Produktmass < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien nun [mm] (\Omega_{1},\mathcal{A}_{1},\mu_{1}) [/mm] und [mm] (\Omega_{2},\mathcal{A}_{2},\mu_{2}) [/mm] zwei Maßraeume. Man möchte dann auf der [mm] Produkt-\sigma-Algebra \mathcal{A}=\sigma(\mathcal{A}_{1} \times \mathcal{A}_{2}) [/mm] ein Maß [mm] \mu [/mm] definieren, welches [mm] \mu(A_{1} \times A_{2})=\mu_{1}(A_{1})\mu_{2}(A_{2}) [/mm] erfüllt für alle [mm] A_{1} \in \mathal{A}_{1}, A_{2} \in \mathcal{A}_{2}. [/mm] Ein Maß [mm] \mu [/mm] das diese Bedingung erfüllt, wird dann Produktmaß genannt. Um zu zeigen, dass [mm] \mu [/mm] ein Maß ist, kann man es etwa als Integral auf [mm] \mathcal{A}_{1}\times\mathcal{A}_{2} [/mm] darstellen: [mm] \forall A_{1} \times A_{2} \in \mathcal{A}_{1}\times\mathcal{A}_{2}
[/mm]
[mm] \mu(A_{1}\times A_{2})=\integral_{\Omega_{1}}\mu_{2}(\{x_{2} \in \Omega_{1}|(x_{1},x_{2}) \in A_{1}\times A_{2}\})d\mu_{1}(x_{1}) [/mm] |
Hi,
habe auf Wikipedia obigen Text gelesen, versteh ihn aber nicht so ganz
Ich verstehe nicht, warum ein Maß jetzt auch als Integral geschrieben werden kann. Das haben wir doch ansonsten nur für Erwartungswerte gemacht. Würde mich über eine Erklärung freuen 
LG
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Hiho,
> Ich verstehe nicht, warum ein Maß jetzt auch als Integral geschrieben werden kann.
wie ist denn das Lebesgue-Integral bezüglich eines Maßes definiert?
Mach dir klar, dass dort immer gilt:
[mm] $\mu(A) [/mm] = [mm] \integral_A [/mm] 1 [mm] d\mu [/mm] = [mm] \integral_\Omega 1_A d\mu$ [/mm] und schon hast du deine Integralschreibweise.
edit: Und deine Gleichheit müsste heißen:
$ [mm] \mu(A_{1}\times A_{2})=\integral_{\Omega_{1}}\mu_{2}(\{x_{2} \in \Omega_{2}|(x_{1},x_{2}) \in A_{1}\times A_{2}\})d\mu_{1}(x_{1}) [/mm] $
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:39 Fr 04.07.2014 | | Autor: | derriemann |
Ah, Ok, ich kannte die Schreibweise für das Maß nicht. Wieder was dazu gelernt, danke! 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:18 Fr 04.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ah, Ok, ich kannte die Schreibweise für das Maß nicht.
> Wieder was dazu gelernt, danke!
(*) $ [mm] \mu(A) [/mm] = [mm] \integral_A [/mm] 1 [mm] d\mu [/mm] = [mm] \integral_\Omega 1_A d\mu [/mm] $
Ist doch keine Schreibweise !!
Erst lernt man, was ein Maß [mm] \mu [/mm] ist, damit definiert man dann das Integral (bezüglich [mm] \mu).
[/mm]
Das macht man in der üblichen Weise: erst für messbare Treppenfunktionen, dann für messbare nichtnegative Funktionen und dann für beliebige messbare Funktionen.
Bei der Def. des Integrals für messbare Treppenfunktionen ist (*) der Grundbaustein !
Genauer: [mm] \integral_\Omega 1_A d\mu:=\mu(A).
[/mm]
Das hattet Ihr sicher !
FRED
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