Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:23 Sa 16.06.2012 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Untersuche, ob es eine Potenzreige gibt, die in [mm] M_1 [/mm] absolut konvergiert und in [mm] M_2 [/mm] divergiert.
a) [mm] M_1= [/mm] { x [mm] \in [/mm] IR| |x|<1}, [mm] M_2 [/mm] = [mm] C/M_1 [/mm] (C Körper der komplexen Zahlen)
b) [mm] M_2= [/mm] {z [mm] \in [/mm] C| |z-3|<1/3}, [mm] M_2= [/mm] {z [mm] \in [/mm] C| |z-3|>1/3} |
Ich kenne bisher nur den umgekehrten Weg, also Potenzreihe geg, prüfe auf Konvergenz/ bestimme Konvergenzradius.
Wie geht man denn auf diesem Weg vor?
Also ich weiß, wie die einzelnen Mengen bei a) und b) ,,aussehen''.
z.B. wäre [mm] M_1 [/mm] bei a) die x-Achse zwischen -1 und 1 (ohne -1 und 1).
Könnte man als Potenzreihe einfach angeben:
[mm] \summe_{i=1}^{n} x^n [/mm] ? Und das würde weil x<1 schonmal absolut konvergieren. Aber divergiert diese Potenzreihe in [mm] M_2?
[/mm]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:32 So 17.06.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo rollroll,
> Könnte man als Potenzreihe einfach angeben:
> [mm]\summe_{i=1}^{n} x^n[/mm] ? Und das würde weil x<1 schonmal
> absolut konvergieren. Aber divergiert diese Potenzreihe in
> [mm]M_2?[/mm]
Nein. Die geometrische Reihe konvergiert für jedes $z$ mit $|z|<1$. (Du hast oben die Betragsstriche vergessen.) Und nun liegen in [mm] $M_2$ [/mm] Punkte [mm] $\,z$ [/mm] mit $|z|<1$ wie z.B. $i/2$.
zu a) Um zu zeigen, daß es keine Potenzreihe gibt, die auf [mm] $M_1$ [/mm] konvergiert und auf [mm] $M_2$ [/mm] divergiert, beachte folgendes Lemma:
Wenn eine Potenzreihe [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_n (z-a)^n$ [/mm] an einem Punkt [mm] $z_1$ [/mm] konvergiert, dann konvergiert sie absolut bei jedem Punkten $z$ mit $|z-a| < [mm] |z_1-a|$.
[/mm]
zu b) Um eine Potenzreihe zu konstruieren, die auf [mm] $M_1$ [/mm] konvergiert und auf [mm] $M_2$ [/mm] divergiert, beachte folgenden Satz:
Eine Potenzreihe [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_n (z-a)^n$ [/mm] mit Konvergenzradius $R$ konvergiert bei jedem Punkt $z$ mit $|z-a| < R$ und divergiert bei jedem Punkt $z$ mit $R<|z-a|$.
Gruß,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:20 So 17.06.2012 | | Autor: | rollroll |
Also wäre im fall b) die potenzreihe:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} [/mm] 1/3 [mm] (z-3)^n [/mm] mit z [mm] \in [/mm] C
Diese erfüllt laut dem entsprechenden Lemma beide Bedingungen.
Stimmt das?
Im Fall a) bin ich mir noch unsicher. Genügt es die Nichtexistenz der Potenzreihe mit dem von dir angegebenen Lemma zu beweisen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:48 So 17.06.2012 | | Autor: | Helbig |
> Also wäre im fall b) die potenzreihe:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}[/mm] 1/3 [mm](z-3)^n[/mm] mit z [mm]\in[/mm] C
>
> Diese erfüllt laut dem entsprechenden Lemma beide
> Bedingungen.
>
> Stimmt das?
Nein. Du brauchst eine Potenzreihe mit Konvergenzradius $1/3$, Dein Beispiel hat den Konvergenzradius $1$.
>
> Im Fall a) bin ich mir noch unsicher. Genügt es die
> Nichtexistenz der Potenzreihe mit dem von dir angegebenen
> Lemma zu beweisen?
Ja. Natürlich nur, wenn ihr so ein Lemma in der Vorlesung hattet. Andernfalls müßtest Du das Lemma auch noch beweisen, z. B. aus dem anderen Satz herleiten.
Gruß,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 So 17.06.2012 | | Autor: | rollroll |
Ok Teile a) und b) hab ich dann.
Es gibt noch c) und d):
c) [mm] M_1 [/mm] = C \ {0}, [mm] M_2 [/mm] = {0}
d) [mm] M_1= [/mm] {z [mm] \in [/mm] C | 1 < |z- [mm] \pi [/mm] /2 | < [mm] \pi [/mm] }, [mm] M_2= [/mm] |{z [mm] \in [/mm] C | |z- [mm] \pi [/mm] /2 | <1}
Ich finde hier leider keinen Ansatz.
Ich weiß, dass z.B.die Potenzreihe von sin oder cos auf ganz C konvergiert, aber ich finde kein bsp. eine reihe, die nur auf c* konvergiert...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:14 So 17.06.2012 | | Autor: | Helbig |
> Ok Teile a) und b) hab ich dann.
>
> Es gibt noch c) und d):
Ach!
>
> c) [mm]M_1[/mm] = C \ {0}, [mm]M_2[/mm] = {0}
>
> d) [mm]M_1=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{z [mm]\in[/mm] C | 1 < |z- [mm]\pi[/mm] /2 | < [mm]\pi[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}, [mm]M_2=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
|{z [mm]\in[/mm] C
> | |z- [mm]\pi[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
/2 | <1}
>
> Ich finde hier leider keinen Ansatz.
> Ich weiß, dass z.B.die Potenzreihe von sin oder cos auf
> ganz C konvergiert, aber ich finde kein bsp. eine reihe,
> die nur auf c* konvergiert...
Kein Wunder. Es gibt auch keine. Führe die Annahme, es gäbe eine, zum Widerspruch!
Ebenso bei d)
Beachte, daß der Konvergenzkreis ein Kreis ist mit seinem Mittelpunkt irgendwo und mach Dir geometrisch klar, ob es einen Kreis geben kann, der ganz $\IC^\times$ enthält aber 0 nicht.
Grüße
Wolfgang
PS: Wer weiß, warum bei den Zitaten von rollroll immer diese Eingabefehler auftauchen?
|
|
|
| |
|
Ich hab die Aufgaben auch zu bearbeiten und wollte mal fragen, ob man die so lösen kann:
a) [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n [/mm] konv. in M1 abs
[mm] \Rightarrow [/mm] dann konvergiert sie auch für alle [mm] z\in \IC [/mm] mit mit [mm] |z-z_0| [/mm] < [mm] |0.8-z_0|
[/mm]
Betrachte: 1/2i [mm] \in [/mm] M2
Es gilt [mm] |1/2i-z_0| [/mm] < [mm] |0.8-z_0|
[/mm]
[mm] \Rightarrow \summe_{n=0}^{\infty}a_n(1/2i-z_0)^n [/mm] konv. abs.
[mm] \Rightarrow [/mm] es gibt keine Potenzreihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n [/mm] ,die in M1 abs. konv. und in M2 divergiert.
b) Setze Konvergenzradius R von [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n =\bruch{1}{3}
[/mm]
dann gilt: [mm] |z-z_0| [/mm] < [mm] \bruch{1}{3} [/mm] folgt [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n [/mm] kon. abs.
[mm] |z-z_0| [/mm] > [mm] \bruch{1}{3} [/mm] folgt [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n [/mm] divergiert
also existiert eine Potenzreihe die in M1 abs. konv. und in M2 divergiert
bsp: [mm] \summe_{n=0}^{\infty}3^n(z-3)^n [/mm]
c) [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n [/mm] konv. in M1 abs
für Potentzreihe über M2 [mm] gilt:\summe_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n [/mm] =
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n(-z_0)^n [/mm] ,
diese konv. abs. wenn [mm] |z_0| [/mm] < [mm] |z-z_0| [/mm] für ein z in M1
da [mm] z_0 [/mm] fest und z beliebig aus [mm] \IC [/mm] \ {0}, gibt es für jedes [mm] z_0 [/mm] ein z für das [mm] |z_0| [/mm] < [mm] |z-z_0| [/mm] gilt.
also ist die Potenzreihe auch über M2 abs. konv.
d) in M1 abs. konv.
wähle in M1 [mm] |z-\pi/2| [/mm] = 2
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n [/mm] ist abs konv.
für alle z [mm] \in \IC [/mm] mit: [mm] |z-\pi/2| [/mm] < 2
für alle z aus M2 gilt: [mm] |z-\pi/2| [/mm] <1 <2
also folgt aus der abs. Konv. in M1 die abs. Konv. in M2
[mm] \Rightarrow [/mm] es gibt keine Potenzreihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n [/mm] die in M1 abs konv. und in M2 divergiert.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:30 Mo 18.06.2012 | | Autor: | Helbig |
> Ich hab die Aufgaben auch zu bearbeiten und wollte mal
> fragen, ob man die so lösen kann:
>
> a) [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n[/mm] konv. in M1 abs
> [mm]\Rightarrow[/mm] dann konvergiert sie auch für alle [mm]z\in \IC[/mm]
> mit mit [mm]|z-z_0|[/mm] < [mm]|0.8-z_0|[/mm]
> Betrachte: 1/2i [mm]\in[/mm] M2
> Es gilt [mm]|1/2i-z_0|[/mm] < [mm]|0.8-z_0|[/mm]
Warum gilt dies? Das [mm] $z_0$ [/mm] kann ja wer weiß wo liegen, sogar näher an $0.8$ als an [mm] $\mathrm [/mm] i/2$.
> [mm]\Rightarrow \summe_{n=0}^{\infty}a_n(1/2i-z_0)^n[/mm] konv.
> abs.
> [mm]\Rightarrow[/mm] es gibt keine Potenzreihe
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n[/mm] ,die in M1 abs. konv. und
> in M2 divergiert.
>
> b) Setze Konvergenzradius R von
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n =\bruch{1}{3}[/mm]
> dann gilt:
> [mm]|z-z_0|[/mm] < [mm]\bruch{1}{3}[/mm] folgt
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n[/mm] kon. abs.
> [mm]|z-z_0|[/mm] > [mm]\bruch{1}{3}[/mm] folgt
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n[/mm] divergiert
> also existiert eine Potenzreihe die in M1 abs. konv. und
> in M2 divergiert
> bsp: [mm]\summe_{n=0}^{\infty}3^n(z-3)^n[/mm]
Richtig!
>
> c) [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n[/mm] konv. in M1 abs
> für Potentzreihe über M2
> [mm]gilt:\summe_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n[/mm] =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_n(-z_0)^n[/mm] ,
> diese konv. abs. wenn [mm]|z_0|[/mm] < [mm]|z-z_0|[/mm] für ein z in M1
> da [mm]z_0[/mm] fest und z beliebig aus [mm]\IC[/mm] \ {0}, gibt es für
> jedes [mm]z_0[/mm] ein z für das [mm]|z_0|[/mm] < [mm]|z-z_0|[/mm] gilt.
> also ist die Potenzreihe auch über M2 abs. konv.
Richtig!
>
> d) in M1 abs. konv.
> wähle in M1 [mm]|z-\pi/2|[/mm] = 2
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n[/mm] ist abs konv.
> für alle z [mm]\in \IC[/mm] mit: [mm]|z-\pi/2|[/mm] < 2
> für alle z aus M2 gilt: [mm]|z-\pi/2|[/mm] <1 <2
> also folgt aus der abs. Konv. in M1 die abs. Konv. in M2
> [mm]\Rightarrow[/mm] es gibt keine Potenzreihe
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n[/mm] die in M1 abs konv. und
> in M2 divergiert.
Richtig!
Die Begründung ist für c) und d) etwas einfacher, wenn man weiß, daß jeder Kreis [mm] $\, [/mm] K$ konvex ist, d. h. mit zwei Punkten $u$ und $v$ auch deren Verbindungsstrecke enthält,
also $u, [mm] v\in [/mm] K [mm] \Rightarrow \bigl\{ \lambda u + (1-\lambda) v \mid \lambda\in (0;1)\bigr\}\subseteq [/mm] K$.
Dies ist sehr leicht zu zeigen!
Bei c) liegt demnach mit $-1$ und $1 [mm] \in [/mm] K$ auch [mm] $0\in [/mm] K$ und bei d) mit [mm] $\pi/2 [/mm] +2$ und [mm] $\pi/2 [/mm] -2$ auch [mm] $\pi/2$.
[/mm]
Gruß,
Wolfgang
>
>
|
|
|
| |
|
Bin früher leider nicht dazu gekommen.
Ich hab die a) mal wieder durchdacht:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n [/mm] konv abs in M1
[mm] \Rightarrow \summe_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n [/mm] konv abs für x [mm] \in [/mm] M1 und z [mm] \in \IC [/mm] mit [mm] |z-z_0| \le |x-z_0|
[/mm]
[mm] \exists [/mm] z [mm] \in [/mm] M2 [mm] \forall z_0 \in \IC mit:|z-z_0| \le |x-z_0| [/mm] (x [mm] \in [/mm] M1)
da: für x [mm] \in [/mm] M1 ist xi in M2
Es gilt: |x|=|xi|<1
[mm] \Rightarrow |x-z_0|=|xi-z_0|
[/mm]
[mm] \Rightarrow \summe_{n=0}^{\infty}a_n(xi-z_0)^n [/mm] konv abs
[mm] \Rightarrow [/mm] Es gibt keine Potenzreihe die in M1 abs. konv. und in M2 divergiert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 Mi 20.06.2012 | | Autor: | Helbig |
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n[/mm] konv abs in M1
> [mm]\Rightarrow \summe_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n[/mm] konv abs für
> x [mm]\in[/mm] M1 und z [mm]\in \IC[/mm] mit [mm]|z-z_0| \le |x-z_0|[/mm]
> [mm]\exists[/mm] z
> [mm]\in[/mm] M2 [mm]\forall z_0 \in \IC mit:|z-z_0| \le |x-z_0|[/mm] (x [mm]\in[/mm]
> M1)
> da: für x [mm]\in[/mm] M1 ist xi in M2
> Es gilt: |x|=|xi|<1
> [mm]\Rightarrow |x-z_0|=|xi-z_0|[/mm]
Das stimmt leider immer noch nicht! Wie bei Deinem letzten Versuch:
Das [mm] $z_0$ [/mm] kann näher an [mm] $\,x*\mathrm [/mm] i$ liegen als an [mm] $\,x$, [/mm] obwohl beide im Einheitskreis liegen. Dies ist z. B. für [mm] $z_0=\mathrm [/mm] i$ der Fall.
Gruß,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
Dann versuch ichs mal wieder:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n (z-z_0)^n [/mm] konv. abs. in M1
[mm] \Rightarrow \summe_{n=0}^{\infty}a_n (z-z_0)^n [/mm] konv. abs. für z [mm] \in \IC [/mm] mit [mm] |z-z_0| [/mm] < 1
[mm] \forall z_0 \in \IC \exists z\in [/mm] M2 mit [mm] |z-z_0| [/mm] < 1
da:
Fall 1: [mm] |z_0| \ge [/mm] 1 wähle [mm] z=z_0 [/mm]
[mm] dann:|z-z_0| [/mm] =0 < 1
Fall 2: [mm] |z_0|<1 [/mm] mit [mm] z_0 [/mm] = [mm] a_0+b_0i
[/mm]
[mm] \Rightarrow \wurzel{a_0^2 + b_0^2}<1
[/mm]
[mm] \gdw a_0^2 [/mm] + [mm] b_0^2<1
[/mm]
[mm] \gdw b_0^2 [/mm] < [mm] 1-a_0^2
[/mm]
[mm] \gdw |b_0|<\wurzel{1-a_0^2}
[/mm]
Da echt kleiner : [mm] \exists [/mm] b [mm] \in \IR [/mm] mit [mm] |b_0|+ b<\wurzel{1-a_0^2}
[/mm]
Wähle z = bi dann gilt [mm] |z-z_0| [/mm] < 1
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:44 Mi 20.06.2012 | | Autor: | Helbig |
> Dann versuch ichs mal wieder:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_n (z-z_0)^n[/mm] konv. abs. in M1
>
> [mm]\Rightarrow \summe_{n=0}^{\infty}a_n (z-z_0)^n[/mm] konv. abs.
> für z [mm]\in \IC[/mm] mit [mm]|z-z_0|[/mm] < 1
Dies stimmt zwar, aber Du könntest es trotzdem begründen. Warum ist der Konvergenzradius mindestens 1?
> [mm]\forall z_0 \in \IC \exists z\in[/mm] M2 mit [mm]|z-z_0|[/mm] < 1
> da:
> Fall 1: [mm]|z_0| \ge[/mm] 1 wähle [mm]z=z_0[/mm]
> [mm]dann:|z-z_0|[/mm] =0 < 1
... "und [mm] $z\in M_2$" [/mm] wäre leserfreundlicher.
> Fall 2: [mm]|z_0|<1[/mm] mit [mm]z_0[/mm] = [mm]a_0+b_0i[/mm]
> [mm]\Rightarrow \wurzel{a_0^2 + b_0^2}<1[/mm]
> [mm]\gdw a_0^2[/mm] +
> [mm]b_0^2<1[/mm]
> [mm]\gdw b_0^2[/mm] < [mm]1-a_0^2[/mm]
> [mm]\gdw |b_0|<\wurzel{1-a_0^2}[/mm]
> Da echt kleiner : [mm]\exists[/mm] b
> [mm]\in \IR[/mm] mit [mm]|b_0|+ b<\wurzel{1-a_0^2}[/mm]
> Wähle z = bi dann
> gilt [mm]|z-z_0|[/mm] < 1
Stimmt halb. Das $b$ könnte auch $-1000$ oder $0$ sein, und dann kann man weder [mm] $|b*\mathrm i-z_0| [/mm] < 1$ noch [mm] $b*\mathrm [/mm] i [mm] \in M_2$ [/mm] folgern. Dies klappt aber mit [mm] $z=b_0*\mathrm [/mm] i$.
Ich seh gerade: Stimmt gar nicht: z. B. [mm] $z_0=1/2$. [/mm] Dann ist [mm] $|z_0| [/mm] < 1$ und [mm] $b_0=0$ [/mm] und [mm] $b_0*\mathrm [/mm] i [mm] \in M_1$.
[/mm]
Grüße,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
Ok. Danke erstmal für die Hilfe.
Wenn ich jetzt mein b einschränke, also
Dann [mm] \exists [/mm] b [mm] \in \IR [/mm] und 0<b<1 mit:
[mm] |b_0|+b [/mm] < [mm] \wurzel{1-a_0^2}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:56 Mi 20.06.2012 | | Autor: | Helbig |
> Ok. Danke erstmal für die Hilfe.
>
> Wenn ich jetzt mein b einschränke, also
> Dann [mm]\exists[/mm] b [mm]\in \IR[/mm] und 0<b<1 mit:
> [mm]|b_0|+b[/mm] < [mm]\wurzel{1-a_0^2}[/mm]
>
Dann ist wenigstens [mm] $b*\mathrm [/mm] i [mm] \in M_2$. [/mm] Aber ich sehe nicht, wie Du [mm] $|b*\mathrm [/mm] i - [mm] z_0 [/mm] | < 1$ zeigen willst. Ich weiß nicht einmal, ob das überhaupt gilt.
Und dann fehlt ja noch, daß der Konvergenzradius [mm] $R\ge [/mm] 1$ ist.
Einfacher ist folgende Überlegung: Da [mm] $M_1$ [/mm] im Konvergenzkreis enthalten ist, ist der Konvergenzradius > 0. Und jeder Kreis enthält auch Punkte in [mm] $\IC\setminus \IR$ [/mm] und damit Punkte aus [mm] $M_2$. [/mm] Fertig.
Grüße,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
Ok, dass mit dem Konvergenzkreis ist mir klar.
Gearde weil es ja ein Kreis ist, liegen ja dann auch immer Werte (ober- und unterhalb der Re-Achse) der komplexen Zahlenebene in diesem Kreis, welche dann in [mm] \IC/\IR [/mm] liegen.
Wenn also in [mm] M_1 [/mm] eine Potentzreihe abs. konv. muss der Radius >O sein, und dann existieren z [mm] \in M_2, [/mm] für die diese Potentzreihe absolut konvergiert.
Ich hab aber nicht wirklich verstanden wieso, meine Begründung (welche natürlich im Vergleich zu dieser sehr umständlich ist)nicht klappt.
wenn doch: 0<b<1
[mm] |b_0|+b <\wurzel{1-a_0^2}
[/mm]
dann: [mm] |b_0+b|<\wurzel{1-a_0^2}
[/mm]
also: [mm] (b_0+b)^2<1-a_0^2
[/mm]
also: [mm] \wurzel{(b_0+b)^2+a_0^2}<1
[/mm]
also: [mm] |bi+z_0| [/mm] < 1
und : [mm] |bi-z_0| \le |bi+z_0| [/mm] < 1
Und der Konvergenzradius ist doch [mm] \ge [/mm] 1 da:
sie konvergiert für alle z [mm] \in \IC [/mm] mit [mm] |z-z_0| [/mm] < [mm] |x-z_0| [/mm] (x [mm] \in M_1) [/mm]
und es gilt : inf [mm] M_1 [/mm] =-1 und sup [mm] M_1=1 [/mm]
also: sie konvergiert für alle z [mm] \in \IC [/mm] mit [mm] |z-z_0| [/mm] < sup{ [mm] |1-z_0|,|-1-z_0| [/mm] } = 1
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:33 Do 21.06.2012 | | Autor: | Helbig |
> Ok, dass mit dem Konvergenzkreis ist mir klar.
> Gearde weil es ja ein Kreis ist, liegen ja dann auch immer
> Werte (ober- und unterhalb der Re-Achse) der komplexen
> Zahlenebene in diesem Kreis, welche dann in [mm]\IC/\IR[/mm] liegen.
> Wenn also in [mm]M_1[/mm] eine Potentzreihe abs. konv. muss der
> Radius >O sein, und dann existieren z [mm]\in M_2,[/mm] für die
> diese Potentzreihe absolut konvergiert.
>
>
> Ich hab aber nicht wirklich verstanden wieso, meine
> Begründung (welche natürlich im Vergleich zu dieser sehr
> umständlich ist)nicht klappt.
Na ja, bis jetzt konnte ich in jeder Deiner Begründungen einen Fehler nachweisen.
Auf ein Drittes:
>
> wenn doch: 0<b<1
> [mm]|b_0|+b <\wurzel{1-a_0^2}[/mm]
> dann: [mm]|b_0+b|<\wurzel{1-a_0^2}[/mm]
> also: [mm](b_0+b)^2<1-a_0^2[/mm]
> also: [mm]\wurzel{(b_0+b)^2+a_0^2}<1[/mm]
> also: [mm]|bi+z_0|[/mm] < 1
Bis hierher alles richtig!
> und : [mm]|bi-z_0| \le |bi+z_0|[/mm] < 1
Aber dies stimmt für [mm] $b_0 [/mm] < 0$ nicht.
> Und der Konvergenzradius ist doch [mm]\ge[/mm] 1 da:
> sie konvergiert für alle z [mm]\in \IC[/mm] mit [mm]|z-z_0|[/mm] < [mm]|x-z_0|[/mm] (x [mm]\in M_1)[/mm]
richtig!
> und es gilt : inf [mm]M_1[/mm] =-1 und sup [mm]M_1=1[/mm]
auch richtig!
> also: sie konvergiert für alle z [mm]\in \IC[/mm] mit [mm]|z-z_0|< sup\{|1-z_0|,|-1-z_0| \} = 1 [/mm]
Was hat das eine Supremum mit dem anderen zu tun?
Und für [mm] $z_0=1$ [/mm] ist das zweite Supremum =2 und nicht =1. Ganz abgesehen von [mm] $z_0=10$. [/mm] Was Du meinst, ist wahrscheinlich:
[mm] $\max \bigl(|1-z_0|,\; |-1-z_0|\bigr) \ge [/mm] 1$. Dies ist zwar anschaulich klar, müßte aber dennoch begründet werden.
Grüße,
Wolfgang
|
|
|
|
