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| Aufgabe | Es sei R ein kommutativer Ring und $R X$ der Potenzreihenring über R. Zeigen Sie: 4+X ist unzerlegbar in [mm] $\mathbb{Z}[[X]]$. [/mm] |
Ich habe keine Ahnung, wie ich das hier zeigen kann. Mir fehlt einfach jeglicher Ansatz. Habt ihr einen Tipp für mich?
Liebe Grüße
Differential
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:56 Mi 06.11.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Es sei R ein kommutativer Ring und [mm]R[[X]][/mm] der
> Potenzreihenring über R. Zeigen Sie: 4+X ist unzerlegbar
> in [mm]\mathbb{Z}[[X]][/mm].
>
> Ich habe keine Ahnung, wie ich das hier zeigen kann. Mir
> fehlt einfach jeglicher Ansatz. Habt ihr einen Tipp für
> mich?
Wenn $4 + X = f(X) [mm] \cdot [/mm] g(X)$ ist, schau dir das mal modulo [mm] $X^2$ [/mm] an. Ist $f(X) [mm] \equiv [/mm] a + b X$ und $g(X) [mm] \equiv [/mm] c + d X$, so hast du $4 + X [mm] \equiv [/mm] a c + (a d + b c) X$.
Du kannst jetzt zeigen, dass entweder $a = [mm] \pm [/mm] 1$ oder $c = [mm] \pm [/mm] 1$ ist. Damit ist entweder $f$ oder $g$ eine Einheit in [mm] $\IZ[[X]]$.
[/mm]
LG Felix
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Hallo felixf,
warum ausgerechnet Modulo [mm] X^2. [/mm] Wie muss ich mir das überhaupt vorstellen?
Ich habe mir das eher so gedacht: Angenommen 4+X=gh. Dann gibt es in [mm] \mathbb{Z}[[X]] [/mm] ja nicht viele Fälle, die eintreten können. Entweder g=4+X und h=1 oder umgekehrt. Ein anderer Fall ist gar nicht möglich, da der Koeffizient von X ja 1 ist. Aus diesem Grund kann ja nur einer der beiden Faktoren vom Grad 1 sein.
Gruß
Differential
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:26 Do 07.11.2013 | | Autor: | felixf |
Moin Differential!
> warum ausgerechnet Modulo [mm]X^2.[/mm]
Damit nur wenige Variablen uebrigbleiben :)
> Wie muss ich mir das überhaupt vorstellen?
Du schaust dir einfach nur die Anfaenge der Potenzreihen an. Die hoeheren Terme ignorierst du. Das ist das was man in der Analysis meist mit $+ [mm] O(X^2)$ [/mm] beschreibt.
> Ich habe mir das eher so gedacht: Angenommen 4+X=gh. Dann
> gibt es in [mm]\mathbb{Z}[[X]][/mm] ja nicht viele Fälle, die
> eintreten können. Entweder g=4+X und h=1 oder umgekehrt.
Oh, doch, es gibt unendlich viele Moeglichkeiten! (Sogar ueberabzaehlbar viele!) Jede Potenzreihe, deren konstanter Term [mm] $\pm [/mm] 1$ ist, ist eine Einheit $e$. Damit kannst du immer $g = (4 + X) [mm] \cdot [/mm] e$ und $h = [mm] e^{-1}$ [/mm] waehlen.
LG Felix
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