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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 17:47 Di 30.12.2008 | | Autor: | argl |
| Aufgabe |
Prüfen Sie ob der Punkt P auf der Strecke AB liegt !
a) $A [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] B [mm] \vektor{5 \\ 10 \\ 7} [/mm] P [mm] \vektor{2 \\ 4 \\ 4}$
[/mm]
b) $A [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 4} [/mm] B [mm] \vektor{12 \\ 12 \\ 19} [/mm] P [mm] \vektor{10 \\ 10 \\ 16}$
[/mm]
c) $A [mm] \vektor{-2 \\ 3 \\ -4} [/mm] B [mm] \vektor{2 \\ 11 \\ 8} [/mm] P [mm] \vektor{-3 \\ 1 \\ -7}$
[/mm]
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a)A [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] B [mm] \vektor{5 \\ 10 \\ 7} [/mm] P [mm] \vektor{2 \\ 4 \\ 4}
[/mm]
Zuerst bestimme ich die Gleichung der Gerade, die durch A und B bestimmt ist:
[mm] g:\vec{x}=\overrightarrow{OA}+\lambda(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{BA}) [/mm] ergibt:
[mm] g:\vec{x}=\vektor{1 \\ 2 \\ 3}+\lambda\vektor{4 \\ 8 \\ 4}. [/mm] Jetzt muss ich zuerst prüfen, ob P auf dieser Geraden liegt. Dies ist der Fall, wenn es nach Einsetzen von P in g ein [mm] \lambda [/mm] gibt ! Wenn dies der Fall ist, überprüfe ich, ob P auch noch auf [mm] \overline{AB} [/mm] liegt.
Dies ist nur der Fall, wenn gilt: 0 [mm] \le \lambda \le [/mm] 1 (wegen [mm] \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\lambda(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})
[/mm]
Man könnte auch den Richtungsvektor von g auf [mm] \lambda\vektor{4 \\ 8 \\ 4} [/mm] kürzen, dann müsste 0 [mm] \le \lambda \le [/mm] 4 gelten ! Wir bleiben aber bei der ersten Variante...
Ich setze P in g ein:
[mm] \vec{P}=\vektor{P_1 \\ P_2 \\ P_3}=\vektor{2 \\ 4 \\ 4}=\vektor{1 \\ 2 \\ 3}+\lambda\vektor{4 \\ 8 \\ 4}
[/mm]
dies als LGS:
I 2 = 1 + [mm] 4\lambda \Rightarrow \lambda=\bruch{1}{4}
[/mm]
II 4 = 2 + [mm] 8\lambda \Rightarrow \lambda=\bruch{1}{4}
[/mm]
III 4 = 3 + [mm] 4\lambda \Rightarrow \lambda=\bruch{1}{4}
[/mm]
Damit liegt P sowohl auf g als auch auf [mm] \overline{AB}
[/mm]
b)A [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 4} [/mm] B [mm] \vektor{12 \\ 12 \\ 19} [/mm] P [mm] \vektor{10 \\ 10 \\ 16}
[/mm]
Vorgehensweise wir in Aufgabe a):
[mm] g:\vec{x}=\vektor{2 \\ 2 \\ 4}+\lambda\vektor{10 \\ 10 \\ 15} [/mm] Auch hier bleiben wir bei der ersten Variante...
[mm] \vec{P}=\vektor{P_1 \\ P_2 \\ P_3}=\vektor{10 \\ 10 \\ 16}=\vektor{2 \\ 2 \\ 4}+\lambda\vektor{10 \\ 10 \\ 15}
[/mm]
I 10 = 2 + 10 [mm] \lambda \Rightarrow \lambda [/mm] = 0.8
II 10 = 2 + 10 [mm] \lambda \Rightarrow \lambda [/mm] = 0.8
III 16 = 4 + [mm] 15\lambda \Rightarrow \lambda [/mm] = 0.8
Damit liegt P sowohl auf g als auch auf [mm] \overline{AB}
[/mm]
c)A [mm] \vektor{-2 \\ 3 \\ -4} [/mm] B [mm] \vektor{2 \\ 11 \\ 8} [/mm] P [mm] \vektor{-3 \\ 1 \\ -7}
[/mm]
weiter wie in a) und b):
[mm] g:\vec{x}=\vektor{-2 \\ 3 \\ -4}+\lambda\vektor{4 \\ 8 \\ 12}
[/mm]
[mm] \vec{P}=\vektor{P_1 \\ P_2 \\ P_3}=\vektor{-3 \\ 1 \\ -7}=\vektor{-2 \\ 3 \\ -4}+\lambda\vektor{4 \\ 8 \\ 12}
[/mm]
I -3 = -2 + [mm] 4\lambda \Rightarrow \lambda [/mm] = -0.25
II 1 = 3 + [mm] 8\lambda \Rightarrow \lambda [/mm] = -0.25
III -7 = -4 + [mm] 12\lambda \Rightarrow \lambda [/mm] = -0.25
Damit liegt P zwar auf g aber wegen [mm] \lambda [/mm] < 0 nicht auf [mm] \overline{AB}
[/mm]
Schorsch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:21 So 26.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Schorsch!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ich konnte keinen Fehler entdecken und habe dieselben Ergebnisse erhalten.
Gruß
Loddar
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