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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:07 Fr 06.10.2006 | | Autor: | Quaeck |
| Aufgabe | Leiten Sie ab und vereinfachen sie das Ergebnis:
[mm]f(x)= (4x + 2) * \wurzel {x}[/mm]
Die vorweggenommende Lösung lautet: [mm]f'(x)= 6\wurzel {x} + \bruch{1}{\wurzel {x}} = \bruch{6x + 1}{\wurzel {x}} [/mm] |
So jetzt habe ich mal eine Reihe von Vorüberlegungen getroffen um diese Aufgabe zu lösen.
Die Form dieser Aufgabe entspricht ja der Produktregel:
[mm] u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x) [/mm]
wobei [mm] u= \wurzel {x}[/mm] und [mm]u'= \bruch{1}{2 * \wurzel {x}} [/mm]
und [mm] v= (4x + 2) [/mm] und [mm] v'=(4) [/mm] sind.
So dann habe ich mal die verschienden Schreibweisen von [mm] \wurzel {x}[/mm] ausprobiert und bin da auf folgendes gekommen:
[mm]f(x)= \wurzel {x}[/mm] = [mm]f'(x)= \bruch{1}{2 * \wurzel {x}[/mm]
[mm]f(x)= x^\bruch{1}{2}[/mm] = [mm]f'(x)= \bruch{1}{2} * x^\bruch{-1}{-2}[/mm]
So jetzt habe ich in die Produktregel eingesetzt:
[mm]f'(x)= \bruch{1}{2 * \wurzel {x}} * (4x + 2) + \wurzel {x} * (4)[/mm]
Aber jetzt weiss ich nicht wie ich das weiter auflösen kann mit den ganzen Wurzeln. Müsste ich dann weiter mit der Produktregel auflösen oder wie oder was? Die Aufgabe verwirrt mich sehr..?
Danke im vorraus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 Fr 06.10.2006 | | Autor: | Quaeck |
Erstmal dankeschön für deine ausführliche Antwort.
Ein Verständnisproblem habe ich allerdings noch. Ich verstehe nicht ganz wie du gekürzt hast.
Also um genau zu sein wie du von diesem Term:
[mm]f'(x)= \bruch{4x}{2 \cdot{} \wurzel {x}}+\bruch{2}{2 \cdot{} \wurzel {x}} + \wurzel {x} \cdot{} (4) [/mm]
auf diesen:
[mm]f'(x)= \red{2\wurzel{x}}+\bruch{1}{ \wurzel {x}} + \red{4\wurzel {x}}[/mm]
gekommen bist?
Ansonsten ist alles super erklärt, großes Dankeschön dafür.=)
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[mm] $\text{Hallo,}$
[/mm]
$ f'(x)= [mm] \bruch{4x}{2 \cdot{} \wurzel {x}}+\bruch{2}{2 \cdot{} \wurzel {x}} [/mm] + [mm] \wurzel [/mm] {x} [mm] \cdot{} [/mm] 4 $
[mm] $\text{Du kannst den ersten Bruchterm erst einmal zerplücken in Folgendes, da sowohl im Zähler, als auch}$
[/mm]
[mm] $\text{im Nenner weder Differenzen noch Summen auftreten; den 2. kanst du kürzen, aus demselben Grund:}$
[/mm]
$ [mm] f'(x)=\bruch{4}{2}*\bruch{x}{\wurzel{x}}+\bruch{1}{\wurzel{x}}+\wurzel{x}*4$
[/mm]
[mm] $\text{Jetzt kannst du noch}$\quad$\bruch{4}{2}$\quad$\text{ zu 2 vereinfachen und}$\quad$\bruch{x}{\wurzel{x}}$\quad$\text{mit den Potenzgesetzen kürzen.}$
[/mm]
[mm] $\bruch{x}{\wurzel{x}} \gdw [/mm] x : [mm] \wurzel{x} \gdw x^1 [/mm] : [mm] x^{\bruch{1}{2}} \gdw x^{1-\bruch{1}{2}} \gdw x^{\bruch{1}{2}} \gdw \wurzel{x}$
[/mm]
[mm] $\text{Für}$\quad$\wurzel{x}*(4)$\quad$\text{kannst du doch genauso gut}$\quad$(4)*\wurzel{x}=4*\wurzel{x}=4\wurzel{x}$\quad$\text{schreiben (Stichwort: Kommutativgesetz). Klar, oder?}$
[/mm]
[mm] \text{Sind dir die Potenzgesetze noch bekannt?}
[/mm]
[mm] \text{Grüße,}
[/mm]
[mm] \text{Stefan.}
[/mm]
[mm] \text{EDIT: Ja, danke für den Hinweis, habe es nachträglich korrigiert!}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:15 Fr 06.10.2006 | | Autor: | Disap |
Hi.
> [mm]\bruch{x}{\wurzel{x}} \gdw x : \wurzel{x} \gdw x^1 : x^{\bruch{1}{2}} \gdw \red{x^{1-\bruch{1}{2}} \gdw x^{-\bruch{1}{2}}} \gdw \bruch{1}{x^{\bruch{1}{2}}} \gdw \bruch{1}{\wurzel{x}}[/mm]
Das muss eigentlich [mm] $x^{1-\br{1}{2}}\gdw x^{\br{1}{2}} \gdw\wurzel{x}$ [/mm] heissen.
Grüße
Disap
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:48 Fr 06.10.2006 | | Autor: | Quaeck |
Soweit habe ich es verstanden. Dankeschön an euch beiden. Ihr wart mir eine große Hilfe. =)
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
. Im Exponenten darf nur ein Minuszeichen stehen. Ansonsten wäre es ja Plus.
