Problem beim Lösen der DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie die nach der Länge parametrisierte Kurven [mm] \alpha(s), [/mm] deren Krümmungsfunktion [mm] \gamma(s) [/mm] wie folgt vorgegeben ist:
a) [mm] \gamma(s)=\bruch{1}{s+1}, s\in [0,\infty)
[/mm]
b) [mm] \gamma(s)=as, s\in [0,\infty)
[/mm]
Nehmen Sie dazu die beiden Bedingungen [mm] \alpha(0)=0 [/mm] sowie [mm] \alpha'(0)=(1,0) [/mm] an. |
Hallo ihr lieben Mathe-Helferlein,
ich habe bei obiger Aufgabe ein Problem. Unsere Dozentin meinte, wir sollten das DGL-System:
t'(s)= [mm] \gamma(s)*n(s)
[/mm]
[mm] n'(s)=-\gamma(s)*t(s) [/mm] lösen, wobei n(s) der Normalenvektor ist und anschließend wäre die Kurve dann gegeben durch
[mm] \alpha(s) [/mm] = [mm] \alpha_{0} [/mm] + [mm] \integral_{s_{0}}^{s}{t(\partial)d\partial}.
[/mm]
Nun hab ich allerdings das Problem, dass ich das Differentialgleichungssystem nicht lösen kann. Ich hab mir dazu folgendes überlegt (ich zeige es jetzt mal exemplarisch an der a):
Da n senkrecht auf t steht (t ist der Tangentenvektor), gilt ja: n(s) = [mm] (-t_{2}(s), t_{1}(s)).
[/mm]
Dann wird das DGL-System zu:
[mm] (t_{1},t_{2})= \bruch{1}{s+1} [/mm] * [mm] (-t_{2}, t_{1})
[/mm]
Das ist aber das gleiche wie:
t= [mm] \pmat{ 0 & -\bruch{1}{s+1} \\ \bruch{1}{s+1} & 0 }*t
[/mm]
und das kann ich einfach nicht lösen, weil ich das nie im Studium gemacht habe...Bin ich vollends auf dem falschen Weg oder kann mir jemand erklären, wie man ein solches DGL-System löst? Die EW kann ich hier ja nicht bestimmen, das hab ich auch schon probiert...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:06 Do 06.06.2013 | | Autor: | Calli |
> Hallo ihr lieben Mathe-Helferlein,
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> ich habe bei obiger Aufgabe ein Problem. Unsere Dozentin
> meinte, wir sollten das DGL-System:
> t'(s)= [mm]\gamma(s)*n(s)[/mm]
> [mm]n'(s)=-\gamma(s)*t(s)[/mm]
Hey, mit obigem Ansatz komme ich auf folgende DGL:
[mm] $t''(s)+\frac{t'(s)}{s+1}+\frac{t(s)}{(s+1)^2}=0$
[/mm]
Ciao
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Danke schonmal hierfür. Wie löse ich eine solche DGL? Wir haben nur DGLs erster Ordnung gemacht...
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Hallo MissPocahontas,
> Danke schonmal hierfür. Wie löse ich eine solche DGL? Wir
> haben nur DGLs erster Ordnung gemacht...
Mit dem Ansatz:
[mm]t\left(s\right)=\left(s+1\right)^{k}[/mm]
,wobei der Exponent k zu bestimmen ist.
Diesen Ansatz setzt Du in die DGL meines Vorredners ein.
Gruss
MathePower
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Aber t hat doch zwei Komponenten, muss ich das hier nicht berücksichtigen?
Und wenn ich diesen Ansatz in obige dgl einsetze, kriege ich: [mm] (s+1)^k-2*(k^2+k+1)=0.Aber [/mm] das hilft mir irgendwie nicht weiter. ..Sorry, aber ich hab echt super wenige dgls bisher gelöst. Kannst du mir noch nen Tipp geben?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:38 Fr 07.06.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast falsch eiingesetzt, s sollte, nach Division nicht mehr vorkommen. Wieso hat t 2Komponenten?
Grus s. Leduart
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Weil t der Tangehtenvektor der Kurve im R2 ist.Aber warum muss man das hier nicht berücksichtigen? Danke:)
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Ich verstehe leider auch nicht, wo ich falsch eingesetzt haben soll...
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Hallo MissPocahontas,
> Weil t der Tangehtenvektor der Kurve im R2 ist.Aber warum
> muss man das hier nicht berücksichtigen? Danke:)
Nun,weil für jede Komponente des Tangentenvektors t
dieselbe DGL gilt.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:23 Fr 07.06.2013 | | Autor: | Calli |
Hallo !
Der Ansatz von 'MathePower' mit
[mm] $t=(s+1)^k$
[/mm]
erscheint mir nicht zielführend zu sein. Denn:
[mm] $t'=k(s+1)^{k-1}$ [/mm] und [mm] $t''=k(k-1)(s+1)^{k-2}$
[/mm]
führt zu - eingesetzt in die DGL - :
[mm] $k^2=-1$
[/mm]
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Dagegen löst der Ansatz [mm] $t=e^{\mathrm i \ln(s+1)}$ [/mm] die DGL.
Ciao
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:56 Fr 07.06.2013 | | Autor: | MathePower |
Hallo Calli,
> Hallo !
> Der Ansatz von 'MathePower' mit
> [mm]t=(s+1)^k[/mm]
> erscheint mir nicht zielführend zu sein. Denn:
> [mm]t'=k(s+1)^{k-1}[/mm] und [mm]t''=k(k-1)(s+1)^{k-2}[/mm]
> führt zu - eingesetzt in die DGL - :
> [mm]k^2=-1[/mm]
>
>
> Dagegen löst der Ansatz [mm]t=e^{\mathrm i \ln(s+1)}[/mm] die DGL.
>
Ich weiss nicht warum mein Ansatz nicht zielführend sein soll.
Dein Ansatz löst zwar die DGL,ist aber nur eine Lösung., dagegen
liefert mein Ansatz zwei Lösungen für k, damit auch zwei Lösungen für die DGL.
Und eine DGL zweiter Ordnung hat nun mal zwei Lösungen.
[mm]\left(s+1\right)^{i}=e^{i*\ln\left(s+1\right)}[/mm]
[mm]\left(s+1\right)^{-i}=e^{-i*\ln\left(s+1\right)}[/mm]
> Ciao
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:43 Fr 07.06.2013 | | Autor: | Calli |
Jo,
es ist erforderlich zu erkennen, dass
[mm]\left(s+1\right)^{\mathrm i}=\left(\mathrm e^{\ln\left(s+1\right)}\right)^{\mathrm i}=\mathrm e^{\mathrm i\cdot\ln\left(s+1\right)}[/mm]
ist.
![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
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Danke ;) aber mal ne ganz doofe Frage: Wie komme ich auf diesen Ansatz, wenn ich gar keine Ahnung habe? Irgendwie scheint mir der Ansatz noch total vom Himmel zu fallen ;)
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Also die a) hab ich jetzt verstanden ;). Wenn ich nun einen Ansatz für die b) suche, wie ist da vorzugehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:00 Sa 08.06.2013 | | Autor: | Calli |
Hey, die DGL
[mm] $t''(s)+\frac{t'(s)}{s+1}+\frac{t(s)}{(s+1)^2}= (s+1)^2\cdot t''(s)+(s+1)\cdot [/mm] t'(s) +t(s)=0 $
ist eine homogene EULERsche DGL (![[]](/images/popup.gif) EULERsche DGL).
Diese DGL ist erst mal zu lösen und dann zu integrieren, um auf [mm] $\alpha(s)$ [/mm] zu kommen.
Ciao
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Ah ne...jetzt ist dann aber die Anfangsbedingung nicht mehr erfüllt. Wenn t= [mm] (s+1)^i [/mm] oder (s+1)^-i gilt, dann stimmt doch nicht, dass Alpha'(0)=t(0)=(1,0) ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:42 Sa 08.06.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Dgl hat doch in der allg.Lösung 2 Konstanten, die du anpassen kannst undicht einfach 1 setzen darfst.
Gruß leduart
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Achsoo...ich habs kapiert, danke. Bei der b) komm ich aber nicht auf ne Eulersche DGL ;( oder doch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:34 So 09.06.2013 | | Autor: | Calli |
> Achsoo...ich habs kapiert, danke. Bei der b) komm ich aber
> nicht auf ne Eulersche DGL ;( oder doch?
Nix oder !
Im Fall b) ergibt sich keine EULERsche DGL.
Welche DGL ergibt sich denn ?
Ciao
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Ich erhalte die DGL:
t'' - [mm] \bruch{t'}{s}+ a^2*s^2*t=0,
[/mm]
aber ich erkenne darin nichts wieder, was ich schon mal gesehen habe. Wir haben halt eigentlich nur DGLs 1. Ordnung gemacht; bei den DGLs zweiter Ordnung nur die mit konstanten Koeffizienten und spezielle wie die Eulersche DGL...
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
