Projektionen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei U:={ [mm] (x_1,x_2,x_3)^T \in \IR^3 [/mm] : [mm] -x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = 0 }.
a) Bestimme einen Untervektorraum U' vom [mm] \IR^3, [/mm] so dass U [mm] \oplus [/mm] U' = [mm] \IR^3.
[/mm]
b) Bestimme weiterhin die Projektion P: [mm] \IR^3 \rightarrow \IR^3, [/mm] die auf U längs U' projiziert. |
Hallo ihr Lieben.
Meine Frage richtet sicher eher auf Aufgabenteil b):
Ich weiß was eine Projektion ist, allerdings verstehe ich nicht so wirklich was gemeint ist mit "Bestimme die Projektion..., die auf U längs U' projiziert". Was bedeutet das, die auf U längs U' projizieren?
Dann weiß ich leider überhaupt nicht, was ich bei Aufgabenteil b) machen muss, bzw. wie ich hier eine Projektion bestimmen kann. Es könnte sein, dass sich diese Frage von alleine klärt, wenn ich verstanden habe, was in meiner ersten Frage gemeint ist.
Liebe Grüße,
Roughi
|
|
| |
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Sei U:={ [mm](x_1,x_2,x_3)^T \in \IR^3[/mm] : [mm]-x_1[/mm] + [mm]x_2[/mm] + [mm]x_3[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= 0
> }.
> a) Bestimme einen Untervektorraum U' vom [mm]\IR^3,[/mm] so dass U
> [mm]\oplus[/mm] U' = [mm]\IR^3.[/mm]
> b) Bestimme weiterhin die Projektion P: [mm]\IR^3 \rightarrow \IR^3,[/mm]
> die auf U längs U' projiziert.
Hallo,
noch kurz hierzu:
zunächst mal bestimme eine Basis von U.
Diese ergänze zu einer Basis von [mm] \IR^3.
[/mm]
Der Span / die lineare Hülle des ergänzenden Vektors ist U'.
zu b)
Die Leinwand ist die Ebene U.
Der Projektionsstrahl geht in Richtung der Geraden (eindimensionaler Unterraum) U'.
Von dieser Projektion [mm] \pi [/mm] ist die Rede.
Was ist das Bildder Basisvektoren von U?
Was das Bild des Basisvektors von U'?
Da du die andere Aufgabe verstanden hast, ist es nun ein Leichtes, die Darstellungsmatrix von [mm] \pi [/mm] bzgl der oben bestimmten Basis des [mm] \IR^3, [/mm] welche dieser Projektion angemessen ist, aufzustellen.
Wenn Du das getan hast, kannst Du per Transformationsformel .ä. die Darstellungsmatrix bzgl der Standardbasis aufstellen.
Ah, gerade fällt mir noch ein, daß ich in meinem anderen Beitrag ein [mm] (\*) [/mm] gesetzt und vergessen habe.
Diese Aufgabe hier ist inhaltlich genau das, was ich dort eigentlich anhängen wollte.
Du siehst hier, daß die Standardbasis nicht "einfach" ist.
Gruß v. Angela
> Hallo ihr Lieben.
> Meine Frage richtet sicher eher auf Aufgabenteil b):
>
> Ich weiß was eine Projektion ist, allerdings verstehe ich
> nicht so wirklich was gemeint ist mit "Bestimme die
> Projektion..., die auf U längs U' projiziert". Was
> bedeutet das, die auf U längs U' projizieren?
>
> Dann weiß ich leider überhaupt nicht, was ich bei
> Aufgabenteil b) machen muss, bzw. wie ich hier eine
> Projektion bestimmen kann. Es könnte sein, dass sich diese
> Frage von alleine klärt, wenn ich verstanden habe, was in
> meiner ersten Frage gemeint ist.
>
> Liebe Grüße,
>
> Roughi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:54 Mi 21.12.2011 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Sei U:={ [mm](x_1,x_2,x_3)^T \in \IR^3[/mm] : [mm]-x_1[/mm] + [mm]x_2[/mm] + [mm]x_3[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= 0
> }.
> a) Bestimme einen Untervektorraum U' vom [mm]\IR^3,[/mm] so dass U
> [mm]\oplus[/mm] U' = [mm]\IR^3.[/mm]
> b) Bestimme weiterhin die Projektion P: [mm]\IR^3 \rightarrow \IR^3,[/mm]
> die auf U längs U' projiziert.
> Hallo ihr Lieben.
> Meine Frage richtet sicher eher auf Aufgabenteil b):
>
> Ich weiß was eine Projektion ist, allerdings verstehe ich
> nicht so wirklich was gemeint ist mit "Bestimme die
> Projektion..., die auf U längs U' projiziert". Was
> bedeutet das, die auf U längs U' projizieren?
P projiziert auf U längs U' [mm] \gdw [/mm] bild(P)=U und kern(P)=U'
FRED
>
> Dann weiß ich leider überhaupt nicht, was ich bei
> Aufgabenteil b) machen muss, bzw. wie ich hier eine
> Projektion bestimmen kann. Es könnte sein, dass sich diese
> Frage von alleine klärt, wenn ich verstanden habe, was in
> meiner ersten Frage gemeint ist.
>
> Liebe Grüße,
>
> Roughi
|
|
|
| |
|
Vielen Dank euch beiden, damit ist die Aufgabe weitaus klarer!
Ich bestimme gerade mal eine Basis von U und ergänze sie mit U' zu einer Basis vom [mm] \IR^3:
[/mm]
U:={ [mm] (x_1,x_2,x_3)^T \in \IR^3 [/mm] : [mm] -x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = 0 }.
Aus der Ebenengleichung folgt schon einmal, dass dim U = 2 ist.
Ich habe nun durch [mm] -x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = 0 eine Gleichung mit 3 Unbekannten => ich kann zwei Variablen frei wählen:
Seien [mm] x_2=a [/mm] und [mm] x_3 [/mm] = b
=> [mm] -x_1 [/mm] + a+ b = 0
<=> [mm] x_1 [/mm] = a + b
=> [mm] \vektor{a+b \\ a \\ b} [/mm] = [mm] \vektor{a \\ a \\ 0} [/mm] + [mm] \vektor{b \\ 0 \\ b} [/mm] = a [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] + b [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1}. [/mm]
Seien nun a=b= 1 => Basis von U = [mm] (\vektor{1 \\ 1\\ 0}, \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] ). Wie erwartet ist dim U = 2.
So nun die Ergänzung. Für die direkte Summe gilt nun, dass U [mm] \cap [/mm] U' = [mm] \emptyset.
[/mm]
Irgendwie tue ich mich gerade schwer, U' so zu bestimmen, dass U [mm] \cap [/mm] U' eben [mm] \emptyset [/mm] ist. Kann ich das so verstehen, dass die Schnittmenge dieser UVR = [mm] \emptyset \gdw [/mm] U und U' linear unabhängig?
Ich weiß nicht genau wie man die Schnittmenge von Vektoren bestimmt: Stichwort Schnittpunkte?
Damit U' [mm] \cup [/mm] U = [mm] \IR^3 [/mm] kann ich ja U' in mehreren Weisen bestimmen oder? Zum Beispiel müsste eine Basis von U' wie folgt aussehen: [mm] B_U' [/mm] = [mm] (\vektor{1 \\ 0 \\ 0}). [/mm] Ich hänge irgendwie ein bisschen in der Luft.
Jetzt frage ich mich, wieso ist U [mm] \cap [/mm] U' = [mm] \emptyset? [/mm] Ist das überhaupt der Fall?
So jetzt, ob bisheriges richtig ist oder nicht, zur Bestimmung der Projektion.
Wie fred gesagt hat: P projiziert auf U längs U' [mm] \gdw [/mm] Bild P = U und Kern P = U'.
Ich greife mal auf die andere Aufgabe zurück. Sei P die Projektion. Projektion bedeutet wieder: P°P = P und es soll gelten: Bild P = U und Kern P = U', das müsste doch heißen P [mm] \IR^3^= [/mm] U und P U' = 0. Stimmt dies soweit? Ich mache gleich weiter, kurz einkaufen.
So, vorm Einkaufen noch die Abbildungsmatrix.
Wie ich eben gesagt habe, weiß ich, dass P [mm] \IR^3 [/mm] = U und P U' = 0
=> [mm] P(\vektor {1\\ 1 \\ 0}) [/mm] = [mm] \vektor {1\\ 1 \\ 0} [/mm] und [mm] P(\vektor {1\\ 0 \\ 1}) [/mm] = [mm] \vektor {1\\ 0 \\ 1}, [/mm] sowie [mm] P(\vektor {1\\ 0 \\ 0}) [/mm] = [mm] \vektor {0\\ 0 \\ 0}
[/mm]
=> A = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 }.
[/mm]
Wäre dies richtig, falls das vorherige richtig wäre?
Edit: Weiteres Vorgehen, wie Angela angemerkt hat: Basiswechsel zur Standardbasis, heißt: die Matrix A beschreibt: [mm] A(P,B_u,B_u') [/mm] und muss nun eine Matrix A' finden, mit selben Eigenschaften wie A, nur jetzt, [mm] A(P,B_{SbU},B_{SbU'}) [/mm] mit SbU, SbU': Standartbasis U und U', also eigentlich [mm] A'(P,B_{\IR^3})?
[/mm]
Liebe Grüße,
Roughi
|
|
|
| |
|
Ich sitze jetzt schon länger an dieser Aufgabe und häng völlig fest.
Ich habe jetzt eine Darstellungsmatrix A dieser Projektion bzgl. der Basis B= [mm] B_{U'} \cup B_U.
[/mm]
Jetzt will ich aber die Matrixdarstellung dieser Projektion bzgl. der Standardbasis des [mm] \IR^3 [/mm] darstellen.
Sei im folgenden [mm] B_{Sb\IR^3} [/mm] die Standardbasis des [mm] \IR^3.
[/mm]
Die Transformationsformel besagt:
A' (P, [mm] B_{Sb\IR^3} [/mm] = [mm] C^{-1} A(P,\IR^3) [/mm] C
, wobei C die neue gewünschte Basis ist, in meine Fall also
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] = [mm] C^{-1} [/mm] in meinem Fall.
Aber diese Einheitsmatrizen lassen die Matrix A unverändert. Das kann doch aber gar nicht sein, also ist mein Vorgehen falsch oder?
Ich stehe voll auf dem Schlauch.
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
> Ich sitze jetzt schon länger an dieser Aufgabe und häng
> völlig fest.
>
> Ich habe jetzt eine Darstellungsmatrix A dieser Projektion
> bzgl. der Basis B= [mm]B_{U'} \cup B_U.[/mm]
>
> Jetzt will ich aber die Matrixdarstellung dieser Projektion
> bzgl. der Standardbasis des [mm]\IR^3[/mm] darstellen.
>
> Sei im folgenden [mm]B_{Sb\IR^3}[/mm] die Standardbasis des [mm]\IR^3.[/mm]
>
> Die Transformationsformel besagt:
> A' (P, [mm]B_{Sb\IR^3}[/mm] = [mm]C^{-1} A(P,\IR^3)[/mm] C
> , wobei C die neue gewünschte Basis ist, in meine Fall
> also
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 }[/mm] = [mm]C^{-1}[/mm] in
> meinem Fall.
> Aber diese Einheitsmatrizen lassen die Matrix A
> unverändert. Das kann doch aber gar nicht sein, also ist
> mein Vorgehen falsch oder?
Hallo,
Dein Vorgehen ist nicht falsch. Du hast aber die Basistransformationsmatrizen nicht verstanden.
Es sind diese Matrizen, die Koordinatenvektoren von einer Basis in die andere umwandeln, ja auch Abbildungsmatrizen, die Abbildung ist halt id.
Die Vektoren werden nicht "wirklich" verändert, sondern lediglich bzgl einer anderen Basis geschrieben.
Was soll Deine Matrix C nun leisten? Sie soll Vektoren, die bzgl der Standardbasis S gegeben sind, in solche bzgl B umwandeln.
[mm] C^{-1} [/mm] wandelt dementsprechend Vektoren, die in Koordinaten bzgl B gegeben sind, in solche bzgl S um.
Sprüchlein: in den Spalten der Darstellungsmatrix von f bzgl der Basen C im Urbildraum und D im Bildraum stehen die Bilder der Basisvektoren von C unter der Abbildung f in Koordinaten bzgl D.
Was bedeutet das für Deine Matrix [mm] C^{-1}?
[/mm]
Wir sagen den Spruch auf:
in den Spalten der Darstellungsmatrix von id bzgl der Basen B im Urbildraum und S im Bildraum stehen die Bilder der Basisvektoren von B unter der Abbildung f in Koordinaten bzgl S.
Los geht's:
[mm] id(b_1)= [/mm] na, wie lautet [mm] b_1 [/mm] in Standardkoordinaten?
usw.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
> Vielen Dank euch beiden, damit ist die Aufgabe weitaus
> klarer!
>
> Ich bestimme gerade mal eine Basis von U und ergänze sie
> mit U' zu einer Basis vom [mm]\IR^3:[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> U:={ [mm](x_1,x_2,x_3)^T \in \IR^3[/mm] : [mm]-x_1[/mm] + [mm]x_2[/mm] + [mm]x_3[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= 0 }.
> Aus der Ebenengleichung folgt schon einmal, dass dim U = 2
> ist.
>
> Ich habe nun durch [mm]-x_1[/mm] + [mm]x_2[/mm] + [mm]x_3[/mm] = 0 eine Gleichung mit
> 3 Unbekannten => ich kann zwei Variablen frei wählen:
> Seien [mm]x_2=a[/mm] und [mm]x_3[/mm] = b
> => [mm]-x_1[/mm] + a+ b = 0
> <=> [mm]x_1[/mm] = a + b
>
> => [mm]\vektor{a+b \\
a \\
b}[/mm] = [mm]\vektor{a \\
a \\
0}[/mm] +
> [mm]\vektor{b \\
0 \\
b}[/mm] = a [mm]\vektor{1 \\
1 \\
0}[/mm] + b [mm]\vektor{1 \\
0 \\
1}.[/mm]
> Seien nun a=b= 1 => Basis von U = [mm](\vektor{1 \\
1\\
0}, \vektor{1 \\
0 \\
1}[/mm]
> ). Wie erwartet ist dim U = 2.
>
> So nun die Ergänzung. Für die direkte Summe gilt nun,
> dass U [mm]\cap[/mm] U' = [mm]\emptyset.[/mm]
Hallo,
1. Wer sagt das?
2. Wie soll das funktionieren? Welches gemeinsame Element enthalten denn Untervektorräume eines VRes V auf jeden Fall immer?
Schau nochmal nach, was da wirklich für den Schnitt steht...
> Irgendwie tue ich mich gerade schwer, U' so zu bestimmen,
> dass U [mm]\cap[/mm] U' eben [mm]\emptyset[/mm] ist. Kann ich das so
> verstehen, dass die Schnittmenge dieser UVR = [mm]\emptyset \gdw[/mm]
> U und U' linear unabhängig?
> Ich weiß nicht genau wie man die Schnittmenge von
> Vektoren bestimmt: Stichwort Schnittpunkte?
Eine Schnittmenge von Vektoren bestimmt man gar nicht, aber man kann natürlich Schnittmengen von Mengen, die Vektoren enthalten, bestimmen.
> Damit U' [mm]\cup[/mm] U = [mm]\IR^3[/mm] kann ich ja U' in mehreren Weisen
> bestimmen oder?
Ja. Und vor allem gibt es mehrere Räume, die du als U' nehmen kannst. Das meinstest Du auch...
> Zum Beispiel müsste eine Basis von U' wie
> folgt aussehen: [mm]B_U'[/mm] = [mm](\vektor{1 \\
0 \\
0}).[/mm] Ich hänge
> irgendwie ein bisschen in der Luft.
>
> Jetzt frage ich mich, wieso ist U [mm]\cap[/mm] U' = [mm]\emptyset?[/mm] Ist
> das überhaupt der Fall?
Nein.
Du willst jetzt den Schnitt von U und U' wissen, also die Vektoren, die in beiden Räumen sind.
Du willst also wissen, für welche a,b,c gilt
[mm] $a\vektor{1 \\ 1\\ 0}+b\vektor{1 \\ 0 \\ 1}$ =\vektor{1\\0\\0}.
[/mm]
Daraus ergibt sich der Lösungsweg, nicht wahr?
>
> So jetzt, ob bisheriges richtig ist oder nicht, zur
> Bestimmung der Projektion.
>
> Wie fred gesagt hat: P projiziert auf U längs U' [mm]\gdw[/mm] Bild
> P = U und Kern P = U'.
Ja.
>
> Ich greife mal auf die andere Aufgabe zurück. Sei P die
> Projektion. Projektion bedeutet wieder: P°P = P und es
> soll gelten: Bild P = U und Kern P = U', das müsste doch
> heißen P [mm]\IR^3^=[/mm] U und P U' = 0. Stimmt dies soweit? Ich
> mache gleich weiter, kurz einkaufen.
Ja, [mm] P(\IR^3)=U [/mm] und P(U')=0.
>
> So, vorm Einkaufen noch die Abbildungsmatrix.
> Wie ich eben gesagt habe, weiß ich, dass P [mm]\IR^3[/mm] = U und
> P U' = 0
>
> => [mm]P(\vektor {1\\
1 \\
0})[/mm] = [mm]\vektor {1\\
1 \\
0}[/mm] und
> [mm]P(\vektor {1\\
0 \\
1})[/mm] = [mm]\vektor {1\\
0 \\
1},[/mm] sowie
> [mm]P(\vektor {1\\
0 \\
0})[/mm] = [mm]\vektor {0\\
0 \\
0}[/mm]
Du hast nun die Bilder der Basisvektoren Deiner schönen Basis in Koordinaten bzgl der Standardbasis angegeben.
Für die Matrix bzgl B brauchst Du sie aber in Koordinaten bzgl B.
Also:
[mm] P(b_1)=b_1=\vektor{...\\...\\...}_{(B)}
[/mm]
[mm] P(b_2)=
[/mm]
[mm] P(b_3)=
[/mm]
Dann bekommst Du die richtige Matrix.
Gruß v. Angela
> => A =
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 }.[/mm]
>
> Wäre dies richtig, falls das vorherige richtig wäre?
>
> Edit: Weiteres Vorgehen, wie Angela angemerkt hat:
> Basiswechsel zur Standardbasis, heißt: die Matrix A
> beschreibt: [mm]A(P,B_u,B_u')[/mm] und muss nun eine Matrix A'
> finden, mit selben Eigenschaften wie A, nur jetzt,
> [mm]A(P,B_{SbU},B_{SbU'})[/mm] mit SbU, SbU': Standartbasis U und
> U', also eigentlich [mm]A'(P,B_{\IR^3})?[/mm]
>
> Liebe Grüße,
>
> Roughi
|
|
|
| |
|
Hallo erneut:).
Vorab, das Geschriebene sieht vielleicht viel aus, aber ich habe versucht möglichst genau zu schreiben, daher sieht es nach viel mehr aus, als es eigentlich ist. So los geht´s:
Also der Übungszettel ist zwar abgegeben, aber mich interessieren solche Aufgaben extrem, da Matrizen für mich in meinem Physik Studium extremst hilfreich sind, außerdem machts, entschuldigt, saumäßig Spaß:).
Also zu angela´s zweiter Antwort, da sie auf meine Fragen chronologisch die erste wäre:
Für die direkte Summe gilt laut Vorlesungsskript: Voraussetzung für eine direkte Summe von Untervektorräumen ist der paarweise triviale Schnitt, also die leere Menge.
Dann, Untervektorräume eines Vektorraums enthalten immer das neutrale Element, sowie die leere Menge.
Ich betrachte jetzt nocheinmal den Schnitt meiner Untervektorräume. Also Kern P = U' mit der der Basis [mm] B_{U'}= ((\vektor{1 \\ 0 \\ 0}) [/mm] und Bild P = U mit Basis [mm] B_U [/mm] = [mm] (\vektor{1\\ 1\\ 0}, \vektor{1\\0\\1}).
[/mm]
Es gilt nun a [mm] \vektor{1\\ 1\\ 0} [/mm] + b [mm] \vektor{1\\0\\1} [/mm] = c [mm] \vektor{1\\0\\0}.
[/mm]
Dies sollte aber nur mit a= b = c = 0 funktionieren, also im Grunde liege ich richtig mit der Annahme, dass der Schnitt von UVRen, die aus Vektoren bestehen, genau dann die leere Menge ist, wenn die Vektoren linear unabhängig sind?
Jetzt hänge ich allerdings ein wenig fest.
Ich hatte geschrieben:
> Die Abbildungsmatrix:
> Wie ich eben gesagt habe, weiß ich, dass P [mm] \IR^3 [/mm] = U und P U' = 0
>
> => [mm] P(\vektor {1\\ 1 \\ 0}) [/mm] = [mm] \vektor {1\\ 1 \\ 0} [/mm] und [mm] P(\vektor {1\\ 0 \\ 1}) [/mm] > = [mm] \vektor {1\\ 0 \\ 1}, [/mm] sowie [mm] P(\vektor {1\\ 0 \\ 0}) [/mm] = [mm] \vektor {0\\ 0 \\ 0}
[/mm]
> => A = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 }.
[/mm]
Nun hat angela gesagt, dass ich die Bilder meiner Basisvektoren meiner Basis bzgl der Standardbasis angegeben habe.
Aber ich sehe nicht wirklich wie ich die Standardbasis hier benutzt habe?
Dann hat angela gesagt, ich muss folgendes bilden, um meine richtige Matrix zu erhalten:
[mm] P(b_1)= b_1 [/mm] = [mm] \vektor{...\\...\\...}. [/mm] Analog mit [mm] P(b_2) [/mm] und [mm] P(b_3)... [/mm] Was sind diese [mm] b_i [/mm] ? i=1,2,3.
Zu angela´s Antwort 1:
Ich denke, ich habe die Basistransformation im Allgemeinen verstanden, aber nicht deren Anwendung.
Ich weiß zum Beispiel aus der Physik, dass ich Probleme, heißt z.B. Bewegungsgleichungen aus unterschiedlichen Systemen beschreiben kann. Sei es ein körperfester Bezugssystem oder jenes eines ruhenden Betrachters. Nun muss die Beschreibung des Phänomens bzw. des Problems in allen Bezugssystemen auf das Gleiche hinausführen, d.h. die Darstellung ist zwar eine andere, aber es kommt das gleiche Ergebnis heraus. Bestes Beispiel dazu sind Phänomene der spez. Relativitätstheorie , die diese Basistransformationen zwangsläufig benötigen.
Zur Anwendung der Basistransformationsmatrizen bzgl. Darstellungsmatrizen. Dazu sehe ich mir die Transformationsformel an, ich will hierbei die Darstellungsmatrix bzgl. der Standardbasis kriegen aus der Darstellungsmatrix bzgl. meiner Basis [mm] B_{\IR^3}.
[/mm]
Dabei ist [mm] B_{\IR^3}= ((\vektor{1\\1\\0},\vektor{1\\0\\1},\vektor{1\\0\\0}).
[/mm]
Nun fehlt mir ja vorerst noch die Darstellungsmatrix bzgl. dieser Basis [mm] (A(P,B_{\IR^3})), [/mm] wozu ich weiter oben noch eine Frage gestellt habe.
Theoretisch müsste es wie folgt weiterlaufen:
[mm] A'(P,B_{Sb\IR^3})= C^{-1} [/mm] * [mm] A(P,B_{\IR^3}) [/mm] * C.
Interpretation dieser Formel mit Hilfe von angela´s Sprüchlein:
C soll hier in dem Fall Vektoren bzgl. der Standardbasis in solche bzgl. [mm] B_{\IR^3} [/mm] umwandeln.
[mm] C^{-1} [/mm] genau andersrum: die bzgl. der Basis [mm] B_{\IR^3} [/mm] gegeben sind, in solche bzgl. der Standardbasis umwandeln. Oder ist es andersrum?
Jetzt kommt denke ich eine entscheidende Frage: Die Abbildung hier ist P: [mm] \IR^3 \rightarrow \IR^3. [/mm] Also sind die Basen von Urbildraum und Bildraum die selben? Oder durch die Projektion doch verschieden?
Zur letzten Frage von angela: [mm] id(b_1) [/mm] = [mm] b_1, [/mm] da die Identität [mm] b_1 [/mm] unverändert lässt.
Ich wünsche allen Lesern eine frohe und glückliche Weihnachtszeit, sowie allgemein schöne Feiertage und einen guten Rutsch ins neue Jahr 2012,
euer Roughi.
Edit: Natürlich muss ich mich noch rechtherzlich bei angela und bei fred bedanken. Eure Hilfestellungen sind immer, um es mal auf den Punkt zu bringen, "überragend". Diese Aufgaben zu lösen macht meistens sehr viel Spaß und durch eure Hilfestellungen kommt man immer weiter voran, und zwar so, dass man selbst noch viel eigenes Denken dazu packen muss und man nicht einfach eine Lösung präsentiert bekommt. Ich hoffe, ich kann eines Tages ebenfalls solche Hilfestellungen geben.
VIELEN DANK!
|
|
|
| |
|
> Für die direkte Summe gilt laut Vorlesungsskript:
> Voraussetzung für eine direkte Summe von
> Untervektorräumen ist der paarweise triviale Schnitt,
Hallo,
richtig.
> also
> die leere Menge.
FALSCH! Der "triviale Schnitt" ist die Menge bzw. der Vektorraum, der nur die Null enthält.
Der Schnitt kann doch überhaupt nicht leer sein...
Vielleicht stand da [mm] U\cap [/mm] U'=0. Mit dieser 0 ist der Nullraum gemeint, also [mm] \{0\}.
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
> Für die direkte Summe gilt laut Vorlesungsskript:
> Voraussetzung für eine direkte Summe von
> Untervektorräumen ist der paarweise triviale Schnitt, also
> die leere Menge.
Hallo,
s. dazu meine gestrige Mitteilung.
> Dann, Untervektorräume eines Vektorraums enthalten immer
> das neutrale Element,
Eben...
> sowie die leere Menge.
??? Ich sehe im [mm] \IR^3 [/mm] keine leere Menge, sondern ziemlich viele Spaltenvektoren mit 3 Einträgen...
>
> Ich betrachte jetzt nocheinmal den Schnitt meiner
> Untervektorräume. Also Kern P = U' mit der der Basis
> [mm]B_{U'}= ((\vektor{1 \\
0 \\
0})[/mm] und Bild P = U mit Basis
> [mm]B_U[/mm] = [mm](\vektor{1\\
1\\
0}, \vektor{1\\
0\\
1}).[/mm]
>
> Es gilt nun
für die Vektoren des Schnittest, daß sie in beiden Räumen liegen, daß man also a,b,c findet mit
a [mm]\vektor{1\\
1\\
0}[/mm] + b [mm]\vektor{1\\
0\\
1}[/mm] = c [mm]\vektor{1\\
0\\
0}.[/mm]
>
> Dies sollte aber nur mit a= b = c = 0 funktionieren,
Ja, weil die Vektoren linear unabhängig sind.
Und was ist [mm] 0*\vektor{0\\0\\0}?
[/mm]
Der liegt im Schnitt.
> also
> im Grunde liege ich richtig mit der Annahme, dass der
> Schnitt von UVRen, die aus Vektoren bestehen, genau dann
> die leere Menge ist, wenn die Vektoren linear unabhängig
> sind?
Die leere Menge ist der Schnitt nie.
Der Schnitt ist der Nullraum, wenn die Basen von beiden Räumen zusammengeworfen eine linear unabhängige Menge sind.
>
> Jetzt hänge ich allerdings ein wenig fest.
>
> Ich hatte geschrieben:
> > Die Abbildungsmatrix:
> > Wie ich eben gesagt habe, weiß ich, dass P [mm]\IR^3[/mm] = U
> und P U' = 0
> >
> > => [mm]P(\vektor {1\\
1 \\
0})[/mm] = [mm]\vektor {1\\
1 \\
0}[/mm] und
> [mm]P(\vektor {1\\
0 \\
1})[/mm] > = [mm]\vektor {1\\
0 \\
1},[/mm] sowie
> [mm]P(\vektor {1\\
0 \\
0})[/mm] = [mm]\vektor {0\\
0 \\
0}[/mm]
> > => A =
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 }.[/mm]
>
> Nun hat angela gesagt, dass ich die Bilder meiner
> Basisvektoren meiner Basis bzgl der Standardbasis angegeben
> habe.
> Aber ich sehe nicht wirklich wie ich die Standardbasis hier
> benutzt habe?
Die Standardbasis ist hier [mm] S:=(e_1:=\vektor{1\\0\\0}, e_2:=\vektor{0\\1\\0}, e_3:=\vektor{0\\0\\1}).
[/mm]
Es ist doch [mm] \vektor{1\\1\0} [/mm] eine andere Schreibweise für [mm] 1*e_1+1*e_2+0*e_3
[/mm]
>
> Dann hat angela gesagt, ich muss folgendes bilden, um meine
> richtige Matrix zu erhalten:
>
> [mm]P(b_1)= b_1[/mm] = [mm]\vektor{...\\
...\\
...}.[/mm] Analog mit [mm]P(b_2)[/mm] und
> [mm]P(b_3)...[/mm] Was sind diese [mm]b_i[/mm] ? i=1,2,3.
Na! Die Elemente Deiner Basis B [mm] =B_U\cup B_{U'}.
[/mm]
>
> Zur Anwendung der Basistransformationsmatrizen bzgl.
> Darstellungsmatrizen. Dazu sehe ich mir die
> Transformationsformel an, ich will hierbei die
> Darstellungsmatrix bzgl. der Standardbasis kriegen aus der
> Darstellungsmatrix bzgl. meiner Basis [mm]B_{\IR^3}.[/mm]
>
> Dabei ist [mm]B_{\IR^3}= ((\vektor{1\\
1\\
0},\vektor{1\\
0\\
1},\vektor{1\\
0\\
0}).[/mm]
>
> Nun fehlt mir ja vorerst noch die Darstellungsmatrix bzgl.
> dieser Basis [mm](A(P,B_{\IR^3})),[/mm] wozu ich weiter oben noch
> eine Frage gestellt habe.
>
> Theoretisch müsste es wie folgt weiterlaufen:
>
> [mm]A'(P,B_{Sb\IR^3})= C^{-1}[/mm] * [mm]A(P,B_{\IR^3})[/mm] * C.
>
> Interpretation dieser Formel mit Hilfe von angela´s
> Sprüchlein:
> C soll hier in dem Fall Vektoren bzgl. der Standardbasis
> in solche bzgl. [mm]B_{\IR^3}[/mm] umwandeln.
> [mm]C^{-1}[/mm] genau andersrum: die bzgl. der Basis [mm]B_{\IR^3}[/mm]
> gegeben sind, in solche bzgl. der Standardbasis umwandeln.
> Oder ist es andersrum?
So, wie Du es sagst, ist es richtig.
Man kann sich das eigentlich ganz gut merken:
Deine Matrix [mm] $A(P,B_{\IR^3})$ [/mm] frißt ja nur Vektoren in Koordinaten bzgl. B. Wenn man rechts Vektren bzgl S ranmultipliziert, müsssen diese erst für [mm] $A(P,B_{\IR^3})$ [/mm] verdaulich gemacht werden, indem sie von C in slche bzgl S umgewandelt werden. Wenn [mm] $A(P,B_{\IR^3})$ [/mm] diesen Vektor verspeißt hat, kommt hinten ein Koordinatenvektor bzgl. B raus. Wir wollen aber einen bzgl S, als muß [mm] C^{-1} [/mm] zum Einsatz kommen.
Ich mag für den Sachverhalt am liebsten diese Schreibweise, weil sie nahezu selbsterklärend ist:
[mm] _SM(P)_S=_SM(id)_B*_BM(P)_B*_BM(id)_S.
[/mm]
>
> Jetzt kommt denke ich eine entscheidende Frage: Die
> Abbildung hier ist P: [mm]\IR^3 \rightarrow \IR^3.[/mm] Also sind
> die Basen von Urbildraum und Bildraum die selben?
Die Basen "sind" nicht, man entscheidet das - oder die Chefs entscheiden für einen.
Aufstellen kannst Du Darstellungsmatrizen, bei denen die Basen in Start- und Zielmenge gleich sind, aber auch solche, in denen die Basen verschieden sind.
Mit unseren Zutaten könntest Du [mm] _SM(P)_S, _SM(P)_B, _BM(P)_S [/mm] und [mm] _BM(P)_B [/mm] aufstellen.
Es ist übrigens Deine Matrix $ [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 } [/mm] $ die Matrix [mm] _SM(P)_B,
[/mm]
und es ist [mm] _SM(P)_S=_SM(P)_B*_BM(id)_S.
[/mm]
> Oder
> durch die Projektion doch verschieden?
Die Abbildungen haben mit den Basen nichts zu tun.
Die Basen legen das Koordinatensystem fest, in welchem wir den Sachverhalt/die Abbildungen betachten.
B ist eine Basis, in welcher wir den hier vorliegenden Sachverhalt besonders gut bescheiben können.
>
> Zur letzten Frage von angela: [mm]id(b_1)[/mm] = [mm]b_1,[/mm] da die
> Identität [mm]b_1[/mm] unverändert lässt.
Ja.
>
> Ich wünsche allen Lesern eine frohe und glückliche
> Weihnachtszeit, sowie allgemein schöne Feiertage und einen
> guten Rutsch ins neue Jahr 2012,
Gleichfalls.
Freut mich, daß Du das Gefühl hast, daß Dir im Forum sinnvoll geholfen wird. Die Lösung einfach hinzuschreiben, wäre meist viel einfacher - schön, daß Du unsere Mühe wertschätzt, statt sie für Schikane zu halten...
Gruß v. Angela
|
|
|
|
