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Hallo,
[mm] \IZ_{6} [/mm] bildet eine Gruppe bezüglich der Addition
(1) abgeschlossen
(2) assoziativ
(3) Es gibt ein Neutralelement (nämlich 0)
(4) Für jedes Element [mm] a\in \IZ_{6} [/mm] gibt es ein inverses Element -a
Betrachtet man nun nur die Einheitengruppe von [mm] \IZ_{6}, [/mm] dann gilt
[mm] \IZ^{*}_{6} [/mm] = {1, 5}
Die Einheitengruppe soll ja nicht zyklisch sein, da die 6 nicht prim ist. ABER
[mm] 5^1 [/mm] = 5 (mod 6)
[mm] 5^2 [/mm] = 1 (mod 6)
Wie man sieht, ist 5 das primitive Element, d.h. Die Einheitengruppe ist daher zyklisch. Wie kann das denn sein? Wo ist der Gedankenfehler?
P.S. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hey,
der Fehler liegt in der Annahme, dass die Einheitengruppe von [mm] $\IZ_n$ [/mm] nur dann zyklisch ist, wenn $n$ eine Primzahl ist.
Es stimmt, die Einheitengruppe von [mm] $\IZ_p$ [/mm] ist zyklisch für jede Primzahl $p$. Aber die andere Richtung stimmt nicht, es gibt noch viele weitere $n$, für die die Einheitengruppe zyklisch ist; mit $n=6$ hast du ein Beispiel dafür gefunden. :)
lg
Schadow
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