Potenzreihenansatz < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:13 Mo 06.09.2010 | | Autor: | kappen |
| Aufgabe | Geben Sie ein Fundamentalsystem dieser DGL an:
[mm] 2(x^2-x)y''-(1+x)y'+y=0 [/mm] |
Hi leute :)
Behandele gerade DGL mit Potenzreihenansatz, den ich doch hier nehmen darf, weil die DGL in x=0 definiert und durch analytische Funktionen dargestellt werden kann oder?
Habe jedenfalls meine Reihen eingesetzt, nach dem höchsten Koeffizienten aufgelöst und
[mm] a_{n+1}=-\bruch{a_n*(n-0.5)}{(n+0.5)} [/mm] herausbekommen.
Habe dann [mm] a_0=0 [/mm] und [mm] a_1=1 [/mm] gewählt und das Bildungsgesetzt [mm] a_n=\bruch{(-1)^{n-1}}{2n-1} [/mm] (hoffentlich) herausgefunden.
Habe das per vollständiger Induktion gezeigt (hoffe ich, es kommt das gewünschte raus, ist der Weg richtig?)
Den Induktionsanfang habe ich gezeigt, indem ich die Anfangswerte benutzt habe und eingestzt habe.
Induktionsschritt:
n->n+1 =>Behauptung: [mm] a_{n+2}=\bruch{(-1)^{n+1}}{2n+5}
[/mm]
gezeigt durch: [mm] a_{n+2}=-\bruch{a_{n+1}(n+0.5)}{n+2.5}= [/mm] nach Voraussetzung = [mm] -\bruch{(-1)^n*\bruch{n+0.5}{2n+1}}{n+2.5}=-\bruch{(-1)^n*1}{2n+5}=\bruch{(-1)^{n+1}}{2n+5}
[/mm]
Darf man das so schreiben?
Jedenfalls ist damit mein Koeffizient [mm] a_n [/mm] für die Lösung [mm] y(x)=\summe_{n=0}^{\infty}a_kx^k
[/mm]
Aber dazu kenne ich leider keine analytische Funktion, daher fürchte ich, dass es falsch ist.
Kann ich am Ende den Potenzreihenansatz garnicht benutzen? Wie löse ich die DGL sonst?
Danke & schöne Grüße!
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Hallo kappen,
> Geben Sie ein Fundamentalsystem dieser DGL an:
> [mm]2(x^2-x)y''-(1+x)y'+y=0[/mm]
> Hi leute :)
>
> Behandele gerade DGL mit Potenzreihenansatz, den ich doch
> hier nehmen darf, weil die DGL in x=0 definiert und durch
> analytische Funktionen dargestellt werden kann oder?
Ja, der Potenzreihenansatz funktioniert immer.
>
> Habe jedenfalls meine Reihen eingesetzt, nach dem höchsten
> Koeffizienten aufgelöst und
> [mm]a_{n+1}=-\bruch{a_n*(n-0.5)}{(n+0.5)}[/mm] herausbekommen.
Ich erhalte hier eine andere Rekursionformel.
> Habe dann [mm]a_0=0[/mm] und [mm]a_1=1[/mm] gewählt und das Bildungsgesetzt
> [mm]a_n=\bruch{(-1)^{n-1}}{2n-1}[/mm] (hoffentlich) herausgefunden.
> Habe das per vollständiger Induktion gezeigt (hoffe ich,
> es kommt das gewünschte raus, ist der Weg richtig?)
>
> Den Induktionsanfang habe ich gezeigt, indem ich die
> Anfangswerte benutzt habe und eingestzt habe.
> Induktionsschritt:
> n->n+1 =>Behauptung: [mm]a_{n+2}=\bruch{(-1)^{n+1}}{2n+5}[/mm]
> gezeigt durch: [mm]a_{n+2}=-\bruch{a_{n+1}(n+0.5)}{n+2.5}=[/mm]
> nach Voraussetzung =
> [mm]-\bruch{(-1)^n*\bruch{n+0.5}{2n+1}}{n+2.5}=-\bruch{(-1)^n*1}{2n+5}=\bruch{(-1)^{n+1}}{2n+5}[/mm]
>
> Darf man das so schreiben?
>
> Jedenfalls ist damit mein Koeffizient [mm]a_n[/mm] für die Lösung
> [mm]y(x)=\summe_{n=0}^{\infty}a_kx^k[/mm]
>
> Aber dazu kenne ich leider keine analytische Funktion,
> daher fürchte ich, dass es falsch ist.
> Kann ich am Ende den Potenzreihenansatz garnicht benutzen?
> Wie löse ich die DGL sonst?
>
> Danke & schöne Grüße!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:35 Mo 06.09.2010 | | Autor: | kappen |
Okay, Vorzeichenfehler.
[mm] a_{n+1}=\bruch{a_n*(n-1)(n-0.5)}{(n+1)(n+0.5)}
[/mm]
Aber das ist nicht toll, wenn ich jetzt [mm] a_0=0 [/mm] und [mm] a_1=1 [/mm] oder umgekehrt probiere, dann ist immer alles 0..
Es sind aber kiene anderen Anfangswerte o.ä. gegeben.
Was nun?
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Hallo kappen,
> Okay, Vorzeichenfehler.
> [mm]a_{n+1}=\bruch{a_n*(n-1)(n-0.5)}{(n+1)(n+0.5)}[/mm]
Offenbar hast Du hier die Potenzreihe um 1 benutzt.
Dann erhalte ich aber:
[mm]\left(2n-1\right)\left(n-1\right)a_{n}+\left(n+1\right)\left(2n-2\right)a_{n+1}=0[/mm]
>
> Aber das ist nicht toll, wenn ich jetzt [mm]a_0=0[/mm] und [mm]a_1=1[/mm]
> oder umgekehrt probiere, dann ist immer alles 0..
> Es sind aber kiene anderen Anfangswerte o.ä. gegeben.
>
> Was nun?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:35 Mi 08.09.2010 | | Autor: | kappen |
Fehlt da nicht ein Minus?
Ich schreibs mal komplett auf...
[mm] 2(x^2-x)y''-(1+x)y'+y=0\gdw 2x^2*y''-2xy''-y'-xy'+y=0 [/mm]
[mm] \gdw \summe_{n=1}^{\infty}(2n(n-1)a_n-2n(n+1)a_{n+1}-(n+1)a_{n+1}-na_nn+a_n=0)x^n=0 [/mm]
[mm] \gdw a_{n+1}(-2n^2-3n-1)+a_n(2n^2-2n-3n+1)=0
[/mm]
[mm] \gdw -a_{n+1}(2n^2+3n+1)+a_n(2n^2-2n-3n+1)=0 [/mm]
[mm] \gdw a_{n+1}(n+1)(2n+1)=a_n(n-1)(2n-1) [/mm]
[mm] \gdw a_{n+1}=\bruch{a_n*(n-1)(2n-1)}{(n+1)(2n+1)} [/mm]
[mm] \gdw a_{n+1}=\bruch{a_n*2(n-1)(n-0,5)}{2(n+1)(n+0,5)}
[/mm]
Oder bin ich blöd?!
Wie gehts denn jetzt weiter?
edit: Woher weißt du, dass ich um x=1 entwickle? Habe "einfach" die Reihen aus meiner Formelsammlung verwendet, normalerweise war dort [mm] x_0=0
[/mm]
Schöne Grüße
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Hallo kappen,
> Fehlt da nicht ein Minus?
>
> Ich schreibs mal komplett auf...
> [mm]2(x^2-x)y''-(1+x)y'+y=0\gdw 2x^2*y''-2xy''-y'-xy'+y=0[/mm]
> [mm]\gdw \summe_{n=1}^{\infty}(2n(n-1)a_n-2n(n+1)a_{n+1}-(n+1)a_{n+1}-na_nn+a_n=0)x^n=0[/mm]
> [mm]\gdw a_{n+1}(-2n^2-3n-1)+a_n(2n^2-2n-3n+1)=0[/mm]
> [mm]\gdw -a_{n+1}(2n^2+3n+1)+a_n(2n^2-2n-3n+1)=0[/mm]
> [mm]\gdw a_{n+1}(n+1)(2n+1)=a_n(n-1)(2n-1)[/mm]
> [mm]\gdw a_{n+1}=\bruch{a_n*(n-1)(2n-1)}{(n+1)(2n+1)}[/mm]
> [mm]\gdw a_{n+1}=\bruch{a_n*2(n-1)(n-0,5)}{2(n+1)(n+0,5)}[/mm]
Die letzte Umformung stimmt nicht:
[mm]a_{n+1}=\bruch{\left(n-0,5\right)\left(n-1\right)}{\left(n+0,5\right)\left(n+1\right)}a_{n}[/mm]
>
> Oder bin ich blöd?!
>
> Wie gehts denn jetzt weiter?
>
> edit: Woher weißt du, dass ich um x=1 entwickle? Habe
Nun, ich habe den allgemeinen Potenreihenansatz
[mm]y\left(x\right)=\summe_{n=0}^{\infty}a_{n}*}\left(x-x_{0}\right)^{n}[/mm]
gewählt, und die DGL entsprechend angepasst, d.h. wenn
[mm]u:=x-x_{0}[/mm]
dann habe ich x durch [mm]u+x_{0}[/mm] ersetzt, dann ergibt sich
[mm]\alpha*a_{n}+\beta*a_{n+1}+\gamma*a_{n+2}=0[/mm]
,wobei das Glied mit [mm]a_{n+2}[/mm] nur wegfällt,
wenn der Entwicklungspunkt 0 oder 1 gewählt wurde.
> "einfach" die Reihen aus meiner Formelsammlung verwendet,
> normalerweise war dort [mm]x_0=0[/mm]
>
> Schöne Grüße
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 Mi 08.09.2010 | | Autor: | kappen |
> Hallo kappen,
>
> > Fehlt da nicht ein Minus?
> >
> > Ich schreibs mal komplett auf...
> > [mm]2(x^2-x)y''-(1+x)y'+y=0\gdw 2x^2*y''-2xy''-y'-xy'+y=0[/mm]
> > [mm]\gdw \summe_{n=1}^{\infty}(2n(n-1)a_n-2n(n+1)a_{n+1}-(n+1)a_{n+1}-na_nn+a_n=0)x^n=0[/mm]
> > [mm]\gdw a_{n+1}(-2n^2-3n-1)+a_n(2n^2-2n-3n+1)=0[/mm]
> > [mm]\gdw -a_{n+1}(2n^2+3n+1)+a_n(2n^2-2n-3n+1)=0[/mm]
> > [mm]\gdw a_{n+1}(n+1)(2n+1)=a_n(n-1)(2n-1)[/mm]
> > [mm]\gdw a_{n+1}=\bruch{a_n*(n-1)(2n-1)}{(n+1)(2n+1)}[/mm]
> > [mm]\gdw a_{n+1}=\bruch{a_n*2(n-1)(n-0,5)}{2(n+1)(n+0,5)}[/mm]
>
>
> Die letzte Umformung stimmt nicht:
>
> [mm]a_{n+1}=\bruch{\left(n-0,5\right)\left(n-1\right)}{\left(n+0,5\right)\left(n+1\right)}a_{n}[/mm]
>
>
Was stimmt denn da nicht? [mm] (n-1)(2n-1)\gdw [/mm] 2(n-1)(n-0.5) und dann die 2 kürzen?! Häh?
Angenommen, ich entwickle um [mm] x_0=1, [/mm] was hieße das für meine Rekursionsgleichung? Denn so bin ich bekomme ich entweder für [mm] a_0 [/mm] oder für [mm] a_1 [/mm] 1 und für den Rest 0 heraus.. Wenn [mm] a_0=1 [/mm] ist, so ist die "Lösung" 1 , wenn [mm] a_1=1 [/mm] ist lautet sie x+1 (wegen [mm] x_0=1)? [/mm] Wohl kaum :(
> >
> > Oder bin ich blöd?!
> >
> > Wie gehts denn jetzt weiter?
> >
> > edit: Woher weißt du, dass ich um x=1 entwickle? Habe
>
>
> Nun, ich habe den allgemeinen Potenreihenansatz
>
> [mm]y\left(x\right)=\summe_{n=0}^{\infty}a_{n}*}\left(x-x_{0}\right)^{n}[/mm]
>
> gewählt, und die DGL entsprechend angepasst, d.h. wenn
>
> [mm]u:=x-x_{0}[/mm]
>
> dann habe ich x durch [mm]u+x_{0}[/mm] ersetzt, dann ergibt sich
>
> [mm]\alpha*a_{n}+\beta*a_{n+1}+\gamma*a_{n+2}=0[/mm]
>
> ,wobei das Glied mit [mm]a_{n+2}[/mm] nur wegfällt,
> wenn der Entwicklungspunkt 0 oder 1 gewählt wurde.
>
>
> > "einfach" die Reihen aus meiner Formelsammlung verwendet,
> > normalerweise war dort [mm]x_0=0[/mm]
> >
> > Schöne Grüße
>
>
> Gruss
> MathePower
Danke & schöne Grüße...
Ah, noch was - woher weiß ich, wann es ne reguläre oder eine schwach singuläre DGL ist? Ich weiß, dass meine Koeffizienten bei [mm] x_0 [/mm] in PR entwickelbar sein müssen, aber das sind sie doch fast immer, oder?
Wir hatten ein Beispiel [mm] y''+\bruch{y'}{x^3}+irgendwas=0, [/mm] da hieß es, die sei nicht regulär und auch nicht schwach singulär, weil ich das nicht um [mm] x_0 [/mm] entwickelbar und dann definiert ist..
Durch die Divison von 0 oder warum?
Andererseits gabs Beispiele, wo auch das x im Nenner stand und das war wiederrum keine schwach Singuläre?!
Danke, liebe(r) MathePower :)
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Hallo kappen,
> > Hallo kappen,
> >
> > > Fehlt da nicht ein Minus?
> > >
> > > Ich schreibs mal komplett auf...
> > > [mm]2(x^2-x)y''-(1+x)y'+y=0\gdw 2x^2*y''-2xy''-y'-xy'+y=0[/mm]
>
> > > [mm]\gdw \summe_{n=1}^{\infty}(2n(n-1)a_n-2n(n+1)a_{n+1}-(n+1)a_{n+1}-na_nn+a_n=0)x^n=0[/mm]
> > > [mm]\gdw a_{n+1}(-2n^2-3n-1)+a_n(2n^2-2n-3n+1)=0[/mm]
> > >
> [mm]\gdw -a_{n+1}(2n^2+3n+1)+a_n(2n^2-2n-3n+1)=0[/mm]
> > > [mm]\gdw a_{n+1}(n+1)(2n+1)=a_n(n-1)(2n-1)[/mm]
> > > [mm]\gdw a_{n+1}=\bruch{a_n*(n-1)(2n-1)}{(n+1)(2n+1)}[/mm]
> > > [mm]\gdw a_{n+1}=\bruch{a_n*2(n-1)(n-0,5)}{2(n+1)(n+0,5)}[/mm]
>
> >
> >
> > Die letzte Umformung stimmt nicht:
> >
> >
> [mm]a_{n+1}=\bruch{\left(n-0,5\right)\left(n-1\right)}{\left(n+0,5\right)\left(n+1\right)}a_{n}[/mm]
Da hatte ich wohl was übersehen.
> >
> >
> Was stimmt denn da nicht? [mm](n-1)(2n-1)\gdw[/mm] 2(n-1)(n-0.5) und
> dann die 2 kürzen?! Häh?
>
> Angenommen, ich entwickle um [mm]x_0=1,[/mm] was hieße das für
> meine Rekursionsgleichung? Denn so bin ich bekomme ich
Das hiesse, daß Du eine Potenzreihe bekommst,
die von zwei Parametern abhängig ist.
> entweder für [mm]a_0[/mm] oder für [mm]a_1[/mm] 1 und für den Rest 0
> heraus.. Wenn [mm]a_0=1[/mm] ist, so ist die "Lösung" 1 , wenn
> [mm]a_1=1[/mm] ist lautet sie x+1 (wegen [mm]x_0=1)?[/mm] Wohl kaum :(
> > >
> > > Oder bin ich blöd?!
> > >
> > > Wie gehts denn jetzt weiter?
> > >
> > > edit: Woher weißt du, dass ich um x=1 entwickle? Habe
> >
> >
> > Nun, ich habe den allgemeinen Potenreihenansatz
> >
> >
> [mm]y\left(x\right)=\summe_{n=0}^{\infty}a_{n}*}\left(x-x_{0}\right)^{n}[/mm]
> >
> > gewählt, und die DGL entsprechend angepasst, d.h. wenn
> >
> > [mm]u:=x-x_{0}[/mm]
> >
> > dann habe ich x durch [mm]u+x_{0}[/mm] ersetzt, dann ergibt sich
> >
> > [mm]\alpha*a_{n}+\beta*a_{n+1}+\gamma*a_{n+2}=0[/mm]
> >
> > ,wobei das Glied mit [mm]a_{n+2}[/mm] nur wegfällt,
> > wenn der Entwicklungspunkt 0 oder 1 gewählt wurde.
> >
> >
> > > "einfach" die Reihen aus meiner Formelsammlung verwendet,
> > > normalerweise war dort [mm]x_0=0[/mm]
> > >
> > > Schöne Grüße
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> Danke & schöne Grüße...
>
> Ah, noch was - woher weiß ich, wann es ne reguläre oder
> eine schwach singuläre DGL ist? Ich weiß, dass meine
> Koeffizienten bei [mm]x_0[/mm] in PR entwickelbar sein müssen, aber
> das sind sie doch fast immer, oder?
> Wir hatten ein Beispiel [mm]y''+\bruch{y'}{x^3}+irgendwas=0,[/mm] da
> hieß es, die sei nicht regulär und auch nicht schwach
> singulär, weil ich das nicht um [mm]x_0[/mm] entwickelbar und dann
> definiert ist..
> Durch die Divison von 0 oder warum?
Nun, weil die Funktion [mm]\bruch{1}{x^{3}}[/mm] in [mm]x_{0}=0[/mm]
einen Pol 3. Ordnung hat, ist sie weder regulär noch schwach singulär.
> Andererseits gabs Beispiele, wo auch das x im Nenner stand
> und das war wiederrum keine schwach Singuläre?!
Allgemein gilt für die DGL 2. Ordnung
[mm]y''+a\left(x\right)*y'+b\left(x\right)*y=0[/mm]
Dann heisst diese DGL
i) regulär,
wenn [mm]a\left(x\right)[/mm] und [mm]b\left(x\right)[/mm] bei [mm]x_{0}[/mm] ![[]](/images/popup.gif) holomorph sind,
ii) schwach singulär,
wenn [mm]a\left(x\right)[/mm] in [mm]x_{0}[/mm] höchstens einen Pol erster Ordnung,
[mm]b\left(x\right)[/mm] in [mm]x_{0}[/mm] höchstens einen Pol zweiter Ordnung besitzt
und nicht beide holomorph sind
iii) stark singulär,
wenn keiner der Fälle i) und ii) vorliegt.
>
> Danke, liebe(r) MathePower :)
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Mi 15.09.2010 | | Autor: | kappen |
Habe noch ne Frage zur schwach singulären DGL:
4xy''+2y'+y=0
Wieso kann ich 4x bei [mm] x_0=0 [/mm] nicht in eine Reihe entwickeln? Wenn ich Taylor nehme, bekomme ich doch einfach x raus? Oder heißt "nicht in Reihe entwickelbar", dass die Reihe 0 ist?
Ich habe mir den Artikel über holomorphismus durchgelesen, aber das scheint recht komplex (im wahrsten Sinne :D) zu sein, keine Ahnung ob ich das bis zur Klausur hinbekomme (zumal wir das halt auch noch nicht behandelt haben)
Danke & schöne Grüße
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Hallo kappen,
> Habe noch ne Frage zur schwach singulären DGL:
>
> 4xy''+2y'+y=0
>
> Wieso kann ich 4x bei [mm]x_0=0[/mm] nicht in eine Reihe entwickeln?
> Wenn ich Taylor nehme, bekomme ich doch einfach x raus?
> Oder heißt "nicht in Reihe entwickelbar", dass die Reihe 0
> ist?
Schreibe das so um:
[mm]y''+\bruch{2}{4x}y'+\bruch{1}{4x}y=0[/mm]
Dann heisst "nicht in eine Reihe um [mm]x_{0}=0[/mm] entwickelbar",
dass [mm]\bruch{2}{4x}[/mm] nicht in eine konvergente Reihe nach Potenzen
von [mm]x-x_{0}[/mm] entwickelbar ist.
>
> Ich habe mir den Artikel über holomorphismus durchgelesen,
> aber das scheint recht komplex (im wahrsten Sinne :D) zu
> sein, keine Ahnung ob ich das bis zur Klausur hinbekomme
> (zumal wir das halt auch noch nicht behandelt haben)
"Holomorph in [mm]x_{0}[/mm]" ist dasselbe wie "in eine konvergente Reihe nach Potenzen von [mm]x-x_{0}[/mm] entwickelbar" (nach Weierstraß)
> Danke & schöne Grüße
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Mo 04.10.2010 | | Autor: | kappen |
Aber wieso kann ich das nicht entwickeln? Ich kann doch Taylorn, mit [mm] x_0=0, [/mm] und die Taylor Reihe konvergiert doch oder nicht?
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Hallo kappen,
> Aber wieso kann ich das nicht entwickeln? Ich kann doch
> Taylorn, mit [mm]x_0=0,[/mm] und die Taylor Reihe konvergiert doch
> oder nicht?
Was aber ist [mm]\limes_{x \rightarrow 0}\ \bruch{2}{4*x}[/mm] ?
Die Divison durch 0 ist hier nicht erlaubt.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:47 Mo 06.09.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ohne alles andere genauer zu lesen...
> Jedenfalls ist damit mein Koeffizient [mm]a_n[/mm] für die Lösung
> [mm]y(x)=\summe_{\red{n}=0}^{\infty}a_kx^k[/mm]
anstatt [mm] $\red{n}$ [/mm] sollte da [mm] $\,k$ [/mm] stehen.
Beste Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:05 Mo 06.09.2010 | | Autor: | kappen |
jo stimmt natürlich danke
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