Potenzreihenansatz? < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:52 Fr 12.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Hallo.
Ich brauche mal wieder eure Hilfe. Es geht jetzt aber nicht um eine bestimmte Aufgabe, die ich lösen muss, sondern eher um ein mathematisches "Verfahren", was ich nicht verstehe.
Angenommen, man hätte die Differentialgleichung
y'(x) - x [mm] \* [/mm] y(x) = 0 mit y(0) = 1
Da soll man jetzt mit einem Potenzreihenansatz das Anfangswertproblem lösen. Dabei soll auch ein Koeffizientenvergleich durchgeführt werden.
Kann mir vllt jemand dieses Prinzip mit dem Potenzreihenansatz und folgendem Koeffizientenvergleich erklären bzw. an diesem Beispiel deutlich machen?
Also, was Potenzreihen sind, weiß ich natürlich:
[mm] \summe_{k=0}^{n} a_{n}x^{n}
[/mm]
Aber den Rest versteh ich nicht. Danke für Hilfe.
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> Hallo.
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> Ich brauche mal wieder eure Hilfe. Es geht jetzt aber nicht
> um eine bestimmte Aufgabe, die ich lösen muss, sondern
> eher um ein mathematisches "Verfahren", was ich nicht
> verstehe.
>
> Angenommen, man hätte die Differentialgleichung
>
> y'(x) - x [mm]\*[/mm] y(x) = 0 mit y(0) = 1
>
> Da soll man jetzt mit einem Potenzreihenansatz das
> Anfangswertproblem lösen. Dabei soll auch ein
> Koeffizientenvergleich durchgeführt werden.
>
> Kann mir vllt jemand dieses Prinzip mit dem
> Potenzreihenansatz und folgendem Koeffizientenvergleich
> erklären bzw. an diesem Beispiel deutlich machen?
>
> Also, was Potenzreihen sind, weiß ich natürlich:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n} a_{n}x^{n}[/mm]
>
> Aber den Rest versteh ich nicht. Danke für Hilfe.
Hallo SolRakt,
setze die Summe für y(x) ein und leite die entstandene
Gleichung beidseitig ab.
Dann setzt du mal alles in die Differentialgleichung ein.
Durch Koeffizientenvergleich erhältst du dann eine
Rekursionsformel für die Koeffizienten.
Den Start liefert die Anfangsbedingung.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:03 Fr 12.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Also, ich setze die Summe [mm] \summe_{k=0}^{n} a_{n}x^{n}
[/mm]
in y(x) ein. Das wäre in dem Beispiel:
[mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] n [mm] \* a^{x} x^{n-1} [/mm] - x [mm] \* \summe_{k=0}^{n} a_{n}x^{n}
[/mm]
Wie wird denn jetzt der Koeffizientenvergleich eingesetzt?
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Hallo SolRakt,
> Also, ich setze die Summe [mm]\summe_{k=0}^{n} a_{n}x^{n}[/mm]
>
> in y(x) ein. Das wäre in dem Beispiel:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n}[/mm] n [mm]\* a^{x} x^{n-1}[/mm] - x [mm]\* \summe_{k=0}^{n} a_{n}x^{n}[/mm]
>
> Wie wird denn jetzt der Koeffizientenvergleich eingesetzt?
>
Jetzt muss Du die Koeffizienten jeder x-Potenz auf der linken Seite
mit dem entsprechenden Koeffizienten derselben x-Potenz auf der
rechten Seite vergleichen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:45 Fr 12.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Irgendwie kapier ich das nicht ganz.
Also, der Koeffizient auf der linken Seite ist doch n [mm] a^{x} [/mm] x
Auf der rechten Seite nur [mm] a_{n}
[/mm]
Stimmt das? Und was bringt mir das?
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Hallo SolRakt,
> Irgendwie kapier ich das nicht ganz.
>
> Also, der Koeffizient auf der linken Seite ist doch n [mm]a^{x}[/mm]
> x
>
> Auf der rechten Seite nur [mm]a_{n}[/mm]
>
> Stimmt das? Und was bringt mir das?
Die Gleichung, die da steht lautet doch:
[mm]\summe_{n=1}^{\inftx}n*a_{n}*x^{n-1}-x*\summe_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}=0[/mm]
[mm]\gdw \summe_{n=1}^{\inftx}n*a_{n}*x^{n-1}-\summe_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n+1}=0[/mm]
Um vergleichen zu können, müssen die Exponenten gleich sein.
Dazu setzen wir in der ersten Summe n-1=l
und in der zweiten Summe n+1=l
Dann ergibt sich
[mm] \summe_{l=0}^{\infty}\left(l+1\right)*a_{l+1}*x^{l}-\summe_{l=1}^{\infty}a_{l-1}x^{l}=0[/mm]
Formen wir das um, so steht da:
[mm]a_{1}*x^{0}+\summe_{l=1}^{\infty}\left(l+1\right)*a_{l+1}*x^{l}-\summe_{l=1}^{\infty}a_{l-1}x^{l}=0[/mm]
Daraus ergibt sich die Gleichungen zur Bestimmung der [mm]a_{k}[/mm]
Gruss
MathePower
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> Dazu setzen wir in der ersten Summe n-1=l
> und in der zweiten Summe n+1=l
... in diesem Zusammenhang bedaure ich wieder einmal,
dass in den gängigen Fonts zwischen der Ziffer 1 , dem
Kleinbuchstaben l und dem Großbuchstaben I oft kaum ein
Unterschied zu erkennen ist, ebenso wie bei der Ziffer 0
und den Klein- oder Großbuchstaben O und o ...
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:10 Sa 13.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ok. Was du gemacht hast, verstehe ich, aber was kann ich nun mit dem letzten Ergebnis anfangen? So wie das da steht, bringt mir das doch noch nichts.
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> Ok. Was du gemacht hast, verstehe ich, aber was kann ich
> nun mit dem letzten Ergebnis anfangen? So wie das da steht,
> bringt mir das doch noch nichts.
$ [mm] a_{1}\cdot{}x^{0}+\summe_{l=1}^{\infty}\left(l+1\right)\cdot{}a_{l+1}\cdot{}x^{l}-\summe_{l=1}^{\infty}\,a_{l-1}*x^{l}=0 [/mm] $
Damit diese Gleichung für alle x gültig sein kann, müssen nun
alle Koeffizienten der (zu einer einzigen Potenzreihe [mm] \summe_{l=0}^{\infty}\,b_l*x^l
[/mm]
zusammengefassten) linken Seite einzeln betrachtet gleich Null sein.
Ein Beispiel: die Potenz [mm] x^5 [/mm] hat insgesamt den Koeffizienten
$\ [mm] b_5\ [/mm] =\ [mm] \left(5+1\right)\cdot{}a_{5+1}-\ a_{5-1} [/mm] $
Dies muss den Wert 0 ergeben. Daraus erhältst du eine Gleichung,
welche die Koeffizienten [mm] a_4 [/mm] und [mm] a_6 [/mm] miteinander verknüpft.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 Sa 13.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Tut mir leid, aber kannst du das mit dem Koeffizientenvergleich nochmal erklären. Ich komm nicht drauf, was du da machst.
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> Tut mir leid, aber kannst du das mit dem
> Koeffizientenvergleich nochmal erklären. Ich komm nicht
> drauf, was du da machst.
Hallo,
wir hatten doch mal die Gleichung
$ [mm] a_{1}\cdot{}x^{0}+\summe_{l=1}^{\infty}\left(l+1\right)\cdot{}a_{l+1}\cdot{}x^{l}-\summe_{l=1}^{\infty}a_{l-1}x^{l}=0 [/mm] $
hast du denn das Ganze bis zu meinem Beispiel
$ \ [mm] b_5\ [/mm] =\ [mm] \left(5+1\right)\cdot{}a_{5+1}-\ a_{5-1} [/mm] $
verstanden ? Das habe ich gemacht, um es konkreter zu
machen. Es soll ja aber für alle [mm] l\in\IN [/mm] gelten, also
$ \ [mm] b_l\ [/mm] =\ [mm] \left(l+1\right)\cdot{}a_{l+1}-\ a_{l-1} [/mm] $
Weil die gesamte Reihe [mm] $\summe_{l=0}^{\infty}b_l*x^l$ [/mm] (dabei sei [mm] b_0:=a_1 [/mm] !)
verschwinden muss, müssen alle ihre einzelnen Koeffi-
zienten gleich 0 sein, also [mm] b_0=b_1=b_2= [/mm] ...... =0 .
Wir erhalten also die Gleichung $ \ [mm] b_l\ [/mm] =\ [mm] \left(l+1\right)\cdot{}a_{l+1}-\ a_{l-1}\ [/mm] =\ 0 $
was auf eine Rekursionsformel für die Koeffizienten [mm] a_k [/mm] der
gesuchten Reihe hinausläuft, die man z.B. auch so notieren kann:
$\ [mm] a_k\ [/mm] =\ [mm] \frac{a_{k-2}}{k}$
[/mm]
Diese Formel gilt ab k=2.
LG
Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Mi 17.11.2010 | | Autor: | Peon |
Hallo,
ich sitze an einer sehr ähnlichen Aufgabe, meine DGL lautet:
y'(x)+x*y(x)=0
komme dementsprechend auf
[mm] k_l=\bruch{-a_{l-2}}{l}
[/mm]
Dies sind doch nun die Koeffizienten, die man bei
[mm] y(x)=\summe_{i=0}^{\infty}a_n*x^n [/mm] einsetze oder?
Aber ich habe ein Problem, man kann doch nur bei i=2 anfangen, aber da komme ich dann bei [mm] a_3=\bruch{-a_1}{3}, [/mm] was ist nun aber mein [mm] a_1???
[/mm]
Dazu habe ich noch eine Aufgabe, hier lautet die DGL:
[mm] y'(x)+\bruch{2x}{1+x^2}y(x)=0
[/mm]
Wenn ich da den gleichen Ansatz wähle komme ich zunächst auf:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}na_n*x^{n-1}+\bruch{2x}{1+x^2}\summe_{i=0}^{\infty}na_n*x^n
[/mm]
Jetzt könnte man ja noch das x in die Summe ziehen, aber dann? Hilft das irgendwas, dass [mm] 1/(1+x^2) [/mm] was mit dem arctan zu tun hat?
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Hallo Peon,
> Hallo,
> ich sitze an einer sehr ähnlichen Aufgabe, meine DGL
> lautet:
> y'(x)+x*y(x)=0
> komme dementsprechend auf
> [mm]k_l=\bruch{-a_{l-2}}{l}[/mm]
Das muss hier doch so lauten:
[mm]a_{l}=\bruch{-a_{l-2}}{l}[/mm]
>
> Dies sind doch nun die Koeffizienten, die man bei
> [mm]y(x)=\summe_{i=0}^{\infty}a_n*x^n[/mm] einsetze oder?
Ja.
> Aber ich habe ein Problem, man kann doch nur bei i=2
> anfangen, aber da komme ich dann bei [mm]a_3=\bruch{-a_1}{3},[/mm]
> was ist nun aber mein [mm]a_1???[/mm]
Setzt Du den Potenzreihenansatz in die DGL ein, so erhältst Du
[mm]\summe_{k=1}^{\infty}k*a_{k}*x^{k-1}+\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}*x^{k+1}=0[/mm]
Umdefinition der Exponenten in der ersten und zweiten Summe liefern:
[mm]\summe_{l=0}^{\infty}\left(l+1\right)*a_{l+1}*x^{l}+\summe_{l=1}^{\infty}a_{l-1}*x^{l}=0[/mm]
[mm] \gdw a_{1}*x^{0}+\summe_{l=1}^{\infty}\left( \ \left(l+1\right)*a_{l+1}+a_{l-1} \ \right)*x^{l}=0[/mm]
Vergleicht man nun die Potenzen links und rechts miteinander, so folgt:
[mm]a_{1}=0[/mm]
[mm]a_{l+1}=-\bruch{1}{l}*a_{l-1}, \ l > 0[/mm]
Somit ist [mm]a_{1}=0[/mm].
>
> Dazu habe ich noch eine Aufgabe, hier lautet die DGL:
> [mm]y'(x)+\bruch{2x}{1+x^2}y(x)=0[/mm]
Multipliziere die DGL mit [mm]1+x^{2}[/mm] durch,
dann kannst Du den Potenzreihenansatz wie gewohnt anwenden.
> Wenn ich da den gleichen Ansatz wähle komme ich zunächst
> auf:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}na_n*x^{n-1}+\bruch{2x}{1+x^2}\summe_{i=0}^{\infty}na_n*x^n[/mm]
> Jetzt könnte man ja noch das x in die Summe ziehen, aber
> dann? Hilft das irgendwas, dass [mm]1/(1+x^2)[/mm] was mit dem
> arctan zu tun hat?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Fr 19.11.2010 | | Autor: | Peon |
Hallo,
habe jetzt verstanden wie es geht, bei der b) hänge ich an folgender Stelle:
[mm] a_1+\summe_{i=0}^{\infty}(n+2)a_{n+2}*x^{n+1}+\summe_{i=1}^{\infty}na_{n}*x^{n+2}+2*\summe_{i=0}^{\infty}(n)a_{n}*x^{n+1}
[/mm]
Das kriege ich nicht weiter zusammengefasst, bzw den Exponent der mittleren Summe nicht auf n+1, so dass die Summe bei 0 beginnt?!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:52 Fr 19.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du willst ja nicht immer Hilfe, sondern dir selbst helfen.
wenn man mit summenzeichen nicht so gut zurechtkommt, schreibt man eben erst mal die erstn paar gleider explizit hin, fast immer sieht man dann wies läuft.
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Fr 19.11.2010 | | Autor: | Peon |
Das habe ich auch schon probiert und das Problem dabei ist, dass ich anschließend eine neue summe bilden könnte, die bei [mm] x^3 [/mm] beginnt aber dann 4 summanden habe die von x und [mm] x^2 [/mm] abhängen, die nicht in der summe stehen, dann kann ich ja kein koeffizientenvergleich machen?!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:08 Fr 19.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wieso kannst du keinen Koeffizientenvergleich machen, wenn ein paar Summanden vor dem Summenzeichen stehen?
Gruss leduart
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hallo ich beschäftige mich grade auch damit...
[mm] y'(x)+\bruch{2x}{1+x^2}y(x)=0
[/mm]
hab hier zuerst mal den tipp angewendet, dies mit [mm] (1+x^2) [/mm] zu multiplizieren
--> [mm] (1+x^2)y'(x) [/mm] +2xy(x)=0
die potenreihe ist ja:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n} [/mm] das wäre ja mein y(x)
und [mm] \summe_{n=1}^{\inftx}n\cdot{}a_{n}\cdot{}x^{n-1} [/mm] das wäre ja wie mein y'(x)
daraus folgt
[mm] (1+x^2) \summe_{n=1}^{\inftx}n\cdot{}a_{n}\cdot{}x^{n-1} [/mm] +2x* [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n} [/mm]
dann kriege ich da raus
[mm] \summe_{n=1}^{\inftx}n\cdot{}a_{n}\cdot{}x^{n-1} +x^2 \summe_{n=1}^{\inftx}n\cdot{}a_{n}\cdot{}x^{n-1} [/mm] +2x* [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n} [/mm]
=> [mm] \summe_{n=1}^{\inftx}n\cdot{}a_{n}\cdot{}x^{n-1} [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{\inftx}n\cdot{}a_{n}\cdot{}x^{n+1} [/mm] + 2* [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n} [/mm]
was hab ich hier falsch gemacht? komme da nämlich nicht auf das ergebnis von Peon...
wäre toll wenn mir das jemand sagen könnte,....
gruß,
kekschen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 Fr 19.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
in der letzten Summe fehlt ein Faktor x
Gruss leduart
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Hallo,
ich sitze auch an der Aufgabe und bin bis hierhin gekommen...
[mm] (1+x^2)*\summe_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}+2x*\summe_{n=0}^{\infty}a_nx^{n} [/mm] = 0
[mm] \to [/mm] Klammern auflösen und Faktoren in die Summe reinziehen
[mm] \gdw \summe_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1} [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{\infty}na_nx^{n+1} [/mm] + [mm] \summe_{n=0}^{\infty}2a_nx^{n+1} [/mm] = 0
[mm] \to [/mm] Indizes durch l ersetzen, sodass nur noch [mm] x^l [/mm] vorkommt
[mm] \gdw \summe_{l=0}^{\infty}(l+1)a_{l+1}x^{l} [/mm] + [mm] \summe_{l=2}^{\infty}(l-1)a_{l-1}x^{l} [/mm] + [mm] \summe_{l=1}^{\infty}2a_{l-1}x^{l} [/mm] = 0
[mm] \to [/mm] einzelne Summanden rausziehen damit die Indizes alle bei 2 starten
[mm] a_1 [/mm] + [mm] 2(a_0+a_2)x [/mm] + [mm] \summe_{l=2}^{\infty}(l+1)a_{l+1}x^{l} [/mm] + [mm] \summe_{l=2}^{\infty}(l-1)a_{l-1}x^{l} [/mm] + [mm] \summe_{l=2}^{\infty}2a_{l-1}x^{l} [/mm] = 0
[mm] \gdw a_1 [/mm] + [mm] 2(a_0+a_2)x [/mm] + [mm] \summe_{l=2}^{\infty}((l+1)a_{l+1}+2(l-1)a_{l-1})x^l [/mm] = 0
wenn ich bis hierhin richtig gerechnet habe, müsste man doch jetzt aus [mm] (l+1)a_{l+1}+2(l-1)a_{l-1} [/mm] die Rekursionsvorschrift herleiten können, oder? Woher bekomme ich jetzt die Startwerte [mm] a_0 [/mm] und [mm] a_1 [/mm] ?
Vielen Dank im Voraus!
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Hallo Gratwanderer,
> Hallo,
>
> ich sitze auch an der Aufgabe und bin bis hierhin
> gekommen...
>
> [mm](1+x^2)*\summe_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}+2x*\summe_{n=0}^{\infty}a_nx^{n}[/mm]
> = 0
>
> [mm]\to[/mm] Klammern auflösen und Faktoren in die Summe
> reinziehen
>
> [mm]\gdw \summe_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}[/mm] +
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}na_nx^{n+1}[/mm] +
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}2a_nx^{n+1}[/mm] = 0
>
> [mm]\to[/mm] Indizes durch l ersetzen, sodass nur noch [mm]x^l[/mm] vorkommt
>
> [mm]\gdw \summe_{l=0}^{\infty}(l+1)a_{l+1}x^{l}[/mm] +
> [mm]\summe_{l=2}^{\infty}(l-1)a_{l-1}x^{l}[/mm] +
> [mm]\summe_{l=1}^{\infty}2a_{l-1}x^{l}[/mm] = 0
>
> [mm]\to[/mm] einzelne Summanden rausziehen damit die Indizes alle
> bei 2 starten
>
> [mm]a_1[/mm] + [mm]2(a_0+a_2)x[/mm] + [mm]\summe_{l=2}^{\infty}(l+1)a_{l+1}x^{l}[/mm]
> + [mm]\summe_{l=2}^{\infty}(l-1)a_{l-1}x^{l}[/mm] +
> [mm]\summe_{l=2}^{\infty}2a_{l-1}x^{l}[/mm] = 0
>
> [mm]\gdw a_1[/mm] + [mm]2(a_0+a_2)x[/mm] +
> [mm]\summe_{l=2}^{\infty}((l+1)a_{l+1}+2(l-1)a_{l-1})x^l[/mm] = 0
Hier muss es doch lauten:
[mm]a_1 + 2(a_0+a_2)x + \summe_{l=2}^{\infty}((l+1)a_{l+1}+\left( \ \blue{2+}l-1 \ \right) a_{l-1})x^l = 0[/mm]
>
> wenn ich bis hierhin richtig gerechnet habe, müsste man
> doch jetzt aus [mm](l+1)a_{l+1}+2(l-1)a_{l-1}[/mm] die
> Rekursionsvorschrift herleiten können, oder? Woher bekomme
> ich jetzt die Startwerte [mm]a_0[/mm] und [mm]a_1[/mm] ?
>
[mm]a_{1}[/mm] bekommst Du direkt durch Koeffizientenvergleich.
[mm]a_{0}[/mm] ist die bei einer DGL 1. Ordnung vorgegebene Anfangsbedingung.
Hier: [mm]y\left(0\right)=a_{0}[/mm]
> Vielen Dank im Voraus!
Gruss
MathePower
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> Hier muss es doch lauten:
>
> [mm]a_1 + 2(a_0+a_2)x + \summe_{l=2}^{\infty}((l+1)a_{l+1}+\left( \ \blue{2+}l-1 \ \right) a_{l-1})x^l = 0[/mm]
>
Oh, stimmt da hab ich mich vertan!
>
> >
> > wenn ich bis hierhin richtig gerechnet habe, müsste man
> > doch jetzt aus [mm](l+1)a_{l+1}+2(l-1)a_{l-1}[/mm] die
> > Rekursionsvorschrift herleiten können, oder? Woher bekomme
> > ich jetzt die Startwerte [mm]a_0[/mm] und [mm]a_1[/mm] ?
> >
>
> [mm]a_{1}[/mm] bekommst Du direkt durch Koeffizientenvergleich.
>
also [mm] a_1 [/mm] = 0 ?
> [mm]a_{0}[/mm] ist die bei einer DGL 1. Ordnung vorgegebene
> Anfangsbedingung.
> Hier: [mm]y\left(0\right)=a_{0}[/mm]
>
und [mm] a_0 [/mm] = 1, da y(0) = 1 ?
Gruß, Gratwanderer
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Hallo Gratwanderer,
> > Hier muss es doch lauten:
> >
> > [mm]a_1 + 2(a_0+a_2)x + \summe_{l=2}^{\infty}((l+1)a_{l+1}+\left( \ \blue{2+}l-1 \ \right) a_{l-1})x^l = 0[/mm]
>
> >
>
> Oh, stimmt da hab ich mich vertan!
>
> >
> > >
> > > wenn ich bis hierhin richtig gerechnet habe, müsste man
> > > doch jetzt aus [mm](l+1)a_{l+1}+2(l-1)a_{l-1}[/mm] die
> > > Rekursionsvorschrift herleiten können, oder? Woher bekomme
> > > ich jetzt die Startwerte [mm]a_0[/mm] und [mm]a_1[/mm] ?
> > >
> >
> > [mm]a_{1}[/mm] bekommst Du direkt durch Koeffizientenvergleich.
> >
>
> also [mm]a_1[/mm] = 0 ?
Ja.
>
> > [mm]a_{0}[/mm] ist die bei einer DGL 1. Ordnung vorgegebene
> > Anfangsbedingung.
> > Hier: [mm]y\left(0\right)=a_{0}[/mm]
> >
>
> und [mm]a_0[/mm] = 1, da y(0) = 1 ?
>
Wenn das die Anfangsbedinung ist, ja.
>
> Gruß, Gratwanderer
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:11 Mo 20.02.2012 | | Autor: | yuppi |
Vergleicht man nun die Potenzen links und rechts miteinander, so folgt:
.
>
> [mm]\gdw a_{1}*x^{0}+\summe_{l=1}^{\infty}\left( \ \left(l+1\right)*a_{l+1}+a_{l-1} \ \right)*x^{l}=0[/mm]
>
> Vergleicht man nun die Potenzen links und rechts
> miteinander, so folgt:
>
> [mm]a_{1}=0[/mm]
>
> [mm]a_{l+1}=-\bruch{1}{l}*a_{l-1}, \ l > 0[/mm]
>
>
> Somit ist [mm]a_{1}=0[/mm].
>
Verstehe das leider nicht...
>
Diesen einen wichtigen Schritt im Koeffizientenvergleich verstehe ich leider nicht. Wenn den jemand nochmal kurz erklären könnte.
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> Vergleicht man nun die Potenzen links und rechts
> miteinander, so folgt:
>
> > [mm]\gdw \underbrace{a_{1}}_{b_0}*x^{0}+\summe_{l=1}^{\infty}(\underbrace{ \ \left(l+1\right)*a_{l+1}+a_{l-1} \ }_{b_l})*x^{l}=0[/mm]
>
> > Vergleicht man nun die Potenzen links und rechts
> > miteinander, so folgt:
> >
> > [mm]a_{1}=0[/mm]
> >
> > [mm]a_{l+1}=-\bruch{1}{l}*a_{l-1}\ \ , \quad l > 0[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Dies sollte heißen: [mm]a_{l+1}=-\bruch{1}{l+1}*a_{l-1}[/mm]
> > Somit ist [mm]a_{1}=0[/mm].
> >
> Verstehe das leider nicht...
> >
>
> Diesen einen wichtigen Schritt im Koeffizientenvergleich
> verstehe ich leider nicht. Wenn den jemand nochmal kurz
> erklären könnte.
Hallo yuppi,
damit zwei Potenzreihen $ [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_{k}x^{k} [/mm] $ und $ [mm] \summe_{k=0}^{\infty} b_{k}x^{k} [/mm] $
übereinstimmen, müssen sie in allen ihren Koeffizienten
übereinstimmen, also [mm] a_k=b_k [/mm] für alle [mm] k\in\IN_0 [/mm] .
Damit eine Potenzreihe gleich null ist, also
[mm] $\summe_{k=0}^{\infty} b_{l}x^{l}\ [/mm] =\ 0$
müssen alle ihre Koeffizienten verschwinden, also
[mm] b_l=0 [/mm] für alle [mm] l\in\IN_0
[/mm]
Insbesondere also im obigen Beispiel [mm] b_0=a_1=0
[/mm]
und $\ [mm] b_l\ [/mm] =\ [mm] \left(l+1\right)*a_{l+1}+a_{l-1}\ [/mm] =\ 0$
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Sa 20.11.2010 | | Autor: | Peon |
Aus Gründen der Übersicht habe ich die Frage auf den ersten Beitrag bezogen...
Ich habe nun als Rekursionsvorschrift für die Koeffizienten raus.
[mm] a_{n+1}=-a_{n-1}
[/mm]
Ist das richtig?
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Hallo Peon,
> Aus Gründen der Übersicht habe ich die Frage auf den
> ersten Beitrag bezogen...
> Ich habe nun als Rekursionsvorschrift für die
> Koeffizienten raus.
> [mm]a_{n+1}=-a_{n-1}[/mm]
> Ist das richtig?
>
Leider nicht.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 Sa 20.11.2010 | | Autor: | Peon |
Ich erhalte doch als Koeffizienten zunächst:
[mm] (n+1)a_{n+1}+(n-1+2)a_{n-1}, [/mm] das soll doch gleich null sein
Also [mm] (n+1)a_{n+1}+(n+1)a_{n-1}=0
[/mm]
Wenn ich das nach [mm] a_{n+1} [/mm] umstelle komme ich auf die o.g. Lösung, wo habe ich denn da den Fehler gemacht?
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Hallo Peon,
> Ich erhalte doch als Koeffizienten zunächst:
> [mm](n+1)a_{n+1}+(n-1+2)a_{n-1},[/mm] das soll doch gleich null
> sein
> Also [mm](n+1)a_{n+1}+(n+1)a_{n-1}=0[/mm]
>
> Wenn ich das nach [mm]a_{n+1}[/mm] umstelle komme ich auf die o.g.
> Lösung, wo habe ich denn da den Fehler gemacht?
Mit dem Bezug auf den allerersten Post hier, dachte ich ach Du beziehst
Dich auf diese Aufgabe, dann stimmt die Rekursionvorschrit nicht.
Wie ich soeben festgestellt habe, beziehst Du Dich auf diese Aufgabe:
[mm]y'(x)+\bruch{2x}{1+x^2}y(x)=0[/mm]
Dann stimmt natürlich Deine erhaltene Rekursionsvorschrift.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:13 Sa 20.11.2010 | | Autor: | Peon |
Danke, mein Fehler
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