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Forum "Schul-Analysis" - Produkt- und Kettenregel
Produkt- und Kettenregel < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Produkt- und Kettenregel: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:43 Mi 14.09.2005
Autor: mareike-f

ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.

Hi,
es geht wieder einmal um die Produkt und Kettenregel

1.
[mm]f(x)=(1-x) \wurzel{3x}[/mm]

[mm]u=1-x[/mm]
[mm]u'=1[/mm]

[mm]v=\wurzel{3x}[/mm]
[mm]v'= \bruch{3}{ 2\wurzel{x}}[/mm]

[mm]f'(x)=(1* \wurzel{3})+((1-x)* \bruch{3}{ 2\wurzel{x}}[/mm]
So hier war ich mir nun nicht mehr so sicher mit dem zusammenfassen
[mm]f'(x)=\wurzel{3x}\bruch{3}{ 2\wurzel{x}}-\bruch{3x}{ 2\wurzel{x}}[/mm]


2. [mm]f(x)=x\wurzel{1+x^2}[/mm]
[mm]u=x[/mm]
[mm]u'=1[/mm]

[mm]v=\wurzel{1+x^2}[/mm]
[mm]u=\wurzel{u}[/mm] bzw. [mm]u^0.5[/mm]
[mm]u'= \bruch{1}{2}*u^{-0.5}[/mm]
[mm]f=1+x^2[/mm]
[mm]f'=2x[/mm]

[mm]v'=2x*\bruch{1}{2}u^{-0.5}[/mm]
[mm]v'=2x*\bruch{1}{ \bruch{1}{2} \wurzel{1+x^2}}[/mm]
[mm]v'=\bruch{2x}{ \bruch{1}{2} \wurzel{1+x^2}}[/mm]

[mm]f'(x)=(1* \wurzel{1+x^2})+(x*\bruch{2x}{ \bruch{1}{2} \wurzel{1+x^2}})[/mm]
[mm]f'(x)=\wurzel{1+x^2}*(x*\bruch{2x}{ \bruch{1}{2}}) [/mm]
[mm]f'(x)=\wurzel{1+x^2}*(\bruch{2x^2}{ \bruch{1}{2}}) [/mm]

3
[mm]f(x)=sin(2x)*cos(2x)[/mm]
[mm]u=sin(2x)[/mm]
[mm]u'=2[/mm]
[mm]v=cos(2x)[/mm]
[mm]v'=2[/mm]
oder ist das
[mm]u'=cos(2x)[/mm]
[mm]v'=-sin(2x)[/mm]

Grüße Mareike
        
Bezug
Produkt- und Kettenregel: zu Aufgabe 3
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:53 Mi 14.09.2005
Autor: Loddar

Hallo Mareike!


Fangen wir mal hinten an ;-) ...


>  [mm]f(x)=sin(2x)*cos(2x)[/mm]
>  [mm]u=sin(2x)[/mm]
>  [mm]u'=2[/mm]
>  [mm]v=cos(2x)[/mm]
>  [mm]v'=2[/mm]
>  oder ist das
>  [mm]u'=cos(2x)[/mm]
>  [mm]v'=-sin(2x)[/mm]

[notok] Das stimmt so leider nicht!

Sehen wir uns mal [mm] $\sin(2x)$ [/mm] an.

Hierbei handelt es sich ja um eine verkettete Funktion, die wir mit der MBKettenregel ableiten müssen.

Zunächst betrachten wir also: [mm] $\sin(...)$ [/mm] .
Daraus wird dann abgeleitet: [mm] $\cos(...)$ [/mm]  ÄUSSERE ABLEITUNG

Nun die INNERE ABLEITUNG:
Nun leiten wir ab, was in der Klammer steht: $2x_$ .
Daraus wird dann: $2_$ .


Packen wir das nun beides zusammen gemäß MBKettenregel mit "äußere Ableitung mal innere Ableitung", so erhalten wir:

[mm] $\left[ \ \sin(2x) \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] \cos(...) [/mm] * 2 \ = \ [mm] \sin(2x) [/mm] * 2 \ = \ [mm] 2*\sin(2x)$ [/mm]


Schaffst Du nun den Rest? Poste doch mal Dein Ergebnis ...

Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Produkt- und Kettenregel: zweiter Versuch
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:15 Mi 14.09.2005
Autor: mareike-f

Hi danke,
so mal sehen ob das jetzt richtiger ist

[mm]f(x)=sin(2x)*cos(2x)[/mm]
[mm]u=sin(2x)[/mm]
äußere
[mm]u=sin(u)[/mm]
[mm]u'=cos(u)[/mm]
innere
[mm]f=2x[/mm]
[mm]f'=2[/mm]
innere mal äußere gleich Abl von u
[mm]u'=2cos(2x)[/mm]

und das gleiche nochmal
[mm]v=cos[/mm]
[mm]u=cos(u)[/mm]
[mm]u'=-sin(u)[/mm]
[mm]f=2x[/mm]
[mm]f'=2[/mm]
[mm]v'=-2sin(2x)[/mm]


[mm]u'*v+u*v'[/mm]
[mm]f'(x)=2cos(2x)*cos(2x)-2sin(2x)*sin(2x)[/mm]
[mm]f'(x)=2(cos(2x))^2-2*(sin(2x))^2[/mm]

Grüße Mareike
Bezug
                        
Bezug
Produkt- und Kettenregel: Stimmt!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:53 Mi 14.09.2005
Autor: Loddar

Hallo Mareike!



Mal abgesehen von der teilweisen etwas unglücklichen Bezeichnung (Du verwendest teilweise dieselben Bezeichnungen doppelt), hast Du aber richtig gerechnet, und das Ergebnis stimmt!

[daumenhoch] !!


Gruß
Loddar

Bezug
        
Bezug
Produkt- und Kettenregel: zu Aufgabe 1
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:23 Mi 14.09.2005
Autor: Loddar

Hallo Mareike!


> [mm]f(x)=(1-x) \wurzel{3x}[/mm]
>  
> [mm]u=1-x[/mm]
> [mm]u'=1[/mm]

[notok] Sieh' dir mal das Vorzeichen an!



> [mm]v=\wurzel{3x}[/mm]
> [mm]v'= \bruch{3}{ 2\wurzel{x}}[/mm]

[notok] Wahrscheinlich nur Tippfehler:

Unter die Wurzel gehört natürlich noch eine $3_$ : [mm]v'= \bruch{3}{ 2\wurzel{\red{3}x}}[/mm]


> [mm]f'(x)=(1* \wurzel{3})+((1-x)* \bruch{3}{ 2\wurzel{x}}[/mm]

[notok] [mm]f'(x) \ = \ (\red{-}1)* \wurzel{3\red{x}} + (1-x)*\bruch{3}{2\wurzel{\red{3}x}}[/mm]


> So, hier war ich mir nun nicht mehr so sicher mit dem
> zusammenfassen
> [mm]f'(x)=\wurzel{3x}\bruch{3}{ 2\wurzel{x}}-\bruch{3x}{ 2\wurzel{x}}[/mm]

Uih! Hier beim Zusammenfassen ist einiges durcheinander geraten ...

Am besten, Du schreibst alles zunächst mal auf einen Bruchstrich, dafür erweitern wir den ersten Term mit [mm] $2\wurzel{3x}$ [/mm] :

[mm]f'(x) \ = \ \bruch{(-1)*\wurzel{3x}*2*\wurzel{3x}}{2*\wurzel{3x}} + \bruch{3*(1-x)}{2\wurzel{3x}} \ = \ \bruch{(-1)*(3x)*2}{2*\wurzel{3x}} + \bruch{3*(1-x)}{2\wurzel{3x}}[/mm]

[mm]f'(x) \ = \ \bruch{-6x + 3-3x}{2\wurzel{3x}}[/mm]


Schaffst Du den Rest nun alleine? Und hast Du die anderen Schritte verstanden?


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Produkt- und Kettenregel: Nr. 2
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:45 Mi 14.09.2005
Autor: mareike-f

Hi,

Danke, ich denk ich habs jetzt verstanden.
Allerdings mit dem weitermachen hab ich es nur bis hier:

[mm]f'(x)=\bruch{-9x+3}{2\wurzel{3x}}[/mm]
Aber weiter würde es ja mit der Quotientenregel gehen und die hatten wir noch niocht bzw. sollen wir nach der Aufgabenstellung nicht benutzen.

Gruß
Bezug
                        
Bezug
Produkt- und Kettenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:43 Mi 14.09.2005
Autor: Mathe_Alex

[mm] a/b=a*b^{-1} [/mm]

als Tipp: so macht man aus Brüchen Produkte.
Bezug
        
Bezug
Produkt- und Kettenregel: zu Aufgabe 2
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:49 Mi 14.09.2005
Autor: Loddar

Hallo Mareike!


Nun die zweite als drittes ;-) ...


> 2. [mm]f(x)=x\wurzel{1+x^2}[/mm]
> [mm]u=x[/mm]
> [mm]u'=1[/mm]

[ok]



> [mm]v=\wurzel{1+x^2}[/mm]
> [mm]u=\wurzel{u}[/mm] bzw. [mm]u^0.5[/mm]
> [mm]u'= \bruch{1}{2}*u^{-0.5}[/mm]
> [mm]f=1+x^2[/mm]
> [mm]f'=2x[/mm]

[ok] Auch wenn die doppelte Benutzung von $u_$ nicht sehr glücklich ist!


> [mm]v'=2x*\bruch{1}{2}u^{-0.5}[/mm]

[ok]


> [mm]v'=2x*\bruch{1}{ \bruch{1}{2} \wurzel{1+x^2}}[/mm]

Hier kommst Du mit dem Faktor [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] etwas durcheinander.

Es muss heißen:  [mm]v'=2x*\bruch{1}{\red{2}*\wurzel{1+x^2}}[/mm]

Damit wird dann: [mm]v'=\bruch{x}{\wurzel{1+x^2}}[/mm]



> [mm]f'(x)=(1* \wurzel{1+x^2})+(x*\bruch{2x}{ \bruch{1}{2} \wurzel{1+x^2}})[/mm]

Die Ableitung stimmt fast (siehe oben mit [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] ...).


> [mm]f'(x)=\wurzel{1+x^2}*(x*\bruch{2x}{ \bruch{1}{2}})[/mm]
>  
> [mm]f'(x)=\wurzel{1+x^2}*(\bruch{2x^2}{ \bruch{1}{2}})[/mm]

Aber das Zusammenfassen haut nicht ganz hin.

Zunächst den ersten Term mit [mm] $\wurzel{1+x^2}$ [/mm] erweitern und dann auf einen Bruchstrich schreiben und zusammenfassen (siehe auch andere Aufgabe).


Gruß
Loddar

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