Potenzreihe kreis endl. NST < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:26 Mo 22.04.2013 | | Autor: | nero08 |
Hallo!
Folgender Satz:
Sei f eine analystische Reihe und sein nicht alle Koeffizienten identisch 0. Dann gibt es einen Kreis um 0, in welchem nur enld. viele NST von f liegen.
lemma:
[mm] R_{n}(z) [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_{k}*z^{k} [/mm] = [mm] a_{n}*z^{n} [/mm] + [mm] a_{n+1}*z^_{n+1}+.... [/mm] Restwert
von f(z) = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_{k}*z^{k} [/mm] mit Konvergenzradius >0
Dann gibt es zu jeden positiven r<R eine Konstane c, sodass [mm] |R_{n}(z)| \le [/mm] c|z|^_{n} für |z| <r.
Beweis:
Sei N die kleisnte Zahl mit aN [mm] \not=0 [/mm] Nach lemma existiert für bel r<R ein c sodass für alle z mit |z| < r gilt:
[mm] c|z|^{N+1} \ge |f(z)-a_{N}z^{N}| [/mm]
[mm] f(z)=0+....+a_{N}z^{N}+a_{N+1}*z^{N+1}
[/mm]
(*)Wäre satz falsch, dann enthielt jeder Kreis mit Radius r/R um 0 eine NST [mm] z_{k} \not=0
[/mm]
[mm] z=z_{r} [/mm]
(+) [mm] |a_{N}||z_{k}|^{N} [/mm] <= [mm] c|z_{k}|^{N+1} [/mm]
[mm] a_{n} \le c|z_{k}| [/mm] => wiederspruch wegen [mm] z_{k}->0 [/mm] => a{N}=0 wdspr. zu [mm] a_{N}\not=0.
[/mm]
okay. wie komme ich auf diese Umkehrung des satzes? (*)
und woher weiß ich, dass ich das so (+) umschreiben darf?
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:44 Mo 22.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
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> Folgender Satz:
> Sei f eine analystische Reihe und sein nicht alle
> Koeffizienten identisch 0. Dann gibt es einen Kreis um 0,
> in welchem nur enld. viele NST von f liegen.
>
> Beweis:
>
> Sei N die kleisnte Zahl mit aN [mm]\not=0[/mm] Nach lemma
Wie lautet das Lemma ?????
> existiert
> für bel r<R ein c sodass für alle z mit |z| < r gilt:
>
> x|z| >= [mm]|f(z)-a_{N}z^{N}| f(z)=0+....+aNz^{N}+aN+1*z^_{N+1}[/mm]
Das ist ja völlig chaotisch !!!! Was ist x ? Die obige Zeile ist kompletter Murks !
>
> (*)Wäre satz falsch, dann enthielt jeder Kreis mit Radius
> r/R um 0 eine NST zk [mm]\not=0[/mm]
>
> [mm]z=z_{r} (+)|aN||zk|^{N}[/mm] <= [mm]c|zk|^{N^+1}[/mm]
Auch hier wieder: völliges Chaos !
>
> an<= c|zk| => wiederspruch wegen zk->0 => aN=0 wdspr. zu
> [mm]aN\not=0.[/mm]
>
> okay. wie komme ich auf diese Umkehrung des satzes? (*)
>
> und woher weiß ich, dass ich das so (+) umschreiben darf?
Was ist (+) ?
Mein Rat: beseitige das Chaos. Dann bekommst Du möglicherweise Antworten
FRED
>
> lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:02 Mo 22.04.2013 | | Autor: | nero08 |
wurde verschönert! siehe oben :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Mi 24.04.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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