Preisdifferenzierung < Ökonomische Funktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:13 Fr 18.05.2012 | | Autor: | Marcel08 |
| Aufgabe | Sie sind bei einem großen Mineralölkonzern für die Benzinpreise in Deutschland und der Schweiz verantwortlich. Ihre Marktforschungsabteilung hat für beide Länder folgende Preis-Absatz-Funktionen ermittelt (Absatzmenge x in Millionen Litern pro Tag; Preis p in EUR):
Deutschland: [mm] x_{D}(p_{D})=3,6-1,8p_{D}
[/mm]
Schweiz: [mm] x_{S}(p_{S})=0,6-0,2p_{S}
[/mm]
Sie produzieren das Benzin für beide Länder in einer Raffinerie. Ihnen entstehen dabei folgende Kosten:
Fixe Kosten: 245.000 EUR
Variable Kosten: [mm] 0,40\bruch{EUR}{Liter}
[/mm]
1.) Gehen Sie zunächst davon aus, dass Sie in beiden Ländern einen einheitlichen Benzinpreis (also [mm] p_{S}=p_{D}) [/mm] setzen. Ermitteln Sie den gewinnmaximalen Preis, die jeweiligen Absatzmengen in beiden Ländern sowie den Gesamtgewinn.
Sie überlegen, ob Sie in beiden Ländern die Preise differenzieren sollten. Setzen Sie den Benzinpreis in der Schweiz höher als in Deutschland, ergibt sich das Problem, dass ein Teil der Schweizer Kunden, die bisher in der Schweiz tankten, ab sofort in Deutschland tanken werden. Sie wissen jedoch:
- bei 10 Cent Preisunterschied wandert [mm] \bruch{2}{70} [/mm] des Absatzes, den Sie bei der Einheitspreisbildung in der Schweiz erzielt haben, nach Deutschland ab
- bei 20 Cent Preisunterschied wandert [mm] \bruch{4}{70} [/mm] des Absatzes, den Sie bei der Einheitspreisbildung in der Schweiz erzielt haben, nach Deutschland ab
- dieser Zusammenhang ist linear
2.) Welchen Gesamtgewinn erzielen Sie, wenn Sie in der Schweiz einen höheren Benzinpreis als in Deutschland setzen? Welche Preise setzen Sie und wie groß sind Ihre Absatzmengen pro Tag? Ist diese Strategie im Vergleich zur Einheitspreissetzung sinnvoll? |
Zu beachten ist, dass es der Aufgabensteller nicht sonderlich ernst nimmt mit den zu verwendenden Einheiten. Um sinnvolle Ergebnisse zu erhalten, müssen entgegen der Aufgabenstellung folgende Einheiten zugrunde gelegt werden:
p in EUR pro Liter: [mm] \bruch{EUR}{L}
[/mm]
fixe Kosten in Euro pro Tag: [mm] \bruch{EUR}{T} [/mm]
Alle anderen Einheiten müssten stimmen. Die verwendeten Einheiten lauten wie folgt:
[mm] M=Million=10^{6}
[/mm]
L=Liter
EUR=Euro
T= Tage
Aufgabe 1 ist soweit kein Problem. Folgende Lösungen hätte ich anzubieten:
Gemeinsame Preis-Absatz-Funktion: [mm] x=x_{D}+x_{S}
[/mm]
[mm] x_{G}=4,2ML-2\bruch{ML^{2}}{EUR}*p_{G}\gdw{p_{G}}=2,1\bruch{EUR}{L}-0,5\bruch{T*EUR}{ML^{2}}*x_{G}
[/mm]
Gewinnmaximaler Preis: G(x)=E(x)-K(x), mit E(x)=p(x)*x
Kurvendiskussion liefert: [mm] p_{Opt}=1,25\bruch{EUR}{L}
[/mm]
Absatzmengen: [mm] x_{Opt}=x(p=p_{Opt})
[/mm]
[mm] x_{D,Opt}=1,35\bruch{ML}{T}
[/mm]
[mm] x_{S,Opt}=0,35\bruch{ML}{T}
[/mm]
Gewinn: [mm] G_{Opt}=G(x_{Opt})
[/mm]
[mm] G_{Opt}=1,2\bruch{M*EUR}{T}
[/mm]
Mein Anliegen bezieht sich auf die Aufgabe 2. Nach Auswertung der Aufgabenstellung erhalte ich folgende Preis-Absatz-Funktionen:
[mm] x_{S}=-0,1\bruch{ML^{2}}{T*EUR}*\Delta{p_{SD}}+0,35\bruch{ML}{T}\gdw{\Delta{p_{SD}}}=3,5\bruch{EUR}{L}-10\bruch{T*EUR}{ML^{2}}*x_{S}, [/mm] mit [mm] \Delta{p_{SD}}=p_{S}-p_{D} [/mm] sowie
[mm] x_{D}=0,1\bruch{ML^{2}}{T*EUR}*\Delta{p_{SD}}+1,35\bruch{ML}{T}\gdw{\Delta{p_{SD}}}=-13,5\bruch{EUR}{L}+10\bruch{T*EUR}{ML^{2}}*x_{D}, [/mm] mit [mm] \Delta{p_{SD}}=p_{S}-p_{D}
[/mm]
Meine resultierende Gewinnfunktion dürfte demnach wie folgt aussehen: [mm] G(x_{S}.x_{D})=E(x_{S},x_{D})-K(x_{S},x_{D}), [/mm] mit [mm] E(x_{S}.x_{D})=x_{S}*\Delta{p_{SD}(x_{S}})+x_{D}*\Delta{p_{SD}(x_{D}})
[/mm]
[mm] G(x_{S},x_{D})=x_{S}\vektor{3,5\bruch{EUR}{L}-10\bruch{T*EUR}{ML^{2}}*x_{S}}+x_{D}\vektor{-13,5\bruch{EUR}{L}+10\bruch{T*EUR}{ML^{2}}*x_{S}}-\vektor{0,245\bruch{M*EUR}{T}+0,4\bruch{EUR}{L}*(x_{S}+x_{D})}
[/mm]
Ich würde nun gerne wissen, ob man die Aufgabe auf diese Weise lösen kann. Stimmt die zuletzt aufgestellte Gewinnfunktion? Wenn ich die Gewinnoptima mittels partieller Ableitungen bilde, erhalte ich für die gewinnoptimalen Absatzmengen
[mm] x_{S}=0,155\bruch{ML}{T} [/mm] sowie
[mm] x_{D}=0,695\bruch{ML}{T}
[/mm]
Der Wert [mm] x_{D} [/mm] ist offenbar kleiner als derjenige, den ich zuvor im Rahmen der Einheitspreisbetrachtugn berechnet habe. Wenn aber der Preis in der Schweiz steigt, dann müsste die Absatzmenge in Deutschland ansteigen. Somit zweifle ich die Richtigkeit der Lösung an. Was habe ich möglicherweise falslch gemacht?
Über hilfreiche Antworten würde ich mich freuen; vielen Dank!
Viele Grüße, Marcel
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Hi Marcel,
> Ich würde nun gerne wissen, ob man die Aufgabe auf diese
> Weise lösen kann. Stimmt die zuletzt aufgestellte
> Gewinnfunktion? Wenn ich die Gewinnoptima mittels
> partieller Ableitungen bilde, erhalte ich für die
> gewinnoptimalen Absatzmengen
>
> [mm]x_{S}=0,155\bruch{ML}{T}[/mm] sowie
>
> [mm]x_{D}=0,695\bruch{ML}{T}[/mm]
>
> Der Wert [mm]x_{D}[/mm] ist offenbar kleiner als derjenige, den ich
> zuvor im Rahmen der Einheitspreisbetrachtugn berechnet
> habe. Wenn aber der Preis in der Schweiz steigt, dann
> müsste die Absatzmenge in Deutschland ansteigen. Somit
> zweifle ich die Richtigkeit der Lösung an. Was habe ich
> möglicherweise falslch gemacht?
Ich haben eben nur einmal kurz einen Quick-Check gemacht, und gesehen das Deine gewinnmaximalen Absatzmengen nicht passen (durch Einsetzen in die Funktionen). Da dein Weg der richtige ist, ist bei der partiellen Ableitung wohl ein Fehler drin. Bitte noch einmal prüfen.
Viele Grüße
Analytiker
![[lehrer]](/images/smileys/lehrer.gif "[lehrer]")
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Vielen Dank für die Antwort. Ich habe das Ganze nochmal dahingehend überarbeitet, als das ich nur noch mit absoluten Größen arbeite und biete nach Auswertung eines Gleichungssystems zunächst die folgenden Preis-Absatz-Funktionen an. Vielleicht sollte man sich erst einmal darüber einigen:
[mm] x_{S}(p_{S})=0,6\bruch{ML}{T}-0,2\bruch{ML^{2}}{T*EUR}*p_{S}\gdw{p_{S}(x_{S})}=3\bruch{EUR}{L}-5\bruch{T*EUR}{ML^{2}}*x_{S}
[/mm]
[mm] x_{D}(p_{D})=1,6\bruch{ML}{T}-0,2\bruch{ML^{2}}{T*EUR}*p_{D}\gdw{p_{D}(x_{D})=8\bruch{EUR}{L}-5\bruch{T*EUR}{ML^{2}}*x_{D}}
[/mm]
Die Gewinnfunktion würde ich nun wie folgt aufstellen:
[mm] G(x_{S},x_{D})=(x_{S}*p_{S}(x_{S})+x_{D}*p_{D}(x_{D}))-(k_{Fix}+k_{Var}*(x_{S}+x_{D})).
[/mm]
Wenn ich nun den ganzen Kram einsetze und entsprechend partiell differenziere, so erhalte ich folgende Werte:
[mm] x_{S}=0,26\bruch{ML}{T} [/mm] sowie [mm] x_{D}=0,76\bruch{ML}{T} [/mm]
und damit
[mm] p_{S}=1,7\bruch{EUR}{L} [/mm] sowie [mm] p_{D}=4,2\bruch{EUR}{L}.
[/mm]
Einsetzen in die Gewinnfunktion liefert schließlich
[mm] G(x_{S},x_{D})=2,981\bruch{M*EUR}{T},
[/mm]
was einer Gewinnsteigerung von
[mm] \Delta{G}=\bruch{G_{neu}-G_{alt}}{G_{alt}}\approx\bruch{148,42}{100} [/mm] entspricht.
Ich kann mir aber nicht wirklich vorstellen, dass ein solcher Gewinnanstieg wirklich stimmen kann. Was stimmt hier möglicherweise nicht?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 So 20.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:04 Mi 23.05.2012 | | Autor: | Marcel08 |
Die Frage hat sich erledigt; vielen Dank!
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