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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:14 Do 01.11.2007 | | Autor: | Fry |
| Aufgabe | a)Für welche n [mm] \in \IN [/mm] sind die Gruppen Z/n²Z und Z/nZ x Z/nZ isomorph ? Beweise !
b)Bestimmen Sie (bis auf Isomorphie) alle Gruppen, die höchstens fünf Elemente haben. |
Hallo alle zusammen,
mir ist klar, dass die obige Aussage nur für n=1 gilt, da ggT(1,1)=1 ist, ansonsten der ggT(n,n)=n ungleich 1 ist, aber wie beweist man das ?
Bei b) hab ich keine Ahnung, wie man das machen könnte.
Wäre für eure Hilfe sehr dankbar !
VG
Fry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:24 Do 01.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> a)Für welche n [mm]\in \IN[/mm] sind die Gruppen Z/n²Z und Z/nZ x
> Z/nZ isomorph ? Beweise !
> b)Bestimmen Sie (bis auf Isomorphie) alle Gruppen, die
> höchstens fünf Elemente haben.
> Hallo alle zusammen,
>
> mir ist klar, dass die obige Aussage nur für n=1 gilt, da
> ggT(1,1)=1 ist, ansonsten der ggT(n,n)=n ungleich 1 ist,
> aber wie beweist man das ?
die erste gruppe ist zyklisch, die zweite für $n [mm] \not= [/mm] 1$ nicht (es gibt keine element der ordnung [mm] $n^2$, [/mm] da für jedes element $a$ gilt, dass [mm] $a^n [/mm] = 1$). probiere dir das mal klarzumachen, damit können die gruppen nicht isomorph sein.
> Bei b) hab ich keine Ahnung, wie man das machen könnte.
ich befürchte, dass du verknüpfungstafelen aufstellen musst und dann eben anfangen auszuschliesen, welche besetzungen nicht möglich sind. man kann aber auch leicht zeigen, dass gruppen von primzahlordnung zyklisch sind, dass würde die anzahl der zu untersuchenenden gruppen ordnungen erheblich einschränken.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:47 Do 01.11.2007 | | Autor: | c.t. |
zu a): Ich überlege gerade, wie den die Elemente von Z/nZ x Z/nZ aussehen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:09 Fr 02.11.2007 | | Autor: | koepper |
Guten Morgen,
> zu a): Ich überlege gerade, wie den die Elemente von Z/nZ x Z/nZ aussehen.
Das sind Paare, von denen jeweils eine Koordinate aus Z/nZ kommt.
Sie werden verknüpft mit der Addition modulo n, und zwar koordinatenweise.
Gruß
Will
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:59 So 04.11.2007 | | Autor: | Fry |
Vielen Dank für deine Hilfe :)
LG
Fry
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