Potenzreihe und Taylorreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a)
Bestimmen Sie den Konvergenzradius p der Potenzreihe [mm] \summe_{k \ge 0}^{}\vektor{N+k-1 \\ k}x^{k}. [/mm] Für x in diesem Konvergenzintervall bzeichne g(x) die Summe der Reihe.
b)
Sei N [mm] \in \IN [/mm] und f: [mm] \IR \setminus [/mm] {1} [mm] \to \IR, f(x)=(1-x)^{-N}
[/mm]
Zeigen Sie, dass für [mm] x\in [/mm] {-p,p} [mm] T^{0}f(x)=\summe_{k \ge 0}^{}\vektor{N+k-1 \\ k}x^{k} [/mm] gilt, d.h die Potenzreihe aus a) ist die Taylorreihe von f im Entwicklungspunkt 0.
c)
Zeigen Sie, dass f(x) = g(x) für alle [mm] x\in [/mm] {-p,p}, d.h. die Tayloreihe von f in den Entwicklungspunkt 0 konvergiert in diesem Intervall gegen f. |
Hallo!Also ich habe mich schon mit diser Aufgabe lange beschaftigt habe aber die übelsten Probleme.(Denke teilweise auch mit der Notation)
Also zu a) hab ich :
Ich denke ich soll berechnen wo die Summe konvergiert(welche dann mit g(x) bezeichnet wird).
Also versuch ich erstmal die Summe zu berechnen.Aber da komme ich schon irgendwie nicht weiter weil ich nicht weiss wie ich damit umgehen muss.
[mm] \summe_{k \ge 0}^{}\vektor{N+k-1 \\ k}x^{k} [/mm] = [mm] \summe_{k \ge 0}^{} \bruch{ (N+k-1)!*x^{k}}{k!(N+k-1-k)!} [/mm] = [mm] \summe_{k \ge 0}^{} \bruch{ (N+k-1)!*x^{k}}{k!(N-1)!} [/mm] = [mm] \summe_{k \ge 0}^{} \bruch{ (N+k-1)!*x^{k}}{k!(\bruch{N!}{N})!}(kann [/mm] ich das mit der Fakultät so machen ?) = [mm] \summe_{k \ge 0}^{} \bruch{ N(N+k-1)!*x^{k}}{k!N!}
[/mm]
Aber ab hier weiss ich irgendwie net weiter..
nachtrag :Ich habe versucht das Quotientenkriterium anzuwenden aber da bekomme ich zum Schluß : [mm] \bruch{(N+k)!*x}{(k+1)(N+k-1)!} [/mm] heraus...
und zu b) benötige ich glaube ich auch dann nochmal ne Hilfestellung..
Wäre nett wenn jemand mir das wieterhelfen kann!
Vielen Dank.
Grüße Charlie
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:22 Sa 17.05.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
zur a)
Quotientenkriterium klingt gut:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\vmat{ \bruch{\pmat{ n+(k+1)-1 \\ k+1 }}{\pmat{ n+k-1 \\ k}} }=\limes_{k\rightarrow\infty}\vmat{ \bruch{\pmat{ n+k \\ k+1 }}{\pmat{ n+k-1 \\ k}} }=\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{(n+k)!}{(k+1)!*(n+k-k-1)!}}{\bruch{(n+k-1)!}{k!*(n+k-1-k)!}}=\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{(n+k)!*k!*(n-1)!}{(k+1)!*(n-1)!*(n+k-1)!}
[/mm]
[mm] =\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{(n+k)!*k!}{(k+1)!*(n+k-1)!}=\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{(n+k)!*k!}{(k+1)*k!*(n+k-1)!}
[/mm]
[mm] \red{=\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{(n+k)!}{(k+1)*(n+k-1)!}}
[/mm]
Bis hierhin bist du auch gekommen - man nimmt das x jedoch nicht mit beim Quotientenkriterium!
> nachtrag :Ich habe versucht das Quotientenkriterium anzuwenden aber da bekomme ich zum Schluß : $ [mm] \bruch{(N+k)!\cdot{}x}{(k+1)(N+k-1)!} [/mm] $ heraus...
[mm] =\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{(n+k-1)!*(n+k)}{(k+1)*(n+k-1)!}
[/mm]
[mm] =\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{(n+k)}{(k+1)}=\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{n}{k}+\bruch{k}{k}}{\bruch{k}{k}+\bruch{1}{k}}=\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{n}{k}+1}{1+\bruch{1}{k}}=1
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Konvergenzradius ist 1.
MfG barsch
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ah..super. Danke!
..und was muss ich b) machen ?
also ich hab dann doch g(x) = [mm] \bruch{(n+k)}{(k+1)}*x^{k} [/mm] und [mm] f(x)=(1-x)^{-n}
[/mm]
Nun dachte ich mir guckste mal was passiert wenn ich f(x) einfach annähere.
Aber ich hab schon bei der Annäherung Probleme.
Wie leite ich denn [mm] (1-x)^{-n} [/mm] ab (also wie behandele ich das -n ?)
Ich muss doch nach x ableiten oder nicht ?
..und zum schluss muss ich dann wohl sehen dass die annäherung gerade g(x) entspricht.Oder gibt es da noch eine andere Methode ?
Für eine weitere Hilfestellung wäre ich dankbar!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:59 Sa 17.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein , du hast für g(x) etwas hingeschrieben, was nichtmal ein Summand von g(x) ist. das war doch nur die Quotientenregel, und hat nichts mit der Summe der Reihe zu tun. Dein g(x) ist die Summe bis [mm] \infty [/mm] der Reihe aus a. dass das [mm] (1-x)^{-N} [/mm] ist sollst du ja beweisen.
für N=1 ist das die geometrische Reihe, also nimmst du die hoch N oder, du entwickelst direkt die Taylorreihe für [mm] (1-x)^{-N}
[/mm]
oder du fängst bei N=1 an und machst vollst. Induktion.
Gruss leduart
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Jaaaaa...mmh.
Also ich verstehe recht wenig.
Ich weiss nicht so genau wie ich die Induktion machen soll.
Und für den Taylor muss ich ja [mm] (1-x)^{-n} [/mm] ableiten.
1. weiss ich nicht genau wie das geht und
2. müsste man das nicht bis zum Grad n machen ?
Also komme leider damit überhaupt nicht vorwärts könntest du mir evtl nen Ansatz geben?
lg Charlie
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Hallo, erstmal super dass du mir so hilfst.
Als ich dann auch mal wieder das Ableiten erlernt hatte .. dacht eich auch dass da was net stimmt.
Also ich hab :
f(x) = [mm] (1-x)^{-n}
[/mm]
f'(x) = [mm] -n(1-x)^{-(n+1)}*(-1) [/mm] = [mm] n(1-x)^{-(n+1)} [/mm]
f''(x) [mm] =n*(-n-1)*(1-x)^{-(n+2)}*(-1) [/mm] = [mm] n*(-1)*(n+1)(1-x)^{-(n+2)}*(-1) [/mm] = [mm] n(n+1)(1-x)^{-(n+2)} [/mm]
f'''(x) = [mm] n(n+1)(n+2)(1-x)^{-(n+3)}
[/mm]
also im endeffekt fällt doch das -1 immer wieder heraus oder nicht ?
oder hab ich schon wieder nen Denkfehler ?
Aber wie da u dann den Binomialkoeff. da hineingebracht hast..keine Ahnung!
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aha...
Also jetzt habe ich es verstanden...
ich hab:
[mm] f^{k}(x)=\blue{k!}\cdot{}\red{\vektor{n+k-1 \\ k}}\cdot{}(1-x)^{-(n+k)}
[/mm]
und setze jetzt x=0 , da wir ja im Entwicklungspunkt 0 sind
dann hab ich : [mm] f^{k}(x)={k!}\cdot{}{\vektor{n+k-1 \\ k}}\cdot{}(1)^{-(n+k)} [/mm] = [mm] {k!}\cdot{}{\vektor{n+k-1 \\ k}}\cdot{} [/mm] und setze dies nun in die Formel der Taylorentwicklung ein.
[mm] T(x)=\summe_{k=0}^{n}\bruch{{k!}\cdot{}{\vektor{n+k-1 \\ k}}\cdot{}}{k!}\cdot{}(x-a)^k
[/mm]
= [mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{{}{\vektor{n+k-1 \\ k}}\cdot{}}{1}(x-a)^k
[/mm]
und da wir a=0 seten da wir im Entwicklungspunkt 0 sind folgt dann:
[mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n+k-1 \\ k}(x)^k
[/mm]
also ist die Taylorentwicklung im Entwicklungspunkt 0 auf dem Intervall [-p,p] nix anderes als g(x) (bzw. [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n+k-1 \\ k}(x)^k)
[/mm]
Ist damit nicht auch direkt c) beantwortet ?..
Aber eine Frage bleibt : wie kamst du auf den Bin.Koeffizient ? hab es immer noch nicht sehen können.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:11 So 18.05.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
bedenke p haben wir bereits berechnet. Konvergenzradius p=1.
MfG barsch
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:16 So 18.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
bis n=3 hat ja barsch dir vorgerechnet.
jetz sieh dir den Koeffizienten bei f''' mal an, und [mm] 3!*\vektor{n+3-1 \\ 3}
[/mm]
vielleicht rechnest du noch f'''' aus und dann [mm] 4!*\vektor{n+4-1 \\ 4}
[/mm]
Gruss leduart
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Ich bin jetzt erstmal weg...bin erst in ein paar stunden wieder da!!
Vielen Dank für dein Hilfe!
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![[saumuede]](/images/smileys/saumuede.gif "[saumuede]"){kind=small}
