Primzahlen in Z[i] reduzibel < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:17 So 10.09.2006 | | Autor: | aaton |
Hallo!
Ich möchte gern beweisen, dass primzahlen die in Z[i] reduzibel sind, als summe zweier quadrate darstellbar sind.
So weit bin ich gekommen:
P sei die in Z[i] reduzible Primzahl:
p = (a + bi) (c + di)
p = (ac - bd) + (ad+ bc)i
da p [mm] \in \IZ [/mm] muss ad+bc = 0 sein
also [mm] \bruch{c}{a} [/mm] = - [mm] \bruch{d}{b} [/mm] = m ( sei mal m genannt)
Einsetzten => p = m (a + bi)(a - bi)
p = m ( [mm] a^{2} [/mm] + [mm] b^{2} [/mm] )
Wie beweise ich jetzt aber das m = 1 ist. Oder gibt es vielleicht einen ganz anderen und viel einfacheren ansatz?
danke
alex
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:14 Mo 11.09.2006 | | Autor: | DirkG |
Denk nochmal dran, dass [mm]p[/mm] eine Primzahl ist!
Sollte [mm]m>1[/mm] sein, dann folgt aus dieser Primzahleigenschaft unweigerlich [mm]a^2+b^2=1[/mm] und damit [mm]a+bi\in \{1,-1,i,-i\}[/mm], alles Einheiten in [mm]\mathbb{Z}[i][/mm].
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:13 Di 12.09.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Denk nochmal dran, dass [mm]p[/mm] eine Primzahl ist!
>
> Sollte [mm]m>1[/mm] sein, dann folgt aus dieser Primzahleigenschaft
> unweigerlich [mm]a^2+b^2=1[/mm] und damit [mm]a+bi\in \{1,-1,i,-i\}[/mm],
> alles Einheiten in [mm]\mathbb{Z}[i][/mm].
Muesste er dafuer nicht erst zeigen, dass $m$ eine ganze Zahl ist?
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:04 Di 12.09.2006 | | Autor: | DirkG |
Ja Ok, da war ich wohl mit meinen Gedanken schon etwas voraus. 
Sei [mm]g=\operatorname{ggT}(a,b)[/mm]. Mit [mm]a=ga',b=gb'[/mm] sind dann [mm]a',b'[/mm] teilerfremd, aus [mm]ga'd=ad=-bc=-gb'c[/mm] d.h. [mm]a'd=-b'c[/mm] folgt somit [mm]a'|c[/mm], mit [mm]c=ma'[/mm] und diesmal wirklich ganzzahligem [mm]m[/mm] ergibt sich auch [mm]d=-mb'[/mm], insgesamt dann
$$p = gm(a'^2+b'^2)$$
Und dann weiter so wie bei mir oben, nur diesmal mit [mm]gm>1[/mm] statt [mm]m>1[/mm] ...
|
|
|
|
