmengen
Für [mm] M=\{a\} [/mm] sind also [mm] \emptyset [/mm] und [mm] \{a\} [/mm] die einzigen Teilmengen
[Dateianhang nicht öffentlich]
Also P(M) = [mm] \{\emptyset,\{a\}\}
[/mm]
Dann musst du für P(P(M)) alle Teilmengen von P(M) zusammenfassen.
Die Elemente von P(M) sind Mengen, also
[mm] P(P(M))=\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\{a\}\},\{\emptyset,\{a\}\}\}
[/mm]
Das sieht zwar etwas unübersichtlich aus, ist aber egentlich nichts schlimmes.
Einfach alle Teilmengen der Menge bilden und in einer Menge zusammenfassen
Gruß
schachuzipus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
