Potenzreihenentwicklung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:04 Di 16.12.2014 | | Autor: | Exel84 |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Potenzreihenentwicklung um [mm] z_{0} [/mm] für
[mm] \bruch{1}{2+3x}^{2} [/mm] mit [mm] z_{0} [/mm] = 0 |
Hallo Zusammen,
ich habe jetzt so begonnen, dass ich mir die Ableitung anschaue, also:
[mm] \bruch{d}{dx}(\bruch{1}{2+3x}) [/mm] = [mm] \bruch{-3}{(3x+2)^{2}}
[/mm]
Jetzt muss ich ja den Term in die folgende Form bringen:
[mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} q^{k}
[/mm]
Da liegt aber mein Problem. Ich bekomme es einfach nicht hin, die obige Ableitung in die Allgemeine Form zu bringen.
Kann mir da jemand einen Tipp geben oder bin ich mit meinem Weg auf dem falschem Weg??
Vg
Ich habe diese Frage noch in keinem anderem Forum gestellt!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:23 Di 16.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie die Potenzreihenentwicklung um [mm]z_{0}[/mm] für
>
> [mm]\bruch{1}{2+3x}^{2}[/mm]
Ich vermute, das lautet so:
[mm] \bruch{1}{(2+3x)^2}
[/mm]
> mit [mm]z_{0}[/mm] = 0
> Hallo Zusammen,
>
> ich habe jetzt so begonnen, dass ich mir die Ableitung
> anschaue, also:
>
> [mm]\bruch{d}{dx}(\bruch{1}{2+3x})[/mm] = [mm]\bruch{-3}{(3x+2)^{2}}[/mm]
>
> Jetzt muss ich ja den Term in die folgende Form bringen:
>
> [mm]\bruch{1}{1-q}[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{\infty} q^{k}[/mm]
>
> Da liegt aber mein Problem. Ich bekomme es einfach nicht
> hin, die obige Ableitung in die Allgemeine Form zu
> bringen.
>
> Kann mir da jemand einen Tipp geben oder bin ich mit meinem
> Weg auf dem falschem Weg??
Nicht die Ableitung in die obige Form bringen , sondern die Funktion
[mm] f(x)=\bruch{1}{2+3x}
[/mm]
Also:
[mm] f(x)=\bruch{1}{2(1+\bruch{3}{2}x)}=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{1-\bruch{3}{2}x}
[/mm]
Edit: es soll natürlich solauten:
[mm] =\bruch{1}{2}*\bruch{1}{1-(-\bruch{3}{2}x)}
[/mm]
So nun entwickle Du mal f in eine Reihe der Form
[mm] f(x)=\summe_{n=0}^{a_n}x^n.
[/mm]
Bestimme also die [mm] a_n.
[/mm]
Wie groß ist der Konvergenzradius R dieser Potenzreihe ?
So, dann haben wir
[mm] \bruch{1}{(2+3x)^2}= -\bruch{1}{3}*f'(x)=-\bruch{1}{3}*\summe_{n=1}^{\infty}n*a_nx^{n-1} [/mm] für |x|<R.
FRED
>
> Vg
>
>
>
> Ich habe diese Frage noch in keinem anderem Forum
> gestellt!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 Di 16.12.2014 | | Autor: | Exel84 |
Also:
$ [mm] f(x)=\bruch{1}{2(1+\bruch{3}{2}x)}=\bruch{1}{2}\cdot{}\bruch{1}{1-\bruch{3}{2}x} [/mm] $
aber muss der Nenner nicht + sein, also:
[mm] =\bruch{1}{2}\cdot{}\bruch{1}{1+\bruch{3}{2}x}
[/mm]
oder lieg ich da falsch?
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Hallo Exel84,
> Also:
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> [mm]f(x)=\bruch{1}{2(1+\bruch{3}{2}x)}=\bruch{1}{2}\cdot{}\bruch{1}{1-\bruch{3}{2}x}[/mm]
>
> aber muss der Nenner nicht + sein, also:
>
> [mm]=\bruch{1}{2}\cdot{}\bruch{1}{1+\bruch{3}{2}x}[/mm]
>
> oder lieg ich da falsch?
Nein, da liegst Du vollkommen richtig.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Di 16.12.2014 | | Autor: | Exel84 |
ok gut, vielen Dank.
mein Problem ist jetzt den Nenner negativ zu bekommen damit ich diese Form hab:
[mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] also
[mm] \bruch{1}{2}\cdot{}\bruch{1}{1-\bruch{3}{2}x}
[/mm]
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Hallo Exel84,
> ok gut, vielen Dank.
>
> mein Problem ist jetzt den Nenner negativ zu bekommen damit
> ich diese Form hab:
>
> [mm]\bruch{1}{1-q}[/mm] also
>
> [mm]\bruch{1}{2}\cdot{}\bruch{1}{1-\bruch{3}{2}x}[/mm]
>
Das muss doch so lauten:
[mm]\bruch{1}{2}\cdot{}\bruch{1}{1-\left(-\bruch{3}{2}x}\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Di 16.12.2014 | | Autor: | Exel84 |
Also dann ist die Lösung wie folgt:
[mm] \bruch{1}{(2 + 3x)^2} [/mm] = [mm] \bruch{d}{dx} (-\bruch{1}{3}) [/mm] * [mm] \bruch{1}{3x + 2} [/mm]
führt zu
(- [mm] \bruch{1}{3}) [/mm] * [mm] \bruch{d}{dx} \bruch{1}{2} \bruch{1}{1 + \bruch{3x}{2}}
[/mm]
damit
[mm] \bruch{1}{1 - q}
[/mm]
machen wir
(- [mm] \bruch{1}{3}) [/mm] * [mm] \bruch{d}{dx} \bruch{1}{2} \bruch{1}{1 - (- \bruch{3x}{2})}
[/mm]
wodurch
(- [mm] \bruch{1}{3}) [/mm] * [mm] \bruch{d}{dx} \bruch{1}{2} \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{-3x}{2})^n
[/mm]
Das ist meine bisherige Lösung gewesen. Ich bin mir lediglich unsicher gewesen, ob meine Lösungsschritte auch stimmen..
Um die Ableitung zu vernichten, muss ich dann noch die Summe nicht ab den Wert Null, sondern den Wert Eins starten
(- [mm] \bruch{1}{3}) [/mm] * [mm] \bruch{1}{2} \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] n* [mm] (\bruch{-3x}{2})^{n-1}
[/mm]
Am Ende:
(- [mm] \bruch{1}{3}) [/mm] * [mm] \bruch{1}{2} \summe_{n=0}^{\infty} [/mm] (n+1)* [mm] (\bruch{-3x}{2})^{n}
[/mm]
Ist meine Überlegung in dieser Form korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:58 Mi 17.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Also dann ist die Lösung wie folgt:
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> [mm]\bruch{1}{(2 + 3x)^2}[/mm] = [mm]\bruch{d}{dx} (-\bruch{1}{3})[/mm] *
> [mm]\bruch{1}{3x + 2}[/mm]
>
> führt zu
>
> (- [mm]\bruch{1}{3})[/mm] * [mm]\bruch{d}{dx} \bruch{1}{2} \bruch{1}{1 + \bruch{3x}{2}}[/mm]
>
> damit
>
> [mm]\bruch{1}{1 - q}[/mm]
>
>
> machen wir
>
> (- [mm]\bruch{1}{3})[/mm] * [mm]\bruch{d}{dx} \bruch{1}{2} \bruch{1}{1 - (- \bruch{3x}{2})}[/mm]
>
> wodurch
>
> (- [mm]\bruch{1}{3})[/mm] * [mm]\bruch{d}{dx} \bruch{1}{2} \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{-3x}{2})^n[/mm]
>
>
>
> Das ist meine bisherige Lösung gewesen. Ich bin mir
> lediglich unsicher gewesen, ob meine Lösungsschritte auch
> stimmen..
>
> Um die Ableitung zu vernichten, muss ich dann noch die
> Summe nicht ab den Wert Null, sondern den Wert Eins
> starten
>
> (- [mm]\bruch{1}{3})[/mm] * [mm]\bruch{1}{2} \summe_{n=1}^{\infty}[/mm] n*
> [mm](\bruch{-3x}{2})^{n-1}[/mm]
>
> Am Ende:
>
> (- [mm]\bruch{1}{3})[/mm] * [mm]\bruch{1}{2} \summe_{n=0}^{\infty}[/mm]
> (n+1)* [mm](\bruch{-3x}{2})^{n}[/mm]
>
> Ist meine Überlegung in dieser Form korrekt?
>
Ja
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:22 Mi 17.12.2014 | | Autor: | Exel84 |
vielen vielen Dank!
Jetzt habe ich noch ein Problem. Ich muss den Konvergenzradius bestimmen. Mich verwirrt jetzt aber, dass in der Aufgabenstellung steht:
Bestimmen Sie den jeweiligen Konvergenzradius aus der Lage der Nullstellen des Nenners.
Muss ich da etwas besonderes beachten oder kann ich das einfach mit dem lim berechnen?
Habt ihr da nen Tipp für mich?
Vg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:27 Mi 17.12.2014 | | Autor: | fred97 |
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{-3x}{2})^n [/mm] ist doch eine geometrische Reihe ....
Für welche x konvergiert bzw. divergiert sie ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:03 Mi 17.12.2014 | | Autor: | Exel84 |
konvergiert wenn |x| < 2
divergiert wenn |x| >2
oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:10 Mi 17.12.2014 | | Autor: | fred97 |
>
> konvergiert wenn |x| < 2
>
> divergiert wenn |x| >2
>
> oder?
Nein. Das ist nicht richtig.
Es ist doch $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{-3x}{2})^n [/mm] $= $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}q^n [/mm] $
mit [mm] q=\bruch{-3x}{2}.
[/mm]
Nächster Versuch ..
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 Mi 17.12.2014 | | Autor: | Exel84 |
ist es:
[mm] |\bruch{-3x}{2}| [/mm] < 1, also konvergiert
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:28 Mi 17.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> ist es:
>
> [mm]|\bruch{-3x}{2}|[/mm] < 1, also konvergiert
>
>
[mm]|\bruch{-3x}{2}|[/mm] [mm] \gdw |x|<\bruch{2}{3}
[/mm]
Der Konvergenzradius ist also [mm] =\bruch{2}{3}
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 Mi 17.12.2014 | | Autor: | Exel84 |
ich hätte da nochmal eine Frage.
Müsste man für die Berechnung des Konvergenzradius nicht auch noch die [mm] -\bruch{1}{3} [/mm] * [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und das (n+1) mit berücksichtigen?
[mm] (-\bruch{1}{3}) [/mm] * [mm] \bruch{1}{2} \summe_{n=0}^{\infty} [/mm] (n+1)* [mm] (\bruch{-3x}{2})^{n} [/mm]
vg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:16 Mi 17.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> ich hätte da nochmal eine Frage.
>
> Müsste man für die Berechnung des Konvergenzradius nicht
> auch noch die [mm]-\bruch{1}{3}[/mm] * [mm]\bruch{1}{2}[/mm] und das (n+1)
> mit berücksichtigen?
>
> [mm](-\bruch{1}{3})[/mm] * [mm]\bruch{1}{2} \summe_{n=0}^{\infty}[/mm] (n+1)*
> [mm](\bruch{-3x}{2})^{n}[/mm]
>
> vg
Grundlagen, Grundlagen, Grundlagen.... fehlen !
Ist [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nx^n [/mm] eine Potenzreihe mit dem Konvergenzradius R, so gilt:
1. die Potenzreihe [mm] \alpha*\summe_{n=0}^{\infty}a_nx^n [/mm] hat ebenfalls den Konvergenzradius R, falls [mm] \alpha \ne [/mm] 0.
2. die Potenzreihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1} [/mm] hat ebenfalls den Konvergenzradius R.
FRED, der Grundlagenvermittler !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 Mi 17.12.2014 | | Autor: | Exel84 |
ich weiss. Das Thema liegt mir nicht so.
Wie wäre es denn mit dem Konvergenzradius hiermit:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} j^{k-1} [/mm] * [mm] (x+j)^{k}
[/mm]
da ist doch unser q = (x+j) oder?
damit dann:
| x+j | < 1 und das ist dann | x | < -j
stimmt das denn?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:49 Mi 17.12.2014 | | Autor: | Exel84 |
sorry ich meinte
| x | < 1 - j
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:00 Mi 17.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> ich weiss. Das Thema liegt mir nicht so.
>
> Wie wäre es denn mit dem Konvergenzradius hiermit:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} j^{k-1}[/mm] * [mm](x+j)^{k}[/mm]
>
> da ist doch unser q = (x+j) oder?
Nein. Nur der Fall j [mm] \ne [/mm] 0 ist interessant. Dan haben wir
[mm]\summe_{k=1}^{\infty} j^{k-1}[/mm] * [mm](x+j)^{k}= \bruch{1}{j}\summe_{k=1}^{\infty}( j(x+j))^{k}[/mm]
Also ist q=j(x+j).
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} j^{k-1}[/mm] * [mm](x+j)^{k}[/mm]
>
> damit dann:
>
> | x+j | < 1 und das ist dann | x | < -j
Oje ! Diese Umformung ist ja schon für j=0 völlig falsch
FRED
>
> stimmt das denn?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 Mi 17.12.2014 | | Autor: | Exel84 |
ok.
Stimmt das denn dann, oder lieg ich da wieder komplett falsch??
| q | =| jx-1 | < 1
= | jx | < 2
= | x | < [mm] \bruch{2}{j}
[/mm]
= | x | < -2j
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:48 Mi 17.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> ok.
>
> Stimmt das denn dann, oder lieg ich da wieder komplett
> falsch??
völlig !
>
> | q | =| jx-1 | < 1
Es war q=j(x+j),
also
|q|=|j|*|x+j|
Ist Dir überhaupt klar, was Betragsstriche bedeuten ???
fred
>
> = | jx | < 2
> = | x | < [mm]\bruch{2}{j}[/mm]
>
> = | x | < -2j
>
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Mi 17.12.2014 | | Autor: | Exel84 |
Ja klar weiß ich das.
Dann lautet das Ergebnis:
|q|= |x+j|< [mm] \bruch{1}{|j|}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:33 Mi 17.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ja klar weiß ich das.
Ich habe aber nicht den Eindruck ...
>
> Dann lautet das Ergebnis:
>
> |q|= |x+j|< [mm]\bruch{1}{|j|}[/mm]
Nein. Es war $|q|=|j|*|x+j| $, wie oft noch ?
Dann: |q|<1 [mm] \gdw [/mm] $|x+j|< [mm] \bruch{1}{|j|}$
[/mm]
Die Potenzreihe hat also den Konvergenzradius [mm] =\bruch{1}{|j|}
[/mm]
FRED, der Radiusrechner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:58 Mi 17.12.2014 | | Autor: | Exel84 |
Das hatte ich doch da genauso stehen gehabt wie bei dir die Lösung. Ich hätte da direkt die Endlösung geschrieben.
Aber trotzdem danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 Mi 17.12.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Exel84!
> Das hatte ich doch da genauso stehen gehabt wie bei dir die
> Lösung. Ich hätte da direkt die Endlösung geschrieben.
Nein, das hattest du nicht.
Du hast geschrieben:
[mm] |q|=|x+j|<\frac{1}{|j|}.
[/mm]
Es ist aber
$|q|=|j|*|x+j|$
und somit
[mm] $1>|q|=|j|*|x+j|\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{|j|}>|x+j|$.
[/mm]
Gruß
DieAcht
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