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| Aufgabe | Welchem allgemeinen Bildungsgesetz unterliegt die folgende Reihe? Untersuchen Sie diese Reihe mit Hilfe des Quotientenkriteriums auf Konvergenz bzw. Divergenz:
[mm] \br{1}{1*2^1}+\br{1}{3*2^3}+\br{1}{5*2^5}+\br{1}{7*2^7}+... [/mm] |
Hallo,
mein Ansatz:
Bildungsgesetz:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\br{1}{(2n-1)*2^{(2n-1)}}
[/mm]
Nachdem ich das Quotientenkriterium angewendet habe komme ich auf:
[mm] \lim_{n\to\infty}\br{(2n-1)*2^{(2n-1)}}{(2n+1)*2^{(2n+1)}}
[/mm]
Hier kann ich nun schon sehen das der Nenner größer wird und das Ergebnis somit <1 bleibt. Also konvergiert die Reihe...
Im Buch steht es etwas eleganter:
[mm] \lim_{n\to\infty}\br{2+\br{1}{n}}{4(2+\br{3}{n})}=\br{1}{4}<1
[/mm]
Habe ich einen Fehler in meiner Rechnung und wenn Nein wie komme ich auf diese Vereinfachung?
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Hallo nochmal,
ah, ok, die haben wohl in der Lösung die Reihendarstellung
[mm]\sum\limits_{n=\red 0}^{\infty}\frac{1}{(2n\red +1)\cdot{}2^{2n\red +1}}[/mm] gewählt - läuft aber auf dasselbe Ergebnis heraus ...
Gruß
schachuzipus
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> Hmm, sollte da nicht
> [mm]\frac{2\red{-}\frac{1}{n}}{4\cdot{}\left(2+\frac{\red{1}}{n}\right)}[/mm]
> stehen?
Im Buch steht folgendes:
[mm] \lim_{n\to\infty}\left|\br{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\br{2n+1}{4*(2n+3)}=\lim_{n\to\infty}\br{2+\br{1}{n}}{4*(2+\br{3}{n})}=\br{1}{4}<1
[/mm]
O.k. manchmal sind auch Fehler im Buch, aber bei diesem eher selten...
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Hallo,
> > Hmm, sollte da nicht
> >
> [mm]\frac{2\red{-}\frac{1}{n}}{4\cdot{}\left(2+\frac{\red{1}}{n}\right)}[/mm]
> > stehen?
>
> Im Buch steht folgendes:
>
> [mm]\lim_{n\to\infty}\left|\br{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\br{2n+1}{4*(2n+3)}=\lim_{n\to\infty}\br{2+\br{1}{n}}{4*(2+\br{3}{n})}=\br{1}{4}<1[/mm]
>
> O.k. manchmal sind auch Fehler im Buch, aber bei diesem
> eher selten...
Ist kein Fehler, die haben die ungeraden Zahlen durch [mm]2n+1[/mm] - beginnend mit [mm]n=0[/mm] dargestellt, wohingegen du bei [mm]n=1[/mm] gestartet bist mit der Darstellung [mm]2n-1[/mm]
Beides ist richtig ...
Gruß
schachuzipus
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