Potenzreihenansatz < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:14 Mi 04.03.2009 | | Autor: | SaV86 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den dritten Koeffizienten, d.h. [mm] a_3 [/mm] für [mm] y=\summe_k a_kx^{k}, [/mm] des Potenzreihenansatzes für die folgende Differentialgleichung
y''+y'(3-x²)=1
mit den Anfangswerten y(0)=1 und y'(0)=2. |
So, ich wollt das nun mit der rekusivformel lösen.
[mm] a_{k+2}=1/((k+2)*(k+1))*[h_k-\summe_{j=0}^{k}(j+1)f_{k-j}*a_j-\summe_{j=0}^{k} g_{k-j}*a_j] [/mm] (k=0,1,2,....)
und habe als
h(x)=1
f(x)=(3-x²)
festfelegt.
nun wollte ich mit dem ansatz
[mm] y(x)=\summe_{k=0}^{\infty} a_k*x^{x}
[/mm]
angenommen und nun versucht [mm] h_0,h_1,... [/mm] zu bestimmen.
[mm] h_0=1, h_1=h_2=...=h_n=0
[/mm]
[mm] a_0=1, a_1=2,a_2=a_3=.....=0
[/mm]
und [mm] f_0=(3-X²), f_1=?
[/mm]
Ich denke das ich die Koeffizienten falsche bestimme!
Wie würde ich denn nun [mm] f_1 [/mm] bestimmen und stimmen die h-Koeffizeinten?
besten danke schonmal!
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Hallo SaV86,
> Bestimmen Sie den dritten Koeffizienten, d.h. [mm]a_3[/mm] für
> [mm]y=\summe_k a_kx^{k},[/mm] des Potenzreihenansatzes für die
> folgende Differentialgleichung
>
> y''+y'(3-x²)=1
>
> mit den Anfangswerten y(0)=1 und y'(0)=2.
> So, ich wollt das nun mit der rekusivformel lösen.
>
> [mm]a_{k+2}=1/((k+2)*(k+1))*[h_k-\summe_{j=0}^{k}(j+1)f_{k-j}*a_j-\summe_{j=0}^{k} g_{k-j}*a_j][/mm]
> (k=0,1,2,....)
>
> und habe als
>
> h(x)=1
> f(x)=(3-x²)
>
> festfelegt.
>
> nun wollte ich mit dem ansatz
>
> [mm]y(x)=\summe_{k=0}^{\infty} a_k*x^{x}[/mm]
> angenommen und nun
> versucht [mm]h_0,h_1,...[/mm] zu bestimmen.
> [mm]h_0=1, h_1=h_2=...=h_n=0[/mm]
> [mm]a_0=1, a_1=2,a_2=a_3=.....=0[/mm]
>
> und [mm]f_0=(3-X²), f_1=?[/mm]
f(x) ist auch als Potenzreihe zu sehen:
[mm]f_{0}=3, \ f_{1}=0, \ f_{2} = -1, f_{3}=f_{4}=\cdots=0[/mm]
>
> Ich denke das ich die Koeffizienten falsche bestimme!
> Wie würde ich denn nun [mm]f_1[/mm] bestimmen und stimmen die
> h-Koeffizeinten?
Die h-Koeffizienten stimmen.
>
> besten danke schonmal!
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:03 Do 05.03.2009 | | Autor: | SaV86 |
Also meien h-Koeffes habe ich so bestimmt, dass ich geschaut habe welche Glieder der Reihe von h(x) existieren.
Der aufbau wäre ja [mm] h(x)=\summe_{i=0}^{\infty} h_0*x^{0}+h_1*x^{1}+h_2*x^{2}+....
[/mm]
und somit existiert nur [mm] h_0=1 [/mm] und alle anderen [mm] h_n [/mm] müssen= 0 sein.
Stimmen meine [mm] a_0 [/mm] und [mm] a_1 [/mm] denn auch?
Was wäre denn, wenn meine Anfangswerte nicht f(0)= sondenr zB f(2)=1 wären?
Wäre dann der Potenzreihenansatz noch möglich?
Aber wie bestimme ich das denn nun bei f(x)? da weiß ich leider nicht wie ich da die Potenzreihe betrachten soll/muss.
Gruß sav
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Hallo SaV86,
> Also meien h-Koeffes habe ich so bestimmt, dass ich
> geschaut habe welche Glieder der Reihe von h(x)
> existieren.n
>
> Der aufbau wäre ja [mm]h(x)=\summe_{i=0}^{\infty} h_0*x^{0}+h_1*x^{1}+h_2*x^{2}+....[/mm]
>
>
> und somit existiert nur [mm]h_0=1[/mm] und alle anderen [mm]h_n[/mm] müssen=
> 0 sein.
>
> Stimmen meine [mm]a_0[/mm] und [mm]a_1[/mm] denn auch?
[mm]a_{0}, \ a_{1}[/mm] sind durch die Anfangsbedingungen vorgegeben.
> Was wäre denn, wenn meine Anfangswerte nicht f(0)= sondenr
> zB f(2)=1 wären?
> Wäre dann der Potenzreihenansatz noch möglich?
Der Potenzreihenansatz ist immer möglich.
>
> Aber wie bestimme ich das denn nun bei f(x)? da weiß ich
> leider nicht wie ich da die Potenzreihe betrachten
> soll/muss.
Nun schreibe
[mm]f\left(x\right)=3-x^{2} = 3*x^{0}+0*x^{1}+\left(-1\right)*x^{2}+0*x^{4}+0*x^{5}+ \cdots [/mm]
[mm]f\left(x\right)=\summe_{k=0}^{\infty}f_{k}*x^{k}[/mm]
mit
[mm]f_{k}=\left\{\begin{matrix} 3, & k=0 \\ -1, & k=2 \\ 0 & sonst\end{matrix}\right[/mm]
>
> Gruß sav
Gruß
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:25 Do 05.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie den dritten Koeffizienten, d.h. [mm]a_3[/mm] für
> [mm]y=\summe_k a_kx^{k},[/mm] des Potenzreihenansatzes für die
> folgende Differentialgleichung
>
> y''+y'(3-x²)=1
>
> mit den Anfangswerten y(0)=1 und y'(0)=2.
> So, ich wollt das nun mit der rekusivformel lösen.
>
> [mm]a_{k+2}=1/((k+2)*(k+1))*[h_k-\summe_{j=0}^{k}(j+1)f_{k-j}*a_j-\summe_{j=0}^{k} g_{k-j}*a_j][/mm]
> (k=0,1,2,....)
>
> und habe als
>
> h(x)=1
> f(x)=(3-x²)
>
> festfelegt.
>
> nun wollte ich mit dem ansatz
>
> [mm]y(x)=\summe_{k=0}^{\infty} a_k*x^{x}[/mm]
> angenommen und nun
> versucht [mm]h_0,h_1,...[/mm] zu bestimmen.
> [mm]h_0=1, h_1=h_2=...=h_n=0[/mm]
> [mm]a_0=1, a_1=2,a_2=a_3=.....=0[/mm]
>
> und [mm]f_0=(3-X²), f_1=?[/mm]
>
> Ich denke das ich die Koeffizienten falsche bestimme!
> Wie würde ich denn nun [mm]f_1[/mm] bestimmen und stimmen die
> h-Koeffizeinten?
>
> besten danke schonmal!
>
Ich weiß nicht was Du hier treibst !
Du sollst doch nur den Koeff. [mm] a_3 [/mm] bestimmen !
Es ist [mm] a_3 [/mm] = [mm] \bruch{y'''(0)}{6}
[/mm]
Aus $y''(x)=1-y'(x)(3-x²)$ erhälst Du : $y''(0) = 1-3y'(0) = -2 $
und
$y'''(x) = [mm] -y''(x)(3-x^2)+2xy'(x) [/mm] $,
also
$y'''(0) = -3y''(0) = 6$.
Damit: [mm] $a_3 [/mm] = 1$
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:19 Do 05.03.2009 | | Autor: | SaV86 |
Also nach meiner Lösung soll [mm] a_3=5/2 [/mm] sein.
hmm mit meinem Rekusivformelansatz und den Werten für [mm] f_1...f_n [/mm] von MathePower komme ich auf [mm] a_3=4/6.
[/mm]
Wie komme ich denn auf die Werte von [mm] f_1..f_n???
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:03 Do 05.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Also nach meiner Lösung soll [mm]a_3=5/2[/mm] sein.
Pardon, Pardon !
Ich hatte in meiner obigen Antwort versehentlich $y'(0) = 1$ angenommen.
Laut Aufgabenstellung ist jedoch $y'(0) = 2$ (wer lesen kann ist im Vorteil !)
Damit ist $y''(0) = -5$ und $y'''(0) = 15$, also $ [mm] a_3 [/mm] = [mm] \bruch{15}{6} [/mm] = [mm] \bruch{5}{2}$
[/mm]
FRED
>
> hmm mit meinem Rekusivformelansatz und den Werten für
> [mm]f_1...f_n[/mm] von MathePower komme ich auf [mm]a_3=4/6.[/mm]
>
> Wie komme ich denn auf die Werte von [mm]f_1..f_n???[/mm]
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