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| Aufgabe | | 7 ist eine Primitivwurzel modulo 17 |
Hallo.
Ich hab mich mal an folgende Aufgaabe versucht:
Wir wissen [mm] \phi(17)=16
[/mm]
Nach Vorlesung ist die Ordnung ein Teiler von 16, also 1,2,4,8,16
[mm] 7^2\equiv 49\equiv [/mm] 15 m 17
[mm] 7^4 \equiv (7^2)^2 \equiv 15^2 \equiv [/mm] 225 [mm] \equiv [/mm] 4 m 17
[mm] 7^8 \equiv (7^4)^2 \equiv [/mm] 16
[mm] 7^{16} \equiv 16^2 \equiv [/mm] 256 [mm] \equiv [/mm] 1 m 17
Und dann folgt nach Definition, dass 7 eine Primitivwurzel mod. 17 ist.
Ist das so richtig?
Gruß
TheBozz-mismo
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Ja, das stimmt so.
Es ist sogar noch zu kompliziert.
Da die Gruppe $16$ Elemente hat, ist sicher [mm] $7^{16} \equiv [/mm] 1$.
Aus [mm] $7^8 \not\equiv [/mm] 1$ kannst du sofort [mm] $7^a \not \equiv [/mm] 1$ für alle $a [mm] \mid [/mm] 8$ folgern; also für $a = 1,2,4$.
Damit reicht es [mm] $7^8$ [/mm] zu berechnen und du bist fertig.
lg
Schadow
PS: Das geht hier so schön, weil 16 eine Primpotenz ist. Im Allgemeinen muss man ein paar mehr Potenzen berechnen, aber man kann sich immer durch geeignete Überlegungen manche Potenzen sparen.
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Vielen Dank für deine Antwort.
Mit freundlichem Gruß
TheBozz-mismo
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