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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:39 Mo 07.11.2022 | | Autor: | xqr2 |
| Aufgabe | a) Gibt es eine Menge A, deren Potenzmenge eine Partition von A ist? Beweisen Sie ihre Aussage.
b) Geben Sie die Potenzmenge und alle möglichen Partitionen der Menge b:={{0}∅} an. |
Hallo, ich hänge ein bisschen bei dieser Aufgabe fest.
Ich würde bei a erstmal nur aus einem Bauchgefühl (toller Ansatz i know) heraus sagen ja, das geht, komme aber mit der Begründung nicht wirklich weiter. Mein Abgabe Partner sagt das es keine Menge A deren Potenzmenge eine Partition ist geben kann, da die Potenzmenge die leere Menge beinhaltet und die leere menge keine Partition besitzt.
Hat er damit recht?
Bei b würde ich die mengen einfach auflisten also
P(B)={∅;{∅};{{0}};{{0}};{∅}}
aber das scheint mir auch irgendwie zu wenig. brauche ich da einen anderen ansatz?
Danke euch!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> a) Gibt es eine Menge A, deren Potenzmenge eine Partition
> von A ist? Beweisen Sie ihre Aussage.
> b) Geben Sie die Potenzmenge und alle möglichen
> Partitionen der Menge b:={{0}∅} an.
> Hallo, ich hänge ein bisschen bei dieser Aufgabe fest.
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> Ich würde bei a erstmal nur aus einem Bauchgefühl (toller
> Ansatz i know) heraus sagen ja, das geht, komme aber mit
> der Begründung nicht wirklich weiter. Mein Abgabe Partner
> sagt das es keine Menge A deren Potenzmenge eine Partition
> ist geben kann, da die Potenzmenge die leere Menge
> beinhaltet und die leere menge keine Partition besitzt.
> Hat er damit recht?
a) Nimm an, dass die Potenzmenge von A in A enthalten ist, also
A = [mm] \{...,\green{P(A)}\}. [/mm] Wenn wir nun davon die Potenzmenge [mm] \red{P(A)} [/mm] bilden, muss sie u.a. [mm] \green{P(A)}, [/mm] ∅ und nochmals [mm] A=\{...,\green{P(A)}\} [/mm] selber enthalten, d.h. in P(A) muss nochmals P(A) stecken usw. usw..
Daraus folgt, dass A unendlich viele Elemente haben müsste. Man kann dies dann trotzdem zum Widerspruch führen, aber ich habe gerade keine Zeit dazu. Stichwort: Mengen von Mengen oder Menge aller Mengen.
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> Bei b würde ich die mengen einfach auflisten also
> P(B)={∅;{∅};{{0}};{{0}};{∅}}
b) Hat B n Elemente, so hat die Potenzmenge von B [mm] 2^n [/mm] Elemente.
Bei dir hat sie aber 5 Elemente (4 mal Semikolon). Du hast die letzte Menge nicht richtig geklammert. Sie muss B selber sein.
P(B)={∅;{∅};{{0}};{{0}∅}}
> aber das scheint mir auch irgendwie zu wenig. brauche ich
> da einen anderen ansatz?
> Danke euch!
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:03 Di 08.11.2022 | | Autor: | fred97 |
> a) Gibt es eine Menge A, deren Potenzmenge eine Partition
> von A ist? Beweisen Sie ihre Aussage.
> b) Geben Sie die Potenzmenge und alle möglichen
> Partitionen der Menge b:={{0}∅} an.
> Hallo, ich hänge ein bisschen bei dieser Aufgabe fest.
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> Ich würde bei a erstmal nur aus einem Bauchgefühl (toller
> Ansatz i know) heraus sagen ja, das geht, komme aber mit
> der Begründung nicht wirklich weiter. Mein Abgabe Partner
> sagt das es keine Menge A deren Potenzmenge eine Partition
> ist geben kann, da die Potenzmenge die leere Menge
> beinhaltet und die leere menge keine Partition besitzt.
> Hat er damit recht?
>
> Bei b würde ich die mengen einfach auflisten also
> P(B)={∅;{∅};{{0}};{{0}};{∅}}
> aber das scheint mir auch irgendwie zu wenig. brauche ich
> da einen anderen ansatz?
> Danke euch!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Zu a)
mein Vorredner hat wohl beim Begriff "Partition" einiges durcheinander gebracht.
Sei $A$ eine nicht- leere Menge. Eine Partition $ [mm] \cal{P}$ [/mm] von $A$ ist eine Zerlegung von $A$ in nichtleere paarweise disjunkte Teilmengen von $A$.
Genauer: sei $I$ eine Indexmenge und [mm] $A_i$ [/mm] mit $i [mm] \in [/mm] I$ seien nicht-leere Teilmengen von $A$ mit der Eigenschaft [mm] $A_i \cap A_j= \emptyset$ [/mm] für $i [mm] \ne [/mm] j$, wobei $i,j [mm] \in [/mm] I$ und $ [mm] \bigcup_{i \in I}A_i=A.$
[/mm]
Dann nennt man [mm] $\cal{P}$ [/mm] $=$$ [mm] \{A_i: i \in I\}$ [/mm] eine Partition von $A$.
Es ist klar, dass [mm] \cal{P} [/mm] eine Teilmenge der Potenzmenge von $A$ ist.
Da alle [mm] A_i [/mm] nicht-leer sein sollen, ist [mm] \cal{P} [/mm] stets eine echte(!) Teilmenge der Potenzmenge.
Die Antwort auf a) lautet also: nein.
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