Punktbestimmung einer Funktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:25 Di 02.09.2008 | | Autor: | cKy |
| Aufgabe | Sei die Funktion g: [mm] R^2 [/mm] -> R gegeben durch [mm] g(x,y)=3x^2-2xy+3y^2-2 [/mm] und C={(x,y) E [mm] R^2 [/mm] | g(x,y)=0}
Bestimmen Sie die Menge derjenigen Punkte von C, wo sich x in Abhaengigkeit von y bzw. y in Abhaengigkeit von x ausdruecken laesst und geben sie dort die Ableitung von x(y) bzw. y(x) an. |
Hallo!
Wie man eine implizite Ableitung bestimmt weiss ich.
Allerdings kann ich die Funktion nicht nach x bzw. y aufloesen (was wahrscheinlich mit der bestimmung der Punkte zutun hat, sodass sie doch aufloesbar ist).
Ueber eine Idee waere ich sehr dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:01 Mi 03.09.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ihr solltet den Satz gehabt haben, dass man f(x,y)=0 nach y aufloesen kann, wenn [mm] \bruch{\partial f}{\partial y}\ne0.
[/mm]
entsprechend nach x
Das hat nix mit impliziten differenzieren zu tun. insbesondere heisst das nicht, dass es ne Formel gibt mit der man nach y aufloesen kann.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Mi 03.09.2008 | | Autor: | cKy |
Hallo!
Erstmal Danke fuer die Antwort.
Ich muss da wohl das Bsp. im Buch etwas missverstanden haben.
Die Funktion [mm] g(x,y)=x^2+y^2-1 [/mm] wird folgendermassen implizit differenziert.
Partielle Ableitungen nach x bzw. y werden gebildet.
gx=2x
gy=2y
gy ungleich 0; Das heisst, dass sie in einer bestimmten Umgebung differenzierbar ist?
Dann ist [mm] f'=-\bruch{2x}{2f(x)}; [/mm] Die 'Formel' fuers implizite Differenzieren ist ja [mm] f'(x)=-\bruch{gx(x,f(x))}{gy(x,f(x))}
[/mm]
Weiter wird g(x,y) nach f(x) aufgeloest und oben eingesetzt.
Dann erhaelt man [mm] f'(x)=-\bruch{2x}{2\wurzel{1-x^2}}=-\bruch{x}{\wurzel{1-x^2}}; [/mm] was auch durch direkte Differentation von f folgen wuerde.
So wie ich das sehe bin ich quasi voll an der Aufgabenstellung mit meinen Gedanken vorbeigefahren.
Daher wollte ich die Funktion auch nach f(x) aufloesen.
Zurueck zur eigentlichen Aufgabe, wo ich nun neue Gedanken gesammelt habe...und im Skript den Satz ueber implizite Funktionen gefunden habe.
Die Partiellen Ableitungen
gx=6x-2y
gy=6y-2x
existieren und sind von 0 verschieden.
Jetzt sollen die Punkte gesucht werden, in denen die Ableitungen existieren.
Das heisst fuer mich, dass die Ableitungen existieren, wenn die Ableitung mit den Punkten (x,y) ungleich 0 sind.
6y-2x=0 => x=4y eingesetzt in gx: 6*4y-2=0 => y=0
Dies wieder eingesetzt in gy: 6*0-2x=0 => x=0
Heisst, dass im Punkt (0,0) keine Ableitung existiert und daher in allen anderen Punkten die Ableitung existiert.
[mm] g(x)'=-\bruch{6x-2y}{6y-2x} [/mm]
Da x=y ist gilt auch:
[mm] g(y)'=-\bruch{6x-2y}{6y-2x} [/mm]
Falls ich voellig auf dem Holzweg bin, bitte hilft mir wieder auf den richten Weg zu kommen :)
Vielen Dank schon im voraus!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:00 Mi 03.09.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Irgendwie hast du den Satz noch nicht richtig verstanden.
Was du im ersten Teil willst versteh ich gar nich, es geht ja NICHT um die Ableitung y'=f'(x)
Aber zum zweiten Teil:
1. hast du hier
die partiellen Ableitungen richtig!
> Zurueck zur eigentlichen Aufgabe, wo ich nun neue Gedanken
> gesammelt habe...und im Skript den Satz ueber implizite
> Funktionen gefunden habe.
>
> Die Partiellen Ableitungen
> gx=6x-2y
> gy=6y-2x
> existieren und sind von 0 verschieden.
wieso sind sie von Null verschieden? doch nicht ueberall!
> Jetzt sollen die Punkte gesucht werden, in denen die
> Ableitungen existieren.
> Das heisst fuer mich, dass die Ableitungen existieren,
> wenn die Ableitung mit den Punkten (x,y) ungleich 0 sind.
Oben hast du richtig gesagt, dass die Ableitungen ÜBERALL existieren
natuerlich existieren sie auch ,wenn sie 0 sind!
Der Satz sagt, wenn [mm] g_y [/mm] existiert und [mm] g_y\ne0 [/mm] in einem Pkt, dann kann man die fkt in einer Umgebung des Punktes nach y aufloesen.
also [mm] g_y=6y-2x, [/mm] fuer alle Pkte (x,y) mit x=3y kann man NICHT nach y aufloesen.
Das ist also laengs einer ganzen Geraden in [mm] R^2!
[/mm]
mach das entsprechende fuer Aufloesung nach x!
dann ist 0,0 der einzige Pkt, wo man weder nach x noch nach y aufloesen kann!
i
> 6y-2x=0 => x=4y eingesetzt in gx: 6*4y-2=0 => y=0
> Dies wieder eingesetzt in gy: 6*0-2x=0 => x=0
Diese Rechnung ist sinnlos! zum Teil auch falsch!
> Heisst, dass im Punkt (0,0) keine Ableitung existiert und
> daher in allen anderen Punkten die Ableitung existiert.
Nochmal die part. Ableitungen existieren in jedem Punkt!
>
> [mm]g(x)'=-\bruch{6x-2y}{6y-2x}[/mm]
das ist Unsinn!
falls du g(x,y)=0 nach y aufloesen kannst, und die Loesung y=f(x) nennst, dann ist [mm] f'(x)=\bruch{6x-2y}{6y-2x}[/mm] [/mm]
>
> Da x=y ist gilt auch:
Wie kommst du auf x=y?
> [mm]g(y)'=-\bruch{6x-2y}{6y-2x}[/mm]
hier verwendest du dasselbe Funktionssymbol fuer x=fkt(y) wie fuer y=fkt(x) was sehr schlecht ist.
Du solltest dir den Satz, den du anwenden willst nicht nur ansehen, sonder die Formulierung, Vorraussetzung und Behauptung genau aufschreiben, bevor du an so ne Aufgabe rangehst. sonst kriegst du zuviel durcheinander.
Nach dem Aufschreiben -wirklich machen, nicht nur irgendwo unterstreichen oder lesen- ueberleg, ob und wie du die Vors. zeigen kannst, So kannst du oft viel unnoetige Zeit sparen, auch wenns Anfangs nach mehr Arbeit aussieht.
Irgendwie muss man unbedingt lernen mathematische definitionen und Saetze seehhr genau zu lesen, anders als in allen anderen Gebieten, wo oft ein halbes Verstehen ausreicht!
Gruss leduart
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