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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:02 Do 13.10.2011 | | Autor: | Carlo |
Hallöchen,
hab Probleme mit folgender Aufgabe:
Auf dem Intervall (-1,1) gilt [mm] \summe_{n=0}^{\infty} ((-1)^n)* [/mm] (x^(2n))= [mm] \bruch{1}{1+x^2} [/mm] , x [mm] \in [/mm] (-1,1).
Berechnen Sie einen geschlossenen Ausdruck für [mm] \summe_{n=0}^{\infty} ((-1)^n)* [/mm] n*(x^(2n))
Ich weiß, dass man da gliedweise Differenzieren und geeignete Umformungen vollziehen muss, jedoch krieg ich das nicht so wirklich hin:
Ich habe jetzt folgendes gemacht:
[mm] \bruch{d}{dx} \summe_{n=0}^{\infty} ((-1)^n)x^{2n} [/mm] =
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{d}{dx} ((-1)^n)* [/mm] x^(2n)
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] n*((-1)^(n-1)) * 2n*(x^(2n-1))
[mm] \bruch{d}{dx} \bruch{1}{(1+x^2)}= (1+x^2) [/mm]
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] n*((-1)^(n-1)) * 2n*(x^(2n-1))= [mm] (1+x^2) [/mm]
ist das soweit erst einmal richtig? wie kann ich weiter vorgehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:11 Do 13.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallöchen,
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> hab Probleme mit folgender Aufgabe:
>
> Auf dem Intervall (-1,1) gilt [mm]\summe_{n=0}^{\infty} ((-1)^n)*[/mm]
> (x^(2n))= [mm]\bruch{1}{1+x^2}[/mm] , x [mm]\in[/mm] (-1,1).
>
> Berechnen Sie einen geschlossenen Ausdruck für
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} ((-1)^n)*[/mm] n*(x^(2n))
>
> Ich weiß, dass man da gliedweise Differenzieren und
> geeignete Umformungen vollziehen muss, jedoch krieg ich das
> nicht so wirklich hin:
>
>
> Ich habe jetzt folgendes gemacht:
>
> [mm]\bruch{d}{dx} \summe_{n=0}^{\infty} ((-1)^n)x^{2n}[/mm] =
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{d}{dx} ((-1)^n)*[/mm] x^(2n)
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] n*((-1)^(n-1)) * 2n*(x^(2n-1))
Ach Du dickes Ei ! Ich ahne wie Du auf diesen Quark gekommen bist : Du hast [mm] (-1)^n [/mm] "differenziert" !!!!
[mm] (-1)^n [/mm] ist doch ein konstanter Faktor vor [mm] x^{2n}. [/mm] Damit ist
[mm] \bruch{d}{dx} ((-1)^n)* x^{2n}=(-1)^n2nx^{2n-1}
[/mm]
>
>
> [mm]\bruch{d}{dx} \bruch{1}{(1+x^2)}= (1+x^2)[/mm]
Das ist ja nun völliger Unsinn. Wie kommst Du auf dies Schnapsidee ?
FRED
>
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] n*((-1)^(n-1)) * 2n*(x^(2n-1))=
> [mm](1+x^2)[/mm]
>
>
> ist das soweit erst einmal richtig? wie kann ich weiter
> vorgehen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 Do 13.10.2011 | | Autor: | Carlo |
och nöö, das ist mir jetzt aber echt unangenehm.
Hab total vergessen, dass das alternierend ist.
Tut mir leid.
[mm] \bruch{d}{dx} \bruch{-2x}{(1+x^2)^2}
[/mm]
Ich hab mich mal weiter versucht:
[mm] (-1)^n2nx^{2n-1} [/mm] = [mm] \bruch{-2x}{(1+x^2)^2} [/mm] | :2
[mm] (-1)^nnx^{2n-1} [/mm] = [mm] \bruch{-x}{(1+x^2)^2} [/mm] | * x
[mm] (-1)^nnx^{2n} [/mm] = [mm] \bruch{-x^2}{(1+x^2)^2}
[/mm]
dann wären wir bei dem Ausdruck der gegeben war.
Stimmt das so ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:41 Do 13.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> och nöö, das ist mir jetzt aber echt unangenehm.
>
> Hab total vergessen, dass das alternierend ist.
>
> Tut mir leid.
>
> [mm]\bruch{d}{dx} \bruch{-2x}{(1+x^2)^2}[/mm]
>
>
> Ich hab mich mal weiter versucht:
>
>
> [mm](-1)^n2nx^{2n-1}[/mm] = [mm]\bruch{-2x}{(1+x^2)^2}[/mm] | :2
>
> [mm](-1)^nnx^{2n-1}[/mm] = [mm]\bruch{-x}{(1+x^2)^2}[/mm] | * x
>
> [mm](-1)^nnx^{2n}[/mm] = [mm]\bruch{-x^2}{(1+x^2)^2}[/mm]
>
> dann wären wir bei dem Ausdruck der gegeben war.
>
> Stimmt das so ?
nein !! Du bist schlampig ! Wahrscheinlich hast Du es richtig gemeint, Schreib es bitte ordentlich und komplett auf.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Do 13.10.2011 | | Autor: | Carlo |
Hmm :S
Ich hab mir die Übung dazu noch einmal angeguckt. Wir haben das immer so aufgeschrieben:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^nnx^{2n} [/mm] = [mm] \bruch{-x^2}{(1+x^2)^2}
[/mm]
so zufrieden? Wenn nicht, weiß ich nicht was du meinst.
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Hallo Carlo,
> Hmm :S
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> Ich hab mir die Übung dazu noch einmal angeguckt. Wir
> haben das immer so aufgeschrieben:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^nnx^{2n}[/mm] = [mm]\bruch{-x^2}{(1+x^2)^2}[/mm]
>
> so zufrieden? Wenn nicht, weiß ich nicht was du meinst.
Erkläre noch mit einem Wort, warum die Reihe linkerhand bei [mm]n=0[/mm] losläuft.
Es ist ja erstmal [mm]\frac{d}{dx}\left( \ \sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\cdot{}x^{2n} \ \right) \ = \ \sum\limits_{n=\red{1}}^{\infty}(-1)^n\cdot{}2n\cdot{}x^{2n-1}[/mm]
Ansonsten sieht das gut aus!
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:58 Do 13.10.2011 | | Autor: | fred97 |
Das hast Du oben geschrieben:
> $ [mm] \bruch{d}{dx} \bruch{-2x}{(1+x^2)^2} [/mm] $
>
>
> Ich hab mich mal weiter versucht:
>
>
> $ [mm] (-1)^n2nx^{2n-1} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{-2x}{(1+x^2)^2} [/mm] $ | :2
>
> $ [mm] (-1)^nnx^{2n-1} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{-x}{(1+x^2)^2} [/mm] $ | * x
>
> $ [mm] (-1)^nnx^{2n} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{-x^2}{(1+x^2)^2} [/mm] $
Statt $ [mm] \bruch{d}{dx} \bruch{-2x}{(1+x^2)^2} [/mm] $ sollte es lauten:
$ [mm] \bruch{d}{dx} \bruch{1}{1+x^2} =\bruch{-2x}{(1+x^2)^2} [/mm] $
Dann hast Du hier
> $ [mm] (-1)^n2nx^{2n-1} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{-2x}{(1+x^2)^2} [/mm] $ | :2
>
> $ [mm] (-1)^nnx^{2n-1} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{-x}{(1+x^2)^2} [/mm] $ | * x
>
> $ [mm] (-1)^nnx^{2n} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{-x^2}{(1+x^2)^2} [/mm] $
dreimal das Summenzeichen [mm] \sum [/mm] unterschlagen.
Der Rest wurde Dir vom Kollegen schachuzipus gesagt.
Jetzt klar ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 Do 13.10.2011 | | Autor: | Carlo |
Diese 1 beim Summenzeichen kommt doch daher, dass man ableitet, quasi -1 rechnet.
Warum das später wieder Null wird, hab ich mich ehrlich gesagt nie gefragt, jetzt wo du es ansprichst würde ich es auch gerne wissen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:05 Do 13.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Diese 1 beim Summenzeichen kommt doch daher, dass man
> ableitet, quasi -1 rechnet.
>
> Warum das später wieder Null wird, hab ich mich ehrlich
> gesagt nie gefragt, jetzt wo du es ansprichst würde ich es
> auch gerne wissen.
Schreiben wirs mal aus:
[mm] \bruch{d}{dx}(a_0+a_1x+a_2x^2+...) [/mm] = [mm] a_1+2a_2x+...,
[/mm]
also
[mm] \bruch{d}{dx}\summe_{n=0}^{\infty}a_nx^n= \summe_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}
[/mm]
FRED
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