Primitives Element < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass in einem Körper k := K[X]/f mit K = Z/2 und f = [mm] X^3 [/mm] + X + 1 jedes Element (außer 0 und 1) primitiv ist. |
Hallo,
an diese Aufgabe bin ich mit folgendem Ansatz rangegangen,
-> Da der grad des Polynomes f 3 und K über Z/2 ist, folgt, dass der Körper aus [mm] 2^3 [/mm] = 8 Elementen besteht.
-> ohne dem "NullModuloPolynom" (k.A., wie man es fachlich bezeichnet :() haben wir dann für jedes a aus dem K* die max. mögliche Ordnung 8 - 1 = 7
-> Da 7 schon eine Primzahl ist, lässt sie sich nicht weiter zerlegen
-> Da es nur eine mögliche Ordnung, die prim ist, für jedes a gibt, ist jedes Element dann primitiv.
Würde mich über ihre Korrektur freuen!
lg Niklas
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:32 Do 20.06.2013 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Genau, du hast hier den Körper [mm] \mathbb{F}_8 [/mm] mit 8 Elementen. Dann gilt [mm] |\mathbb{F}_8^\*|=7, [/mm] weil alle Elemente außer der 0 invertierbar sind (du kannst das Ding ruhig Nullpolynom oder einfach Null nennen).
Deine Ausführung wird ab hier etwas schwer nachzuvollziehen, aber ich glaube, dass du das richtige meinst. 7 ist also prim, genau. Wenn du also ein Polynom [mm] $a\not=0,1$ [/mm] aus deinem Körper nimmst, dann ist die davon erzeugte Untergruppe [mm] $\left< a \right>$ [/mm] eine Untergruppe von [mm] \mathbb{F}_8^\*. [/mm] Dann gilt aber [mm] |\left< a \right>| [/mm] teilt [mm] |\mathbb{F}_8^\*|=7, [/mm] also muss schon [mm] |\left< a \right>|=7 [/mm] sein (=1 geht nicht wegen [mm] $a\not=1 [/mm] $). Also ist $a$ ein Erzeuger von [mm] \mathbb{F}_8^\*.
[/mm]
In etwa so könntest du das machen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:10 Fr 21.06.2013 | | Autor: | felixf |
Moin Teufel,
um das ein wenig zu praezisieren:
> Wenn du also ein Polynom [mm]a\not=0,1[/mm] aus deinem Körper nimmst,
Der Koerper besteht nicht aus Polynomen, sondern Restklassen (von Polynomen). Ich wuerde hier eher von Restklassen oder Elementen sprechen, mit Polynom meint man meist etwas anderes 
LG Felix
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