Punkt, Gleichmäßige Konvergenz < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:56 Mo 28.02.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | Sei [mm] a\in\IR, [/mm] a>1, und sei [mm] (f_{n})_{n\in\IN\setminus{0}} [/mm] eine Funktionenfolge mit
[mm] f_{n}: \IR [/mm] -> [mm] \IR, f_{n}(x) [/mm] = [mm] a^{\bruch{x}{n}}. [/mm] Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge [mm] (f_{n})_{n\in\IN} [/mm] punktweise aber nicht gleichmäßig gegen die konstante Funktion f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR, [/mm] f(x) =1 konvergiert. |
Nun ja ich zeig mal was ich gemacht habe:
Punktweise Konvergenz :
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a^{\bruch{x}{n}} [/mm] = 1
also Konvergiert die Funktionenfolge punktweise gegen f(x) = 1.
Gleichmäßige Konvergenz:
Zeige: [mm] \exists\varepsilon>0 \forall n_{0} \in \IN\exists [/mm] n [mm] \ge n_{0} \exists x\in \IR [/mm] : [mm] |f_{n}(x)-f(x)|\ge\varepsilon
[/mm]
Sei [mm] \varepsilon:= [/mm] . Sei [mm] n_{0} [/mm] beliebig. Sei x:= [mm] \bruch{1}{n}.
[/mm]
| [mm] a^{\bruch{x}{n}} [/mm] - 1| < [mm] |a^{\bruch{x}{n}}| [/mm] + 1 < [mm] |a^{\bruch{1}{n^{2}}}| [/mm] +1
Damit komm ich leider nicht weiter. Hat jemand eine Idee?
LG Loriot95
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:04 Mo 28.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]a\in\IR,[/mm] a>1, und sei [mm](f_{n})_{n\in\IN\setminus{0}}[/mm]
> eine Funktionenfolge mit
> [mm]f_{n}: \IR[/mm] -> [mm]\IR, f_{n}(x)[/mm] = [mm]a^{\bruch{x}{n}}.[/mm] Zeigen
> Sie, dass die Funktionenfolge [mm](f_{n})_{n\in\IN}[/mm] punktweise
> aber nicht gleichmäßig gegen die konstante Funktion f:
> [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR,[/mm] f(x) =1 konvergiert.
> Nun ja ich zeig mal was ich gemacht habe:
>
> Punktweise Konvergenz :
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a^{\bruch{x}{n}}[/mm] = 1
> also Konvergiert die Funktionenfolge punktweise gegen f(x)
> = 1.
............... und wie hast Du das begründet ?????
>
> Gleichmäßige Konvergenz:
> Zeige: [mm]\exists\varepsilon>0 \forall n_{0} \in \IN\exists[/mm] n
> [mm]\ge n_{0} \exists x\in \IR[/mm] : [mm]|f_{n}(x)-f(x)|\ge\varepsilon[/mm]
>
> Sei [mm]\varepsilon:=[/mm] .
Ja , was ist den nun [mm] \varepsilon [/mm] ???
> Sei [mm]n_{0}[/mm] beliebig. Sei x:=
> [mm]\bruch{1}{n}.[/mm]
Das ist keine gute Wahl !!
Schau Dir mal
[mm] $|f_n(n)-f(n)|$ [/mm]
an.
FRED
> | [mm]a^{\bruch{x}{n}}[/mm] - 1| < [mm]|a^{\bruch{x}{n}}|[/mm] + 1 <
> [mm]|a^{\bruch{1}{n^{2}}}|[/mm] +1
>
> Damit komm ich leider nicht weiter. Hat jemand eine Idee?
>
> LG Loriot95
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Mo 28.02.2011 | | Autor: | Loriot95 |
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a^{\bruch{x}{n}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a^{x* \bruch{1}{n}} [/mm] = [mm] a^{0} [/mm] = 1.
Was [mm] \varepsilon [/mm] ist, weiß ich leider noch nicht, sonst wäre ich ja schon fertig.
[mm] |f_{n}(n) [/mm] - f(n)| = | a - 1| [mm] \Rightarrow [/mm] |a| < 2 [mm] \Rightarrow |f_{n}(x)-f(x)| [/mm] < | [mm] 2^{\bruch{x}{n}}-1|
[/mm]
Wenn ich nun irgendwie x<n wähle, so nähert sich [mm] 2^{\bruch{x}{n}} [/mm] immer näher der 1 an und [mm] |f_{n}(x)-f(x)| [/mm] wird somit beliebig klein. Stimmt das so? Falls ja wie schreibt man das auf?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:44 Mo 28.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a^{\bruch{x}{n}}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a^{x* \bruch{1}{n}}[/mm] = [mm]a^{0}[/mm] =
> 1.
>
> Was [mm]\varepsilon[/mm] ist, weiß ich leider noch nicht, sonst
> wäre ich ja schon fertig.
>
> [mm]|f_{n}(n)[/mm] - f(n)| = | a - 1| [mm]\Rightarrow[/mm] |a| < 2
> [mm]\Rightarrow |f_{n}(x)-f(x)|[/mm] < | [mm]2^{\bruch{x}{n}}-1|[/mm]
Das ist doch völliger Unsinn !!! Warum sollt |a|<2 sein ???
>
> Wenn ich nun irgendwie x<n wähle, so nähert sich
> [mm]2^{\bruch{x}{n}}[/mm] immer näher der 1 an und [mm]|f_{n}(x)-f(x)|[/mm]
> wird somit beliebig klein. Stimmt das so?
Nein.
> Falls ja wie
> schreibt man das auf?
Es ist
(*) $ [mm] |f_{n}(n) [/mm] $ - f(n)| = | a - 1|=a-1> 0,
da a>1 ist.
Wäre nun [mm] (f_n) [/mm] glm. Konvergent , so gäbe es zu [mm] \varepsilon:= [/mm] (a-1)/2 ein [mm] n_0 \in \IN [/mm] mit:
[mm] $|f_n(x)-f(x)| [/mm] < (a-1)/2$ für alle x [mm] \in \IR [/mm] und alle [mm] n>n_0
[/mm]
Das widerspricht aber (*)
FRED
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