Primzahl im endlichen Körper < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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> Sei [mm]\IF_{p}[/mm] der endliche Körper mit p Elementen für eine
> Primzahl p.
> Man Bezeichne
> [mm]A=\pmat{ a & b \\
c & d }[/mm] als eine Matrix A [mm]\in M_{2}(\IF_{p}).[/mm]
>
> Aufgaben:
> a) Was ist die Anzahl der Elemente A [mm]\in M_{2}(\IF_{p})[/mm]
> mit ad=bc=0 für p=5?
> b) Was ist die Anzahl der Elemente in [mm]GL_{2}(\IF_{p})[/mm] für
> p=5?
> Hallo an alle,
> ich denke dass diese Aufgabe relativ simple ist, leider
> habe ich noch nie gesehen, wie man die Anzahl der Elemente
> berechnet.
>
> Könnnte mir jemand erstmal ein bisschen erklären, was
Anscheinen hast du etwas länger zeit für die Aufgabe. Daher mache ich es nicht ganz konkret vor.
> genau ich mir unter [mm]M_{2}(\IF_{p})[/mm] vorzustellen habe und
> was der Unterschied zu [mm]GL_{2}(\IF_{p})[/mm] ist? Das scheint ja
> entscheidend für die Berechnungen zu sein.
Um dir nicht den Spaß an der Aufgabe zu nehmen, versuche ich dir die Aufgabe zu erklären.
A [mm]\in M_{2}(\IF_{p}).[/mm] heißt, dass deine Einträge der 2x2 Matrix aus dem Körper [mm]\IF_p[/mm] stammen.
Dazu musst du dir erst einmal Gedanken über den Körper [mm]\IF_p[/mm] machen.
Mal konkreter
a) Es geht um den Körper [mm]\IF_5[/mm]. Erkundige dich erst einmal über den Körper [mm]\IF_5[/mm] und wie man darin rechnet.
Nun hast du ja generell für jedes der a,b,c,d genau 5 Möglichkeiten. Der Körper [mm]\IF_5[/mm] hat ja 5 Elemente und a,b,c,d können all diese annehmen.
Da stellt sich die Frage welche Möglichkeiten alle heraus fallen, wenn ad=0=bc gilt. Du suchst also in der Menge aller 2x2 Matrizen des Körper die Teilmenge der Matrizen mit ad=0=bc.
z.B. ist in [mm]\IF_5[/mm] (je nach Bezeichnung 2+3=0) Bei der Multiplikation gibt es auch Fälle die eine Null als Ergebnis haben.
b) Jetzt hast du wieder alle Matrizen mit Einträgen aus [mm]\IF_5[/mm]. Pro Eintrag 5 Möglichkeiten (macht insgesamt 20 mögliche Matrizen)
Davon muss du jetzt alle aussortieren, die Determinante ([mm]\in \IF_5[/mm]) Null sind. Also sind es alle Matrizen mit der Eigenschaft [mm]ab-cd=0[/mm] für [mm]a,b,c,d \in \IF_5[/mm]
Insgesamt kannst du also nach und nach Matrizen ausschließen.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:37 Do 19.05.2011 | | Autor: | paula_88 |
Vielen Dank für die tollen Erklärungen.
Ich hake einfach mal tiefer nach, da ich immernoch Verständnisschwierigkeiten habe, die jedoch shcon verringert wurden 
>
> > Sei [mm]\IF_{p}[/mm] der endliche Körper mit p Elementen für eine
> > Primzahl p.
> > Man Bezeichne
> > [mm]A=\pmat{ a & b \\
c & d }[/mm] als eine Matrix A [mm]\in M_{2}(\IF_{p}).[/mm]
>
> >
> > Aufgaben:
> > a) Was ist die Anzahl der Elemente A [mm]\in M_{2}(\IF_{p})[/mm]
> > mit ad=bc=0 für p=5?
> > b) Was ist die Anzahl der Elemente in [mm]GL_{2}(\IF_{p})[/mm]
> für
> > p=5?
> > Hallo an alle,
> > ich denke dass diese Aufgabe relativ simple ist, leider
> > habe ich noch nie gesehen, wie man die Anzahl der Elemente
> > berechnet.
> >
> > Könnnte mir jemand erstmal ein bisschen erklären, was
> Anscheinen hast du etwas länger zeit für die Aufgabe.
> Daher mache ich es nicht ganz konkret vor.
Ich habe Zeit und will es daher komplett verstehen 
> > genau ich mir unter [mm]M_{2}(\IF_{p})[/mm] vorzustellen habe und
> > was der Unterschied zu [mm]GL_{2}(\IF_{p})[/mm] ist? Das scheint ja
> > entscheidend für die Berechnungen zu sein.
> Um dir nicht den Spaß an der Aufgabe zu nehmen, versuche
> ich dir die Aufgabe zu erklären.
> A [mm]\in M_{2}(\IF_{p}).[/mm] heißt, dass deine Einträge der
> 2x2 Matrix aus dem Körper [mm]\IF_p[/mm] stammen.
> Dazu musst du dir erst einmal Gedanken über den Körper
> [mm]\IF_p[/mm] machen.
> Mal konkreter
> a) Es geht um den Körper [mm]\IF_5[/mm]. Erkundige dich erst
> einmal über den Körper [mm]\IF_5[/mm] und wie man darin rechnet.
> Nun hast du ja generell für jedes der a,b,c,d genau 5
> Möglichkeiten. Der Körper [mm]\IF_5[/mm] hat ja 5 Elemente und
> a,b,c,d können all diese annehmen.
Sind diese 5 Elemente genau definiert? Sprich sind es bestimmte Zahlen?
Weil ich mir ja dann anhand dieser Zahlen mal alle möglichen 2x2 Matritzen des Körpers aufschreiben könnte.
> Da stellt sich die Frage welche Möglichkeiten alle heraus
> fallen, wenn ad=0=bc gilt. Du suchst also in der Menge
> aller 2x2 Matrizen des Körper die Teilmenge der Matrizen
> mit ad=0=bc.
Jetzt mal eine dumme Frage:
ad=0=bc sagt das aus, dass a*d=0 sein muss? Weil dann kann ich ja davon ausgehen, dass entweder a oder d, genauso wie b oder c = 0 sein muss, was mir zu simple erscheint. Bitte kläre mich auf
> z.B. ist in [mm]\IF_5[/mm] (je nach Bezeichnung 2+3=0) Bei der
> Multiplikation gibt es auch Fälle die eine Null als
> Ergebnis haben.
Sorry, das verstehe ich nicht, woher wieß ich, dass 2+3=0 in diesem Körper?
>
> b) Jetzt hast du wieder alle Matrizen mit Einträgen aus
> [mm]\IF_5[/mm]. Pro Eintrag 5 Möglichkeiten (macht insgesamt 20
> mögliche Matrizen)
Sind das die gleichen möglichen Matrizen wie in Aufgabe a)?
Wenn nein, wie komme ich auf die genauen 20 möglichen Matrizen? (Möchte sie mir einmal aufschreiben, um es besser zu verstehen.)
> Davon muss du jetzt alle aussortieren, die Determinante
> ([mm]\in \IF_5[/mm]) Null sind. Also sind es alle Matrizen mit der
> Eigenschaft [mm]ab-cd=0[/mm] für [mm]a,b,c,d \in \IF_5[/mm]
Verstanden, danke!
>
> Insgesamt kannst du also nach und nach Matrizen
> ausschließen.
>
Wie du siehst sind bei mir noch viele Fragen offen, tut mir leid, ich hoffe du bleibst geduldig
Vielen Dank, Paula.
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Ich bin einfach mal so frech und antworte statt wieschoo^^
Da du ja meintest du hast Zeit und willst es wirklich verstehen laber ich etwas mehr als vielleicht unbedingt nötig.
> Sind diese 5 Elemente genau definiert? Sprich sind es
> bestimmte Zahlen?
> Weil ich mir ja dann anhand dieser Zahlen mal alle
> möglichen 2x2 Matritzen des Körpers aufschreiben
> könnte.
Um diese Frage zu beantworten musst du wissen, was genau mit [mm] $\IF_{p}$ [/mm] mit p = 5 gemeint ist.
Es ist zu aller erst mal ein Körper mit 5 Elementen.
Was ein Körper ist weißt du ja sicher wenn du so eine Aufgabenstellung hast.
Man kann jetzt nicht sagen, dass diese Elemente bestimmte Zahlen sind, denn die Namen der Elemente kann man theoretisch ganz beliebig wählen.
Aber in [mm] $\IF_{5}$ [/mm] (und auch in den Körpern für alle anderen Primzahlen) haben die Elemente ganz bestimmte Eigenschaften.
Um diese zu verstehen erzähle ich dir erstmal kurz was von Restklassenringen. (http://de.wikipedia.org/wiki/Restklassenring).
Keine Sorge, musst nicht den ganzen Wiki-Artikel lesen, ich erklär das wichtigste hier kurz.
Du hast sicher schonmal von einer Rechenoperation namens "modulo" oder "mod" gehört.
Diese gibt einfach den Rest bei einer Ganzzahldivision an.
Also zB $20 mod 6 = 2$, da wenn du 20 durch 6 teilst ein Rest von 2 übrig bleibt.
Nun kann der Rest bei einer Division durch 6 nur zwischen 0 und 5 liegen.
Man teilt [mm] $\IZ [/mm] $ also wie folgt auf:
0 := [mm] $\{$z $\in \IZ$ | z mod 6 = 0$\}$
[/mm]
1 := [mm] $\{$z $\in \IZ$ | z mod 6 = 1$\}$
[/mm]
...
manchmal schreibt man hierbei auch [0],[1],... oder [mm] $\overline{0}$, $\overline{1}$,... [/mm] um zu verdeutlichen, dass hiermit nicht die "normalen" Zahlen sondern eine Menge von Zahlen gemeint ist.
Falls du Fachbegriffe magst: Wir haben hier eine Partition von [mm] $\IZ$ [/mm] in Äquivalenzklassen bezüglich der Operation "modulo 6". (wenn du diese Begriffe noch nicht kennst; auch kein Problem ;) )
[mm] $\IZ_{n}$ [/mm] ist eine Schreibweise um zu sagen, dass wir hier nach "modulo n" zerlegen.
[mm] $\IZ_{n}$ [/mm] ist für alle natürlichen Zahlen n ein kommutativer Ring (kannst du so glauben oder nachrechnen, wie du willst ;) )
In diesem kann man wie in [mm] $\IZ$ [/mm] rechnen, man muss nur immer "mod n" hinter jede Rechenoperation machen.
Jetzt betrachten wir mal [mm] $\IZ_{5} [/mm] := [mm] \{ 0,1,2,3,4 \}$.
[/mm]
Hier wäre dann zum Beispiel 4*4 = 16 = 1 (da 16 mod 5 = 1).
Du rechnest also ganz normal und machst dann ganz am Ende auf dein Ergebnis ein mod 5, um wieder in der Menge 0 bis 4 zu landen.
Du darfst plus, minus und mal rechnen.
Teilen gibt einige Probleme, also lass es besser.^^
Nun haben diese Restklassenringe [mm] $\IZ_{n}$ [/mm] die tolle Eigenschaft, dass es Körper sind wenn n eine Primzahl ist.
Also zB [mm] $\IZ_{2}$, $\IZ_{3}$, $\IZ_{5}$ [/mm] sind Körper.
Da schreibt man dann statt [mm] $\IZ$ [/mm] oftmals [mm] $\IF$.
[/mm]
Also [mm] $\IF_{p}$ [/mm] ist der Körper , in dem die Elemente eine Zerlegung der ganzen Zahlen nach "modulo p" sind.
Das führt uns dann zurück zur Frage was die Elemente von [mm] $\IF_{5}$ [/mm] sind.
Es sind nämlich die Restklassen 0,1,2,3,4.
Natürlich kann jemand, wenn er eine gemeine Aufgabe stellen will oder einfach keine Ahnung hat diese Elemente anders nennen, aber normalerweise heißen sie so und ich würde dir dringend raten sie auch so zu nennen.
Wenn du bedenkst dass du nicht teilen darfst und dass du immer schön brav "mod 5" hinter jede Gleichung setzt weißt du jetzt also wie du mit den Elementen deines Körpers rechnen kannst.
> Jetzt mal eine dumme Frage:
> ad=0=bc sagt das aus, dass a*d=0 sein muss? Weil dann kann
> ich ja davon ausgehen, dass entweder a oder d, genauso wie
> b oder c = 0 sein muss, was mir zu simple erscheint. Bitte
> kläre mich auf
Das stimmt, da du hier in einem Körper bist. (in einem Ring kann auch a*b = 0 wenn sowohl $a [mm] \not [/mm] = 0$ als auch $b [mm] \not [/mm] = 0$)
> > z.B. ist in [mm]\IF_5[/mm] (je nach Bezeichnung 2+3=0) Bei der
> > Multiplikation gibt es auch Fälle die eine Null als
> > Ergebnis haben.
> Sorry, das verstehe ich nicht, woher wieß ich, dass 2+3=0
> in diesem Körper?
Siehe oben, 2+3 = 5 = 0 mod 5
> Sind das die gleichen möglichen Matrizen wie in Aufgabe
> a)?
Ja, sind es
So, ich hoffe ich habe nicht zu viel geschrieben und es ist verständlich...
Alles was ich hier behauptet hab kann man natürlich auch beweisen, etc., aber das gibt gut und gern mal Stoff für ein paar Wochen Mathe-Vorlesung und wäre deshalb glaube ich doch ein wenig übertrieben.^^
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