Projektion < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:12 Do 12.02.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo,
ich habe eine Frage zu dem Projektionssatz:
X [mm] \subseteq \mathbb{R}^n [/mm] nichtleer, abgeschlossen und konvex, sowie y [mm] \in \mathbb{R}^n [/mm] beliebig gegeben. Dann ist z [mm] \in [/mm] X genau dann gleich der Projektion von y auf X (also z = [mm] Proj_X(y)), [/mm] wenn
[mm] (z-y)^T(x-z) \geq [/mm] 0 für alle x [mm] \in [/mm] X.
Nun verstehe ich nicht, warum folgendes nach diesem Satz gilt:
Seien [mm] \alpha, \beta [/mm] >0, d [mm] \in \mathbb{R}^n [/mm] gegeben und [mm] Proj_X(x [/mm] + [mm] \alpha [/mm] d) [mm] \not= Proj_X(x-\beta [/mm] d).
Setze u:= [mm] Proj_X(x+\alpha [/mm] d) -x und v:= [mm] Proj_X [/mm] (x+ [mm] \beta [/mm] d)-x
Wendet man nun den obigen Satz auf die Vektoren x + [mm] \alpha [/mm] d und [mm] Proj_X(x [/mm] + [mm] \beta [/mm] d) an, würde sich folgendes ergeben:
[mm] u^T(u-v) \leq \alpha d^T(Proj_X(x+\alpha [/mm] d)- [mm] Proj_X(x [/mm] + [mm] \beta [/mm] d)).
Eigentlich dachte ich, wäre das nur eine "banale" Umformung, aber irgendwie komm ich nicht hin. Ich müsste dann doch in dem Satz
z = [mm] Proj_X(x [/mm] + [mm] \beta [/mm] d) und für x den Vektor x + [mm] \alpha [/mm] d einsetzen, oder??
Aber es ist doch gar nicht gesagt, dass x + [mm] \alpha [/mm] d noch in X ist, oder?
Aber selbst wenn, komm ich nicht auf die Ungleichung :-(. Wäre super, wenn jemand weiter weiß!!
Viele Grüße,
Riley
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Mo 16.02.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
