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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:47 Do 13.12.2012 | | Autor: | MrPan |
| Aufgabe | Sei [mm] \phi:\IR^3\to\IR^3 [/mm] eine Projektion mit der Richtung u = (1; 1; 2) im [mm] \IR^3 [/mm] auf die Ebene W, der durch v = (1; 2; 0) und w = (1; 0; 1) aufgespannt wird. Beschreiben Sie die Projektion [mm] \phi [/mm] formell durch ihre Wirkung auf eine passende
Basis von [mm] \IR^3.
[/mm]
(b) Zeigen Sie, dass [mm] \phi \circ \phi =\phi [/mm] |
Hallo,
ich hab mal wieder keine Durchblick was die Aufgabe angeht.
a) ich hab das als [mm] \phi(v)=\lambda*u+k [/mm] mit v [mm] \in \IR^3, [/mm] k [mm] \in [/mm] W interpretiert, und die Wirkung der Projektion ist einfach dass eben passende Basen der Form (x,y,z) als z.B. (x,y,0) dargestellt werden können.
b) das ist ja gleichbedeutend mit [mm] \phi(\phi(x))=\phi(x) [/mm] also das die Funktion mit sich selbst verknüpft wieder sich selbst ergibt. wie x [mm] \circ [/mm] x = x , wie kann man aber hier ansetzten, ist meine interprtation von phi falsch? oder fehlt mir das Wissen?
Vielen Dank für Tipps, Erklärungen!
gruß mike
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:17 Do 13.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du sollst dich passende Basen angeben? welche wählst du da?
was du da schreibst;“Basen der Form (x,y,z) als z.B. (x,y,0) kannst du dir selbst darunter was vorstellen?
du suchst doch Basen im [mm] R^3, [/mm] die haben sicher nicht alle die Form (a,b,0)
dein [mm] \Phi [/mm] ist keine Projektion. du bildest einen Vektor auf sein vielfaches ab und verschiebst ihn dann in richtung eines Ebenenvektors.
mach dirs zur Vorstellung erst mal einfacher : projizier in Richtung (0,0,1) auf die Ebene mit (1,0,0) und (0,1,0)
was wird aus (a,b,c)?
dann geh entsprechend vor!
Gruss leduart
dann siehst du wenigstens
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 Do 13.12.2012 | | Autor: | MrPan |
Vielen Dank für deine Hilfe!
> Hallo
> du sollst dich passende Basen angeben? welche wählst du
> da?
Bei denen z.b [mm] \phi(basisvektor)=(a,b,0) [/mm] also das eine Komponente wegfällt
> was du da schreibst;“Basen der Form (x,y,z) als z.B.
> (x,y,0) kannst du dir selbst darunter was vorstellen?
> du suchst doch Basen im [mm]R^3,[/mm] die haben sicher nicht alle
> die Form (a,b,0)
> dein [mm]\Phi[/mm] ist keine Projektion. du bildest einen Vektor
> auf sein vielfaches ab und verschiebst ihn dann in richtung
> eines Ebenenvektors.
> mach dirs zur Vorstellung erst mal einfacher : projizier
> in Richtung (0,0,1) auf die Ebene mit (1,0,0) und (0,1,0)
> was wird aus (a,b,c)
hier ist ja der normalenvektor der Ebene gleich der richtung
also wenn ich jetzt nicht falsch liege dann wird aus (a,b,c)
(a,b,0)
Ich muss doch bei einer Projektion einen beliebigen Punkt r aus [mm] \IR^3 [/mm] nehmen ihn mit der Richtung zu einer "Geraden" machen also [mm] g:\vec{x}=r+\lambda*u [/mm] und die dann mit der Ebene schneiden oder?
Nur bin ich völlig überfordert was [mm] \phi \circ \phi [/mm] damit zu tun hat
> dann geh entsprechend vor!
> Gruss leduart
> dann siehst du wenigstens
>
gruß mike
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:13 Do 13.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
der vereinfachte Teil ist richtig, was passiert, wenn du jetzt noch mal in (0,0,1) Richtung projizierst?
jetzt nimm das Bsp und finde eine andere Basis von [mm] R^3 [/mm] in der deine projktion genauso einfach isz.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 05:51 Fr 14.12.2012 | | Autor: | MrPan |
> Hallo
> der vereinfachte Teil ist richtig, was passiert, wenn du
> jetzt noch mal in (0,0,1) Richtung projizierst?
> jetzt nimm das Bsp und finde eine andere Basis von [mm]R^3[/mm] in
> der deine projktion genauso einfach isz.
> Gruss leduart
Vielen Dank für deine Hilfe!
falls ich (a,b,0) nochmal in x richtung projiziere bleibt (a,b,0) der punkt liegt ja schon auf dem Unterraum "Ebene".
Soll ich eine andere Basis von [mm]R^3[/mm] als Richtung nehmen oder wie ist das gemeint? Ich versteh nicht zu was das gut sein soll. Es ist ja egal welchen Vektor ich nehme im Bsp. kommt immer einer der Form (a,b,0)raus.
gruß mike
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:06 Fr 14.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nimm doch wirklich das Bsp mit UR x-y Wbene in richtung des dritten Vektors projiziert.
wenn du die 3 vektoren Ebene+ Projektionsvektor nimmst kannst du damit jeden vektoe im [mm] R^3 [/mm] darstellen?
findest du dann eine für diese aufgabe geeignete Basis?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:38 Sa 15.12.2012 | | Autor: | MrPan |
Vielen Dank!
> Hallo
> Nimm doch wirklich das Bsp mit UR x-y Wbene in richtung
> des dritten Vektors projiziert.
> wenn du die 3 vektoren Ebene+ Projektionsvektor nimmst
> kannst du damit jeden vektoe im [mm]R^3[/mm] darstellen?
> findest du dann eine für diese aufgabe geeignete Basis?
> Gruss leduart
ja, ich kann damit [mm]R^3[/mm] darstellen, ist die kanonische Basis ist deswegen auch die geeignete Basis die kanonische Basis?
Das würde ja für meine Aufgabe heißen, dass die gesuchte Basis B [mm] =\{b_1,b_2,b_3\} =\{\vektor{1 \\ 1\\2},\vektor{1 \\ 2\\0},\vektor{1 \\ 0\\1}\} [/mm] ist?
[mm] \phi(b_1)=\vec{0}
[/mm]
[mm] \phi(b_2)=b_2
[/mm]
[mm] \phi(b_3)=b_3
[/mm]
was formell bedeuten würde das [mm] \phi [/mm] angewendet auf die Basis bewirkt [mm] \phi(b_1)=\vec{0}
[/mm]
[mm] \phi(b_2)=b_2
[/mm]
[mm] \phi(b_3)=b_3 [/mm] also sie erzeugt einen Unterraum W=Ebene?
gruß Mike
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 Sa 15.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig, nachdem du gezeigt hast, dass dass 3 lin unabh. Vektoren sind
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Sa 15.12.2012 | | Autor: | Rated-R |
hallo,
ich hoffe das ist nicht unpassend hier, ich hatte vor kurzem eine ähnliche Aufgabe.
wenn ich jetzt zeigen will das [mm] \phi \circ \phi [/mm] = [mm] \phi [/mm] ist, geht das dann so:
sei x [mm] \in [/mm] V [mm] :=u*\lambda [/mm] + W somit gilt [mm] x=u_1+u_2 [/mm]
und [mm] \phi(x)=u_2 [/mm] mit [mm] u_2 \in [/mm] W
[mm] \phi(\phi(x))=\phi(u_2)=\phi(x-u_1)=\phi(x)-\phi(u_1)=\phi(x)-0=\phi(x)
[/mm]
geht das so?
Tom
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:14 Sa 15.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, so etwa , aber warum kannst du denn jedes x sø dars†ellen
Gruss leduart
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