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Hi Leute,
ich soll das Konvergenzverhalten folgender Reihe auf dem Konvergenzradius untersuchen:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{\sqrt{n}}
[/mm]
also in den Punkten der Menge {x [mm] \in \IC [/mm] | |x|=1}
Was ich mir bisher überlegt hab:
Die Reihe ist nicht absolut konvergent, da für z=1 divergent.
Aber für z=-1 ist sie konvergent (Leibniz-Kriterium)
Nun brauche ich die restlichen Punkte.
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Hallo,
eine Antwort liefert das ![[]](/images/popup.gif) Kriterium von Dirichlet, wobei das Leibniz-Kriterium ein Sonderfall dieser Regel ist.
lg
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Wenn ich das richtig sehe, dann bilden die Partialsummen [mm] \summe_{n=1}^{\infty}z^n [/mm] nicht für alle z mit |z|=1 eine beschränkte Folge, z.B. wenn z=1, dann ist die Folge nur nach unten beschränkt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:45 Mi 16.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Welche Methoden kennst du denn um den Konvergenzradius zu bestimmen?
Gruss leduart
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das Quotienten- und das Wurzelkriterium
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 Mi 16.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Beide Kriterien geben dir doch den Radius an. Randstellen also z=1 und -1 muss man immer einzeln untersuchen.
Gruss leduart
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Genau, und was mach ich mit den restlichen Punkten auf dem Kreis?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:32 Mi 16.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn es bei 1 nicht konvergiert, dann höchstens noch bei -1. Gruss leduart
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Wenn es für 1 divergiert, warum divergiert es dann auch für alle anderen bis auf -1?
Warum muss es z.B. für i divergieren?
Wenn ich die Folge der Partialsumme anschaue:
i
i-1
i-1-i = -1
i-1-i+1 = 0
D.h. es ensteht ein Viereck, das ja auch beschränkt ist oder nicht?
EDIT: Ich sehe gerade, das Kriterium von Dirichlet gilt nur für reelle Folgen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:03 Do 17.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Wenn es für 1 divergiert, warum divergiert es dann auch
> für alle anderen bis auf -1?
> Warum muss es z.B. für i divergieren?
>
> Wenn ich die Folge der Partialsumme anschaue:
> i
> i-1
> i-1-i = -1
> i-1-i+1 = 0
>
> D.h. es ensteht ein Viereck, das ja auch beschränkt ist
> oder nicht?
>
> EDIT: Ich sehe gerade, das Kriterium von Dirichlet gilt nur
> für reelle Folgen.
Es gilt auch fuer komplexe Folgen: wende es einfach auf Real- und Imaginaerteil an und setz das Ergebnis zusammen. Eine Folge in [mm] $\IC$ [/mm] ist schliesslich genau dann beschraenkt, wenn die Folge der Realteile sowie die Folge der Imaginaerteile beschraenkt ist.
Jetzt musst du also schauen, wann [mm] $\biggl(\sum\limits_{k=0}^n z^k\biggr)_{n\in\IN}$ [/mm] beschraenkt ist. Wie du schon gesagt hast, fuer $z = -1, i, -i$ ist dies der Fall, fuer $z = 1$ nicht. Ich behaupte mal: es ist fuer alle $z [mm] \neq [/mm] 1$ mit $|z| = 1$ der Fall. Dazu schreibe $z = [mm] \exp(i [/mm] t)$ mit $t [mm] \in [/mm] (0, 2 [mm] \pi)$; [/mm] dann ist ja [mm] $z^n [/mm] = [mm] \exp(n [/mm] i t)$.
Wenn $t$ von der Form [mm] $\ell \frac{2 \pi}{n}$ [/mm] ist, dann erhaelst du [mm] $\sum_{k=0}^{n-1} z^{a+k} [/mm] = 0$ fuer jedes $a [mm] \in \IN$ [/mm] und somit erhaelst du die Bedingung. Fuer ein anderes $t$ musst du sonstwie weiterschauen.
LG Felix
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