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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:39 Mi 10.01.2007 | | Autor: | Farouk |
Ich habe da bei Potenzreihen einige Verständnisprobleme
1. potenzreihen haben ja normalerweise die Form
[mm] \summe_{i=1}^{n} a_n [/mm] * [mm] x^n [/mm] bzw [mm] \summe_{i=1}^{n} a_n (x-x_0)^n
[/mm]
Dann kann ich ja mit den bekannten formeln aus [mm] a_n [/mm] den Konvergenzradius berechnen.
was mache ich aber wenn ich die Form habe
a) [mm] \summe_{i=1}^{n} a_n [/mm] * x^2n
dann darf ich ja das wie ich das aus einer Lösung erkenne ja nicht tun.
bei b) [mm] \summe_{i=1}^{n} a_n [/mm] * [mm] (-x)^n [/mm] aber wieder schon
also darf man die formel für den konvergenzradius anwenden wenn vor dem x nochwas steht, aber nicht wenn bei der Potenz noch irgenwas steht?? was sind da die Kriterien? Bzw. wie gehe ich in Fall a) vor
2. Bei einer Aufgabe war eine Potenzreihe [mm] S_0 [/mm] (x) auf Konvergenz zu untersuchen. Ich habe rausbekommen dass der Konvergenzradius 1 ist und dass die Reihe an einem Rand auch konvergiert am anderen nicht.
die 2. Teilaufgabe lautet dann, "Untersuchen sie, für welche x die Reihe [mm] S_1(x) [/mm] sie sich durch gliedweises Differenzieren der Summanden von [mm] S_0 [/mm] (x) ergibt, konvergent ist."
Jetzt gibt es ja die Aussage, dass wenn man eine Potenzreihe innerhalb ihres Konvergenzbereichs gliedweise differenziert , die neuen Potenzreihe den selben Konvergenzradius wie die ursprüngliche Reihe besitzen.
Heisst das jetzt ich kann von vorneherein ohne zu rechnen sagen die neue Reihe [mm] S_1(x) [/mm] hat auch den Konvergenzradius 1 und ich muss aber die Ränder neu untersuchen???
Die dritte Teilfrage verstehe ich das mit dem f nicht,
"Für welche x aus dem Konvergenzbereich [mm] I_0 [/mm] von [mm] S_0 [/mm] ist die auf [mm] I_0 [/mm] definierte Funktion f: [mm] I_0 [/mm] -> IR, x -> [mm] S_o [/mm] (x) differenzierbar mit f'(x) [mm] =S_1(x)"
[/mm]
Büdde Hilfe
LG Farouk
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Hallo und guten Morgen,
> Ich habe da bei Potenzreihen einige Verständnisprobleme
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> 1. potenzreihen haben ja normalerweise die Form
> [mm]\summe_{i=1}^{n} a_n[/mm] * [mm]x^n[/mm] bzw [mm]\summe_{i=1}^{n} a_n (x-x_0)^n[/mm]
>
> Dann kann ich ja mit den bekannten formeln aus [mm]a_n[/mm] den
> Konvergenzradius berechnen.
>
> was mache ich aber wenn ich die Form habe
> a) [mm]\summe_{i=1}^{n} a_n[/mm] * x^2n
>
> dann darf ich ja das wie ich das aus einer Lösung erkenne
> ja nicht tun.
>
Aber es ist doch [mm] $\summe_{i=1}^{n} a_n [/mm] * x [mm] \summe_{i=1}^{n} a_n [/mm] * [mm] (x^2)^n$, [/mm] und dann
kriegst Du den Konvergenzbereich für die Reihe [mm] \summe_{i=1}^{n} a_ny^n [/mm] mit der Formel und musst dann doch nur das Urbild dieses Konergenzbereiches unter der Abbildung [mm] x\mapsto x^2 [/mm] ermitteln.
> bei b) [mm]\summe_{i=1}^{n} a_n*(-x)^n[/mm] aber wieder schon
>
> also darf man die formel für den konvergenzradius anwenden
> wenn vor dem x nochwas steht, aber nicht wenn bei der
> Potenz noch irgenwas steht?? was sind da die Kriterien?
> Bzw. wie gehe ich in Fall a) vor
>
> 2. Bei einer Aufgabe war eine Potenzreihe [mm]S_0[/mm] (x) auf
> Konvergenz zu untersuchen. Ich habe rausbekommen dass der
> Konvergenzradius 1 ist und dass die Reihe an einem Rand
> auch konvergiert am anderen nicht.
>
> die 2. Teilaufgabe lautet dann, "Untersuchen sie, für
> welche x die Reihe [mm]S_1(x)[/mm] sie sich durch gliedweises
> Differenzieren der Summanden von [mm]S_0[/mm] (x) ergibt, konvergent
> ist."
>
> Jetzt gibt es ja die Aussage, dass wenn man eine
> Potenzreihe innerhalb ihres Konvergenzbereichs gliedweise
> differenziert , die neuen Potenzreihe den selben
> Konvergenzradius wie die ursprüngliche Reihe besitzen.
>
> Heisst das jetzt ich kann von vorneherein ohne zu rechnen
> sagen die neue Reihe [mm]S_1(x)[/mm] hat auch den Konvergenzradius 1
> und ich muss aber die Ränder neu untersuchen???
>
Ich würd sagen: ja, genau das.
> Die dritte Teilfrage verstehe ich das mit dem f nicht,
> "Für welche x aus dem Konvergenzbereich [mm]I_0[/mm] von [mm]S_0[/mm] ist die
> auf [mm]I_0[/mm] definierte Funktion f: [mm]I_0[/mm] -> IR, x -> [mm]S_o[/mm] (x)
> differenzierbar mit f'(x) [mm]=S_1(x)"[/mm]
>
Doch jedenfalls für die aus dem Inneren, richtig ? Und bei den Rändern müßt man mal überlegen.
> Büdde Hilfe
>
> LG Farouk
>
Gruß,
Mathias
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(Frage) überfällig | | Datum: | 11:59 Do 11.01.2007 | | Autor: | Farouk |
1. potenzreihen haben ja normalerweise die Form
> [mm]\summe_{i=1}^{n} a_n[/mm] * [mm]x^n[/mm] bzw [mm]\summe_{i=1}^{n} a_n (x-x_0)^n[/mm]
>
> Dann kann ich ja mit den bekannten formeln aus [mm]a_n[/mm] den
> Konvergenzradius berechnen.
>
> was mache ich aber wenn ich die Form habe
> a) [mm]\summe_{i=1}^{n} a_n[/mm] * x^2n
>
> dann darf ich ja das wie ich das aus einer Lösung erkenne
> ja nicht tun.
Aber es ist doch [mm]\summe_{i=1}^{n} a_n * x \summe_{i=1}^{n} a_n* (x^2)^n[/mm], und dann
kriegst Du den Konvergenzbereich für die Reihe [mm] \summe_{i=1}^{n} a_ny^n [/mm] mit der Formel und musst dann doch nur das Urbild dieses Konergenzbereiches unter der Abbildung [mm] x\mapsto x^2 [/mm] ermitteln.
Das verstehe ich jetzt leider grade nicht :-(
Also hier mal mein konkreter Fall
Bestimmen sie alle x für die die Reihen konvergent sind
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} 3^n [/mm] / n! * [mm] x^n
[/mm]
Das war jetzt kein Problem. ich habe die formel für den Konvergenzradius angewandt und es kommt raus unendlich d.h. die Reihe konvergiert für alle x
aber jetzt b)
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} 3^n [/mm] / n! * [mm] x^n^2
[/mm]
Was macht man im Allgemeinen jetzt mit so einer Potzenreihe?
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:04 So 14.01.2007 | | Autor: | Farouk |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie für die Reihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty} [/mm] x+3 / [mm] (x-3)^k [/mm] alle x aus IR für die die Reihe konvergiert und berechnen sie den Wert der Reihe |
Leider hat noch niemand auf meine Frage geantwortet.
Jetzt ist ein weiters Problem (was denke ich eigentlich das gleiche Problem ist (nämlich die Reihe [mm] 3^n [/mm] /n! * x^2n auf die Form einer Potenzreihe zu bringen)) hinzugekommen.
Auch hier weiss ich nicht wie man das auf die Form eine Potenzreihe, nämlich [mm] a_n [/mm] * [mm] (x-x_0)^n [/mm] bringen kann.
Ich bitte um Hilfe
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Hallo
nur eine kleine Anmerkung:
Wenn du zu einer Potenzreihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_nx^n [/mm] einen Konvergenzradius R (oder Kovergenzkreis mit Radius R in [mm] \IC) [/mm] berechnet hast,
so konvergiert die Reihe für |x|<R un divergiert für |x|>R.
Ist die Potenzreihe von der Form [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n(x^n)^2 [/mm] und hast du einen Konvergenzradius R' berechnet, so konvergiert die Reihe halt für [mm] |x^2|R'
[/mm]
In deinem Bsp [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{3^n}{n!}(x^n)^2 [/mm] ist der Konvergenzradius = [mm] \bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right|}=...=\bruch{1}{0}:=\infty
[/mm]
Also konvergiert die Reihe für alle x mit [mm] |x^2|<\infty [/mm] , also für alle x [mm] (\in\IR)
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 Di 16.01.2007 | | Autor: | Farouk |
Genau das ist aber falsch, wenn die mir vorliegende Lösung (die ich nicht verstehe, und bei der auch nicht die Formel für die Potenzreihe angewandt wurde) stimmt dann kommt raus konvergent für [x] [mm] \le [/mm] 1
(und ich denke schon dass das stimmt denn sonst wäre es ja auch sinnlos eine Teilaufgabe b zu stellen)
Wäre sehr schön wenn mir bitte jemand helfen könnte
LG farouk
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Hallo
ich habe auch unbeabsichtigt Unsinn geschrieben :( sorry dafür
Um den Konvergenzradius (-bereich) einer Potenzreihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nx^n [/mm] berechnen musst, ist das Kriterium von Cauchy-Hadamard
sehr nützlich:
Bestimme dazu [mm] \limsup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_n|}
[/mm]
Der Kovergenzradius ist dann [mm] (\limsup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_n|})^{-1}=\bruch{1}{\limsup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_n|}}
[/mm]
Ist die Reihe zB. von der Form [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nx^{2n} [/mm] , so bestimme [mm] \limsup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[2n]{|a_n|}
[/mm]
Ist die Reihe zB von der Form [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nx^{n^2} [/mm] , so bestimme [mm] \limsup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n^2]{|a_n|}
[/mm]
Ist die Reihe zB. von der Form [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nx^{n!} [/mm] , so bestimme [mm] \limsup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n!]{|a_n|}
[/mm]
Dann passt das auch mit deinem Bsp.
Entschuldige nochmal und Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Fr 26.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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